Вибрационное горение Раушенбах Б.В. (1014147), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Это обстоятельство позволяет надеяться, что и другие стороны изучаемого явления будут переданы приближенным уравнением (49.2) не только качественно правильно, но и со вполне удовлетворительным количественным соответствием. Как известно из 9 38, где рассмотрено уравнение Матье, в первом и третьем интервалах, помещенных в таблице, период функций 1(га) в решении (49.4), частным случаем которого является и решение (38.26), равен 2я, з то время как во втором интервале он вдвое меньше. Тем же свойством обладают и функции 7'(г,), полученные путем решения уравнения (49.2).
Действительно, для первого и третьего интервалов а, является отрицательной величиной, а для второго положительной. Следовательно, в последнем случае функция )(г,) вернется к той же фазе (точнее, фаза изменится на 2я) при изменении г, на и, а в первом случае (а, < 0) фаза )(га) будет отличаться от исходной на я (так как амплитуда 7'(г,) 444 члстныв сльчхя слмовозвгждвния ~ . х изменит свой знак).
Поэтому при а! < О возвращение к начальной фазе потребует двух шагов, каждый из которых сменит фазу на л, а оба вместе на 2я. Этим и доказывается высказанное утверждение. Выше, в конце 1 38, уже говорилось, что для того, чтобы колебания поверхности фронта пламени могли играть роль механизма обратной связи, поддерживающего акустические колебания среды, период этого волнообразования должен быть вдвое больше периода акустических колебаний (в переменной г! равного я).
Поэтому для анализа изанмодействия волнообразования на поверхности пламени и акустических колебаний следует рассматривать только те диапазоны значений т', для которых а! является отрицательной вещественной величиной. При этом наиболыпий интерес представляет первый из этих интервалов 1,39 < тз < 9, который соответствует (как это следует из формулы (49.3)] наименьшим амплитудам смещений среды при акустических колебаниях Ь .
Чтобы получить наглядное представление о функции А(з,), являющейся решением уравнения (49.2), приведем здесь численный пример. Пусть первоначальное возмущение на поверхности пламени было достаточно малым и к рассматриваемому моменту прошел достаточно большой промежуток времени, чтобы одно из слагаемых решения (49.4) уменыпилось до пренебрежимо малой величины. Поскольку здесь рассматривается случай неустойчивости, ~ а, ~ ) 1, то в силу условия а!а, = 1 ) а, ) < 1, т.
е. второе слагаемое будет уменьшаться с течением времени. Выберем значение л!' вблизи от границы первого интервала, характеризуемого а! < О. Пусть, например, и' = 1,46. Тогда а! = — 1,6. Выберем за начало отсчета времени з, момент, когда величина А (г!) вещественна и равна единице. Тогда, полагая г, = О, найдем из равенства (49.6) С, + С, = 1. Входящие в регпения (49.6) н (49.7) постоянные ффС, и С, являются, вообще говоря, комплексными величинами.
Поэтому, обозначая С! = Вз +И„ (я = 1, 2, 3, 4), можно написать В,+В,=1, 1 0 )9=0 (49.13) ! 2 у ~й вивглционнов гогвник в пвподвнжном глзв 445 Введем обозначения гт й е а=а+И; Л т— е — с (49. 14) Тогда а -1т— е =а — (а; 2 л 1 2 е в Условие Аз(я) = аА,(0) даст: В конце первого участка функция А,(з,) будет равна А ( — ) = а (В +В ) — 2Ю~+ И ( — Вз). Нетрудно сообразить, что мнимая часть А ( — 1 рав- '~ 2./ на нулю. Действительно, в конце второго участка функ- ция Аз(з,) должна быть вещественной, так как А,(0)= = а,А, (я), а а, и А, (0) — вещественные величины.
Но изменение функции А, на втором участке связано с мно- жителями е '1 и е- '1, которые тоже являются вещест- венными. Следовательно, функция А,(г,) вещественна на всем участке, в том числе и в начале участка. Но тогда, в силу неразрывности функции А (первое условие «склей- киз (49.8)), поясно утверждать, что А,(з,) в конце своего участка тоже является вещественной величиной.
Условие отсутствия мнимой части у А,( — ) приводит к равенству В1 Вз 1 которое в совокупности с (49.13) дает В„= В,= — . 2 ' Упоминавшееся только что требование, чтобы функ- ция А, (г,) была вещественной всюду, позволяет найти еще две величины: Вз — — В4 — — О.
С учетом найденных значений В» Вю Вз и В, и с учетом условия В,= — Ю, (49.13) равенство величин А, (з,) и А, (г,) при г, =— выразится следующим образом: а — 26В,=сВ,+ — . в, е 446 ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ САМОВОЗВУжДЕННЯ 1гл .Х а условие совпадения производных (последнее условие (49.8И: Взс' — —,' = — а,2Р,. сз Система, составленная из трех последних равенств, позволяет найти Р„Вз и В4. Неслоящые вычисления дают следующее (приводим значения всех Вз н Р„): Вг=Оэ5 Р,= — 016' Вз= — 0 0392 Рз=01 В,=0,5, Рз=0,6; В,=7,4, .Р,=О. Таким образом, функция А (г,) определена.
Соответствующий график приведен на рис. 101. На этом же Рис. 101. Изменение амплитуды возмущения поверхности пламени А в функции безразмерного времени з,. рисунке дана зависимость 4р(з,). Если отвлечься от некоторого возрастания средней амплитуды А (з,) с течением времени з, (следствне неустойчивостп), то можно говорить о том, что А(з,) является периодической функцией времени, которая достигает наиболыпих абсолютных величин приблизительно на серединах участков, виврлционнон горгнив в сшпопвисссном тазг 447 характеризуемых положительными значениями ср(г,) = т'.
Это означает, что наибольшее положительное возмущение суммарной поверхности пламени будет происходить в эти моменты времени. Возлсущение эффективной скорости распространения пламени 66'с„рр (напомним, что 60 рррр при увеличении абсолютной скорости сгорания является положительной величиной и отличается от 60с, знаком) может быть на основе форлсулы (38.29) написано следующим образом: Ьр 60 ссср = бсн. сг у (Ь"н.
сс = — 6'н ) О) (49 15) Следовательно [см. (38.20), (38.24), (38.30), (38.31)), максимальное значение Уссрр так же кан и А(г,), будет достигаться в моменты, которые соответствуют середине участков с9(г,) = +т'. сРуннция ср (г,) есть результат грубой идеализации функции 2дьйп2г,= 27 з1псос. Напомним [это проще всего видеть из равенств (38.22), (38.24) и (38.25)1, что величина с) пропорциональна действующим на поверхности пламени ускорениям. Это позволяет связать колебания скорости сгорания 6Ус„рр с колебаниями скорости.
Действительно, пусть колебания скорости в холодной части течения перед фронтом пламени равны Ьо, = — (Ьо,), соз Ы, (49.18) где (бо,) — амплитуда колебаний Ьо,. Тогда возмущение ускорения, действующего на фронт пламени, запишется в виде 66 = се (Ьол)р з1п алг. (49.17) Можно считать, что в принятой схематизации этот закон с точностью до лсасштаба изображен в виде функции ср(г,) на рис. 101, прн этом максимумы ЬЬ соответствуют серединам участков с9 (г,) = + т'. Поскольку максимумы абсолсотных величин А(г,), т.
е. максимумы волнообразования на поверхности пламени, а следовательно, и максимумы возмущенийповерхности пламени М, тоже совпадают с серединами участков ср(г,) = + т' (с наибольшими значениями возмущении ускорения ЬЬ), то фазовый сдвиг между 66' и 66 равен нулю и, 448 ЧЛСТНЫЕ СЛУЧЛИ СЛМОВОЗВУРНДЕНИЯ [ги. Х следовательно, б~игиР (' ги иг (б~)о з1п ге~ б,=(,). (ю -'— ",) (49.19) Как видно из написанных равенств, сдвиг по фазе ме ду бг. Р бр равен 2 Рассмотрим вопрос о возбуждении акустических колебаний в трубе, закрытой с одного конца, когда процесс возмущенного горения описывается первым равенством (49.19).
У закрытого конца трубы не может существовать средний поток акустической энергии, отличный от нуля. Поэтому колебания скорости бп, и давления бр, будут, я при установившихся колебаниях, сдвинуты по фазе на — . г Это значит, что колебания скорости сгорания бгг';гир будут происходить в фазе или в противофазе с колебаниями М (М)э з!и Ы (49.18) Здесь (М), — амплитуда колебаний поверхности пламени. Заметим, что, согласно графику функции А(г,) на рис.
101, существуют моменты, когда А(г,) становится равным нулю, а фронт пламени перестает быть возмущенным. Очевидно, что при этом 8 достигает минимума, т. е. указанные моменты соответствуют в приведенной записи М= — (М), (минимуму М). Следовательно, «естественным» состоянием фронта пламени считается некоторая средняя искривленность, а наиболыпими возмущениями [соответствующими М=-+(М), и бо'= — (М,)) такие, которые либо удваивают эту среднюю искривлен- ность, либо сводят ее до нуля. В первом случае происходит увеличение поверхности пламени против средней величины, во втором случае уменьшение атой поверхности. Если обозначить входящую в формулу (49.15) величину относительного изменения поверхности пла— бй мени через бЯ= —, то, пользуясь уравнениями (49.16) и (49.18), можно установить фазовое соотношение между б~ игиР И бил вивгацноннов гоэвннв в ниподвнжпон гззв 449 давления.
Выше уже говорилось, что условия возбуждения вследствие колебаний теплоподвода и вследствие колебаний 6П,„„р в основных чертах совпадают, а в $ 45 было показано, что близость фаз У=6К„ор и бр, является наиболее благоприятной для возбуждения акустических колебаний.
В тех случаях, когда бр, и 6С'„,,р находятся в противофазе, возбуждение акустических колебаний невоаможно. Сказанное здесь следует, в частности, и из вида типичной диаграммы границ устойчивости, приведенной на рис. 27. Рассмотрим более ц~ подробно вопрос о том, когда фааы 6Ус„,р и бр, будут совпадать. На гР =Ри,— рнс. 102 дана схема :-К движения газа в окрестности закрытого конца трубы в момент перехода возмущения давления бр, через максимум. В момент, непосредственно предшествующий максимальному сжатию газа, воздушные массы еще движутся к закрытому концу (схема а), а в момент, непосредственно следующий за максимальным сжатием газа у закрытого конца трубы, начинают двигаться в сторону открытого конца трубы (схема б).
Такой характер движения говорит о том, что на газы действует ускорение, направленное в положительную сторону оси х. Поскольку в момент максимального сжатия возмущение скорости бп, переходит через нуль, то в этот момент ускорение 66 достигает наибольшей абсолютной величины [см. (49.16) и (49.17)). Таким образом, в момент максимального сжатия у закрытого конца на газ, расположенный вблизи этой области сжатия, действует максимальное положительное ускорение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
