Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 117
Текст из файла (страница 117)
Как уже упоминалось ранее (6 8Ц, диффузия вихрей происходит тем быстрее, чем вихри меньше по размерам. В силу этого обстоятельства измельченные сеткой вихри быстро затухают и в рабочем участке трубы, расположенном в некотором удалении от „фильтрующей' сетки, создается спокойный малотурбулентиый поток.
Потребное для успокоения потока расстояние от сетки выражается з калибрах сетки и практически не превышает тысячи калибров, что при малых размерах ячейки не является для аэродинамической трубы слишком стеснительным с канструктгшной точки зрения. Теоретическое рассмотрение явления диффузии турбулентных возмущений представляет большую сложность и требует применения тонких статистических методов.
Остановимся на некоторых результатах существующих в настоящее время пока еще далеко ие совершенных теорий, позволяющих все же разобраться в основных тенденциях явления. Остановимся на случае так называемой однородной турбуленгиности, под которой подразуменают движение жидкости с однородным полем осредиеиных во времени величин. определенных в данной точке пространства, в том числе и поля асредненвых скоростей.
При этом предполагается, что турбулентные пульсации скоростей существуют даже и в том частном случае, когда осредиеиные скорости пансюду равны нулю. Чтобы охарактеризовать распределение пульсаций в потоке и их взаимную связь, обозначим через ч' и ч" нектары пульсаций скорости в двух каких-нибудь точках л(' т См.
по этому поводу й. Оган О!эзоп, Оеэсйм!пб!йце!м — ипб Тешрегз!шчег!ейиий ып!ег е!пеш Ощег ье! шгьи!еигег 5$гбшипн. Хе!мсьг. (ег Апяетч. Ма!Ь. ипб Месйапйн Вб. 16 (1936), Я. 257 — 274, а также ранее цитированную статью Гбртлера. з Сьь, например, Е. М Минский. О гашении турбулентности с помощью сеточных фильтров. Издательство Бюро новой техники МАП, гй 68, 1948, 9 104] рассиниии тхзнллантных возмяцвний в жидкости 669 н Мя и составим, следуя замечательной идее наших советских исследователей А. А.
Фридмана и Л. В. Келлера,т можеиглм связи между пульсационными скоростями: а) здорово порядка б) трет ьязо порядка тгз Пг в = огеуегг Здесь подстрочные индексы означают перенумерованные оси координат, а черта сверху — осреднение во времени, подчиняющееся тем же основным равенствам, что и указанные ранее в 6 93. Величины Фгу и Пыь характеризуют статистическую связанность между пульсациями скоростей а точках М' и М".
Совокупности нх образуют соответственно тензоры второго и третьего рангов. В общем случае однородной турбулентности компоненты ФП и Пгль являются функциями вектора МтМЯ=П характеризующего взаимное расположение точек М' н М". Предположим теперь, что в некоторый начальный момент в неподвижной жидкости, заполняющей безграничное пространство, создано непрерывное однородное поле начальных возмущений, которое с течением времени будет затухать (рассеиваться).
Легко сообразить, что и в любой последующий момент времени позе затухающих во времени возмущений останется однородным. Кроме того, при равноправности любых направлений в пространстве поле возмущений окажется изотролиым в том смысле, что указанные выше тензоры моментов связи будут функциями только расстояния М'МЯ = г между точками М' и М" и не будут зависеть от направления вектора г. Как показывают простые вычисления,з и случае такой, однородной и изотропиой, турбулентности компоненты теизора ФП могут быть выражены через дае функции, представляющие моменты связи между составляющими скоростей пульсаций в точках М' и М": 1) направленными вдоль отрезка М'Мт (продольные составляющие) н 2) нормально к атому отрезку (поперечные составляющие). Точно так же н компоненты Пгуз могут быть выражены через три величины моментов связей третьего порядка между продольными н поперечными составляющими пульсационных скоростей в томах М' и М".
Используя осреднение уравнения неразрывности и общих динамических уравнений вязкой жидкости, удается получить одно дифференциальное уравнение в частных производных иторого порядка з (!35) с двумя неизвестными функциями гч(г, 1) и гг'(г, 1), из которых первая г (г.г) представляет момент связи второго порядка между продольными компонентами пульсационных скоростей в точках М' н М", а вторая Н(г, Г) — момент связи третьего порядка меясзу звадратом поперечной составляющей в точке М' и продольной — и точке М". Уравнение (13о1 можно рассматривать как уравнение рассеяния величины Р, характеризующей структуру турбулентных возмущений в потоке.
т См. их доклад на 1-м Конгрессе по прикладной механике в Лельфте в 1924 г. (Труды Конгресса, стр. 395 — 403). я Л. Г. у! о 9ця некий, Некоторые основные закономерности изотропного турбулентного потока. Труды ПАГИ, вып. 440, 1939. з Вто уравнение было выведено впервые Карманом; см. Лонги. о1 йю Аегоп. Зс.. 1937, )Ф 4, ВУО тягвялинтнов двнжвинв й = ~ «"(г, «)««г = — ~ Р(г„«)бг. 1 Г от (136) э а представляющий взвешенное суммирование бесконечно малых отрезков ««г, причем за „вес принимается как раз степень связанности у (г, «) пульсаций в точках М' н М .
Величину й можно принять за статистический масштаб турбулентности', в дальнейшем будет указан также еще и другой воз- можный масштаб турбулентности. Возвращаясь к уравнению (135), можем следующим образом проннтер- дР претировать отдельные его члены. Локальная производная — от величины р д« по времени складывается иэ вязкоствого (диффузионного) ее рассеяния, представленного правой частью уравнения, и конвектнвиого изменения, опре- деляемого выражением в левой части, зависящим от функции Н(г, «). При малых значениях рейнольдсова числа турбулентности (1 — некоторый харак- терный размер) т' оа« В= — ° конаективный член становится пренебрежимым, а задача — определенной, так как уравнение (133) переходит в уравнение относительно одной функ- ции р« (139) При больших значениях того же рейнольдсова числа оба члена сохра- няют свое значение, и для решения задачи необходимо выдвигать дополни- тельные допущения, Рассмотрим эту функцию несколько ближе.
Если устремить г к нулю, то функция Р, согласно ее определению н снойству изотропности потока, йревратится в среднее значение квадрата пульсации в данной точке: Р(0, «) =и'Я. (136) Эту величину (или квадратный корень из нее) принимают за меру иитеисаяноети турбулентности в данной точке. В рассматриваемом случае однородной турбулентности величина о™ одакакааа яо яеек точках иотока в данный момент вреиешз и зависит лишь от времени.
Примем в дальнейшем для краткости обозначение и'в = «гт = и и рассмотрим величину гв я о~~~" Р(; «) У(г. «)— (137) носящую наименование коэффициента корреляция (связи) двух пульсирующих во времени функций о' я о". Коэффициент корреляции «вменяется в пределах от нуля до едишщы, причем крайние его значения соответствуют: нуль — отсутствию какой бы то ни было связи между пульсациями скорости в точках М' и Лгт, единица — полной связи между этими пульсациями.
Очевидно, что при г = 0 будет у (О, «) — 1; при увеличении расстояния г между точками М' и М" степень статистической связанности между пульсациями скорости быстро ослабевает и функция у (г, «), так жс как Р(г, «) и Н(г, «), резко спадает до нулевого значения. Используя коэффициент корреляции «как статистическую меру связанности возмущений в двух точках потока, можно ввести понятие о маегатабе турбулентности. Для этого построим интеграл $1041 рлсскянив хвввудвнзиык вбзмвщвний в жидкбсти 671 (141) х См., например, А. Вебстер и Г.
Сеге, дифференциальные уравнения в частных производных математической физики, ч. 1, 1остехиздат, 1933 игр. 22У Прежде чем перейти к вопросу об интегрировании уравнения (139), установим общее соотношение, выражающее закон сохранения одной, харак- терной для турбулентных возмущений величины. Закон оказывается общим для затухающей однородной и изотропной турбулентности, безотносительно к тому, опускаются или нет конвективиые члены. для вывода зтого закона сохранения умножим обе части уравнения (135) на га и проинтегрируем в мределах от нуля до беснонечиости. Тогда, пред- полагая, что функции Р и гг'удовлетворяют условиям убывания на беско- нечности: др при г-+со га -ьб и гсср-ьО, дг и что соответствующие интегралы существуют, после простого интегрирова- нна по частям получим: — Р(г, г) га йг = О, й Г и.) (140) з откуда сразу следует искомый закон сохранения„ (гь.
6~а = (РЬч~ь. Величнну й можно было бы назвать „моментом возмущений" и говорить о законе сохранения момента аозмущсяий. Переходя от функции Р(г, Г) к козффициенту корреляции у (г, Г), перепишем предыдущее равенство в вйдв А=от ~ у(г, Г) гайг= сольц (141') а Входящий в зто соотношение интеграл имеет размерность длины в пятой степени. Если вместо величины Х., определенной равенством (133), ввести в рассмотрение новый масштаб турбулентности ьч, равный Аз=у(г, с) гс й ) (142) з то равенство (141) заменится простым соотношением йтьз = сольц (143) выражающим закон сохранения момента возмущений а форме: произведение средней квадратичной пульсации скорости (или среднего значения отне- сенной к единице массы жилкости кинетической знергин пульсациоиного движения) иа литую стсиеиь масштаба турбулсии~иссти ири затухании однородной и изотроикой турбулентности сохраняется.
Сохраняющаяся во времени величина момента возмущений А предста- вляет своеобразную характеристику поля турбулентных возмущений н играет такую же раль, как, например, общее количество тепла в задаче о распро- странении тепла в жидкости или количество движения при удалении от источника струи или тела, образующего след. Тепловая аналогия в данном случае оказывается особенно интересной, так как уравнение (139) можно рассматривать формально как аналог урав- нения распространения тепла в пятимерном пространстве." Поскольку тряиулинтиов днцжицни (РЛ. 1Д уравнение (139) справедливо лишь при малых рейнольдсоаых числах турбулентности, т.
е. в последних стадиях затухания возмущений, что соответствует большим значениям времени т, то достаточно построить простейшее решение уравнения (139), отвечающее случаю,источника". Это решение будеш зтт Р(г, т) = сопя!— (т/ 17' (144) Для олределеиия константы воспользуемсн теоремой о сохранении момента возмущений. Будем нметы ФФ СО СО ге зы Л = г (гф т)тлпг= соп51 ~ ганг, ,3 Ятт) откуда найдем (14от й сопят = 48 )гйя Итак, имееьс г~ „, аз Р(г, 1)= — — ° —. 48 )гЪ ()Гтт)т Полагая здесь г == О, получим, согласно (136), следующий закон убыва- ния со временем интенсивности турбулентности: — й от 48 ь 9 (,~)'А (146) Разделив обе части (145) соответственно на (146), определим козффн- циепт корреляции у(г*т)= — (=: —" =е ез (147) После зтото нетрудно найти н закон возрастания со временем масштаба турбулентности й: СО СО й= ~У'(г, 1) яг = ~ е з'т бг= ')гЯл~Е (143) а а Согласно (143) и (146), таков же и порядок возрастания масштаба Е'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
