Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 115
Текст из файла (страница 115)
ди Производная — на краях интервала М М обращается в нуль ду 1 я как при переходе к однородным потокам, так и в тех случаях, когда точки М, и Мя соответствуют максимуму или минимуму скорости. При этом эпюра скоростей должна иметь в рассматриваемом интер- дьи вале точку перегиба, где — =О, и применение формулы (21) в 94 для длины 1 становится невозможным. Возникшую трудность легко обойти, если заметить, что в этом случае эпюра скоростей близка к прямой линии повсюду за исключением областей, прилежащих к краям интервала.
Такой характер эпюры скоростей позволяет счигп -ть осредненные движения в отдельных слоях подобными при любом закон. дробления потока на слои толщины 1 и, в частности. на слои одинаковой толщины, так что 1 не будет зависеть от у. Формула касательного напряжения турбулентного трения при этом сохранит ранее указанный вйд (22) 9 94: тугвулянтнов движзнив (ГЛ. 1Х слоя, вдоль струи(при изменении абсциссы х) поле скоростей деформируется. Пользуясь близостью эпюры скоростей к прямой линии, можем в выражении (101) коэффициента турбулентного обмена А произвести приближенную замену (Г02) и положить А= 1ажь ~ —, (103) где Ь=М,~Ид — ширина области турбулентно1о перемешивания. Возникающая прй этом на краях области ошибка несущественна, так как в выражении турбулентного трения (101) величина А умножается ди на —, обращающуюся на краях области в нуль.
Таким образом, ду коэффициент турбулеыьтпозо обмело в задачах свободной турбуленшности молсзт бать принят постояниььн по сечению, т. е. не зависящим от у (но, вообще говоря, зависящим от х, т. е. переменным вдоль течения). Принимая постоянную по сечению толщину слоев 1 пропорйщональпоя разлгзру обласгпи облгена д, окончательно получим следующую общую для большинства задач теории „свободной турбулентности" формулу коэффициента турбулентного обмена: А = Ард ~ иа — и, ~, (104) где А — некоторый одинаковый для всех рассматриваемых движений постоянный коэффициент пропорциональности; величины д и ~ из — и, ~ меняются в общем случае от сечения к сечению и представляют неизвестные функции координаты х, отсчитываемой вдоль по течению.
Гипотеза постоянства коэффициента турбулентного перемешивания неоднократно применялась в задачах турбулентного движения в свободной атмосфере, в океанах и реках. Для случая турбулентного движения жидкости в аэродинамическом и тепловом следе та же гипотеза была отчетливо сформулирована еще в 1938 г. Б. Я. Трубчиковым, ' принявшим А за постоянную величину, не зависящую ни от х ни от у. Как далее будет показано, такое допущение действительно верно для турбулентного следа, но непригодно, например, для струи.
Формула, аналогичная (104), была предложена в 1942 г. Л. Прандтлем, з исходившим из соображений, отличных от использованной нами гипотезы подобия. Первые применения новой формулы Прандтля были выполнены Гертлером. з 1 Ь. Я. Тру бчн коз, Тепловой метод измерения турбулентности в аэродинамических трубах. Труды 11А! И, вып. 372, Москва, 1938, стр. 16. а Ь.
Р г а п й ~ 1, Вешегзипйеп ганг ТЬеопе пег 1ге~еп Тшвщепг. Уенасйг. 1пг Апяечь Ман1еш. ипй Меев. Вб. 22, Н. 5, 1942. $. 241. з М. 0 ог11е г, Вегеснпппя топ Аи1йзвеп пег 1ге1еп ТшЬп1епз ап1 бгппп егпез пепеп г1зпегппйзапаа1аез. Хе1ысйг. 1ш Апяеы. Майк ппб Месй., Вд. 22, П. 5, 1942, 3 244. „свезенная тгввглвнтность"; плоская ствтя % Р02! Остановимся на некоторых простейших применениях формулы (104). Рассмотрим прежде всего пример плоской турбулентной струи, бькнцей из бесконечно тонкой щели в безграничное пространство, затопленное той же неподвижной жидкостью. Лля дальнейшего сущесгвенцо, что источник плоской струи представляется бесконечно тонкой и)елью„ Такая схематизация упрощает решение, так как, благодаря отсутствию характерной длины (ширины щели) в граничных условиях, задача, аналогично тому, как это имело место в теории ламинарного слоя (2 85), может быть сведена к решению одного обыкновенного дифференциального уравнения, взамен сложной системы уравнений в частных производных, к которой сводится общая постановка задачи.
Рассматривая область струи, где продольная осредненная скорость и(х, у) не равна нулю, как „пограничный слой" (на рис. 205 Рис. 205. (105') 42 з е 1а4ь л. г. лев а. сраница этой области в обычном для теории пограничного слоя смысле показана пунктиром), будем считать давление постонннаж вдоль сечений струи, а так как давление в затопленном пространстве вне гтруи повсюду одинаково, го и одинаковым во всей области гпечения. Уравнения двинсения примут вид, аналогичный (44) 2 97, а именно: ди ди 1 д у дий А деи дх + ду а ду (, ду,) е дуа ' ~ ди де ! — + — =0 дх ду ! или, согласно (104): и — +и — =йд(х) и (х) —, ! ди ди дти ! дх ду '" дуа ' ди де —,+ д =0. ! (ГЛ.
2Х туРвулентное дВижение Задача представляется вначале неопределенной, поскольку наперед неизвестны законы изменения ширины струи Ь(х) и максимальной скорости на оси струи и (х), Эта неопределенность исчезает, если выражение продольной скорости искать в форме семейства подобных между собою кривых (106) где под Ь(х) понимается некоторая условная (в том же смысле, как „толщина" пограничного слоя) ширина струи, а 21 = — — новый =у Ь аргумент. Пользуясь выражением (106)„вычисляем (штрих означает дифференцирование по 21): дои д = дх у(2)) ь д.»" у (21)т~ 21ььаь 1 да / д Фу= Ь 3У(й)дч+" 3Г(т)) Г ди дьььо 1' да Г о о о Подставим эти выражения в первое уравнение (105'), тогда после простых приведений получим: и м™(,~(21) — у (6) ) у(фее~+ о Введем в рассмотрение функцию Р(21), положив (108) Функция Р(21) связана простым соотношением с функцией тока Чь(х, у). Действительно, по определению функции тока, если принять ь1ь (х, 0) = О, ф = ) игХу= и Ь ~~(21)б21= и ЬР(21).
(108') 1гл. а ттгвхлвнтнов движений Найдя закон (112) изменения скорости и, можем определить турбулентного трения Л. Имеем равенствам: ширины струи о и (113) — осевой и закон изменения коэффициента по (104) и только что указанным А=йри б=йсрхл,„=сопз1 "у'х. (104') и легко может быть непосредственно два раза проинтегрнровано. Действительно, имеем: и, следовательно, г"= — 4а р +С)+С,.
( б) Постоянные интегрирования С и С найдем нв очевидных граничных условий: к-о, ~ при и =0 при т)=0 при и=0 (116) выражающих: что ось струи принята за нулевую линию тока, что дл в силу симметрии производная — обращается на оси в нуль и что ау вдоль оси и = ляе Уравнение (115) цри этом переходит в легко интегрируемое уравнение Р"=1 — — РЯ, которое, при принятых граничных условиях (116), имеет решение 2~/ -+Р ~-а Га ь" Отсюда получаем Р =2~ГХ ' е а +1 Коэффициент турбулентного обмена, не изменяясь по сечению струи, возрастает пропорционально корню квадратному из расстояния сечения до источника струи.
Основное дифференцяальное уравнение (111) приводится к аиду: + с (114) % 102) „Сзовбднля тэтвтлвнтность"; плобкая ствуй или, переходя к гиперболическим функциям, Р =- 2 1/ — »о ~ — )/ ~д т»). (117) Отсюда находим продольную составляюп»ую скорости и: и =и„,Р'(т1)= и ° 2 1/ — ° "' ~ с ~» /» ) ~1 /с ) (118) н поперечную составлюоп»ую ее о = — Ь вЂ” „"'" Р(т») + и — [т~Р'(т1) — Р(т»)1 = = — 2л — Р(»)+ ~„ИР'И вЂ” Р(4)1 = дь ле = и ~„(,иР' — 2 Р) = сны '( 4Р' — 2 Р) = =сл 1т)си- 11 ЛЧ) — ФГй»8(1 $/И, (119) Чтобы сравнить теоретические формулы с опытными материалами, 1 обозначим через у такое значение у, при котором и= — и , тогда из равенства » 7» /с»~ — =и с»»-е~- »г, 12 4' Д сх( будет следовать: с»» ~ ) = К' 2 =" 1,41, = =088, »'=1,76)/йсл.
2 3/йск При атом равенство (118) может быть переписано в виде: и = л,„сЬ-в~0,88 +). (1 20) ь г ог»Г1юп а оп, »вбеа»еш-Агсв»т, 5 (1934), 3. 42-64, На рис. 206 соответствуюгцая кривая показана пунктиром. Совпадение втой теоретической кривой с опытными точками' вполне удовлетворительное. При .гаком сравнении неизвестные константы с и и входят в определение величины г'. ттввтлвнтнов движвнив Пользуясь формулой (118), можно вычислить массовый расход жидкости через любое сечение струн, расположенное на расстоянин х от источника струи„ Имеем (~=р ) иду=римб ~ ~(й)лт) — ри Ь ~ р" (т) й„ ° 0 СО СО =ри,Ь(г (Ч))~ =ри Ь ° 2~/ ~ ° 2=4 ~/ ~ Ь, (121) откуда по (110') и (112) следует, что 1~»= сопзФ)~х, (122) т.
е. что расход жидкости сквозь сечение струи растет при удалении сечения от источника струи; при х=О (~=О. Причина этого явления отчетливо видна из общей картины течения, показанной на рис. 205. Струя целиком состоит ив жидкости, подсасываемой из затопленного пространства. Чем дальше сечение отстоит от источника ДЮ -40 -15 —,10 -йз 0 ЦУ Рй (Х 80 ДУ Д/У Рис 206. струи, тем большее колнчество жидкости1увлекается ею, Парадоксальный на первый взгляд факт равенства нулю растода жидкости через бесконечно тонкую щель при конечном количестве движения легко понять, рассматривая движение жидкости в струе как предельное при уменьшении ширины щели. Сравнивая (121) нли (122) с (104'), видим, что расход ь) изменяется по тому же закону, как и коэффициент турбуленнюго обмена А.
Рассмотренное явление увлечения струей окружающей жидкости лежит в основе работы разнообразных водяных, воздупнщх и паровых насосов, называемых инжекторами и эжекторами. Во всех аппаратах такого рода струя со значительным количеством движеннв, но малым расходом, создает значительные расходы жидкости, что и делает насос полезным. $1021 „своводная ттрвялвнтиость"; плоская струя 663 Для расчета плоской струи необходимо задать какие-то характерные для струи параметры. Это могут быть: сохраняющееся вдоль всей струи ее количество движения Уо, расход или осевая скорость в некотором фиксированном сечении струи и др.
Заметим, что рассмотренное решение, как это следует из ранее приведенных рассуждений, содержит произвольную постоянную с, существенно зависящую от турбулентности струи и являющуюся экспериментальной констайтой данной струи. От втой константы зависит угол расширения струи, который будет тем больше, чем интенсивнее турбулентность в струе. Изложенный метод решения задачи не единственный. Можно было бы воспользоваться и непосредственно формулой (22) 3 94, не опираясь на приблнжейное постоянство коэффициента турбулентного обмена. Такое решение задачи о плоской турбулентной струе оказывается более сложным, так как приводит к дифференциальному уравнению, требующему численного интегрирования. Результат такого решения, выполненного в свое время Толлмином," приведен в виде сплошной кривой на том же рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
