Элементарная термодинамика Д. Тер Хаар Г. Вергеланд (1013813), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Для этого достаточно просто ввести промежуточный резервуар при тем- ПЕРатУРЕ См, ГДЕ Г, (Г С.Г,, КОтОРЫй ОтДаВаЛ бЫ И ПО- лучал бы одинаковое количество тепла ь) в двух дополнительных циклах КаРно ((фо Г„Я,„) и (Г,Ф,л. Юз) Мы получим тогда (2.11) а поскольку температура Г может быть выбрана произвольно, соотношение (2.!0), очевидно, справедливо. Вид функции 0 пока остается неопределенным; он зависит от того, в какой шкале температуры берется Г.
Если имеется в виду стогралусная шкала, то из опыта следует, что О(!'С)=сопя!(1+273,!5'). (2.!2) Но мы можем теперь вввслги термодинамическую шкалу, взяв саму функцию 0 в качестве температуры. Если постоянная в (2.12) выбрана равной единице, то эта шкала называется абсолютной, или шкалой Кельзина '). Отсчеты температуры по хорошему газовому термометру очень близки к температуре в шкале Кельвина: 0 = Т. (2. 13) ') См. примечание на стр.
!5.— Прим, лед. ятОРОИ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ 41 (2.!5) (2 — ь 3) (4-ь 1) Это можно доказать, если рассмотреть цикл Карно, в котором в качестве рабочего вещества взят идеальный газ (см. фиг. 6). Напомним, что цикл состоит из следующих процессов: А — изотермическое расширение при температуре Тт с изменением обьема от У1 ло 1'2;  — изотермическое сжатие при температуре Т, с изменением объема от Уз до 1',; С и С' — адиабатическое расширение с изменением объема от У2 ло Уз и адиабатическое сжатие с изменением объема от У, до 1гн Процесс А.
Поскольку газ идеальный, (д(7(дУ)г — — О и внутренняя энергия остается постоянной. Все тепло, полученное от резервуара при температуре Т2, превращается во внешнюю работу 2 аз = ~ Р ) У = Р.Т2 1п — ' ". (2.14) 1 Процесс В. Подобным же образом, работа, совершенная при сжатии, превращается в тепло, которое передается холодному резервуару (~1 = ~ Р 7У = кт1 1п 1.
з Процессы С и С'. Поскольку газ идеальный н (7 зависит только от температуры Т, из уравнения (1.13) слелует, что работа, совершаемая в одном из этих двух адиабатических процессов, полностью компенсирует работу, совершаемую в другом процессе. Действительно, пользуясь адиабатическим условием С 11Т+ Р 21У = О, получаем 2 ! С„(Т вЂ” Т,) = ~ Р 11У = — ~ Р 1Л'. (2.16) 2 А Чтобы найти связь между У1, У2, Уз и 1гм заметим, что, согласно уравнению Пуассона (1.32), в адиабатическик процессах Т2У" '= Т1У" ' (2.17) ТРУ '=Т2Ук ' 42 гллвл г и, следовательно, Ья 1'з ~/,=1,' Подставляя это соотношение в уравнения (2.14) и (2.15), получаем Е, т, (2.18) С>з что доказывает наше предположение 8 = Т.
В то же время мы приходим к результату, уже упоминавшемуся во введении и состоящему в том, что к. п. д. оптимального цикла равен е— (2. 19) Из соотношения (2.19) мы видим, кроме того, что в силу второго закона термодинамики (е~(1) абсолютнап температура должна быть положительной '). В теплоэнергетике используют, разумеется, другие процессы, отличные от цикла Карно. Однако, очевидно, любой цикл, представленный, например, в Р— У-диаграмме, можно составить из циклов Карно, разделив его на сетку ') Из соотношений (2.10) н (2.12), определяющих абсолютную температуру, и соотношения (2.19), определяющего к. п.
д. цикла Карно, мы можем только сделать вывод, что абсолютная температура должна быть знакопостоянной: либо всегда положительной, либо всегда отрицательной. Таким образом, положительная шкала температур — условное соглашение, означающее, что более высокая температура приписывается более нагретому телу.
Изменение знака температурной шкалы означало бы лишь тривиальное изменение терминологии. Однако одновременное введение положительных и отрицательных температур может быть сделано лишь при существенном расширении классической термодинамики. Так, Паунд и Парселл в 1951 г. показалр, что ядерные спины в кристалле (.1р могут быть приведены в такое метастабильное состояние, которое наиболее естественно описывается как состояние термодинамического равновесия спинозой системы при отрицательной температуре. Рамзей (1956) показал, каким образом следует изменить положения термодинамики, чтобы учесть такие случаи. Но поскольку они наблюдаются довольно редко, мы исключим их в дальнейшем из рассмотрения и не будем менять формулировку основных принципов теории.
Обсуждение состояний с отрицательной температурой проводитса в приложении Г. зтоРОИ ЗАКОН теРМОДИнАМИКи 43 Устройство, выполняюшее подобный процесс, будет дей- ствовать как холодильная машина, поскольку в нем отби- рается тепло от холодного тела. При этом интерес пред- ставляет величина, равная отношению произведенной ра- боты к количеству отнятого тепла. Лля обратимой машины это отношение равно г а — а т,— т, (2.21) а= с), = т, если же обратный цикл Карно не является квазистатиче- ским, то это отношение больше. Точно таким же образом, как и в (2.8), мы можем показать, что для холодильной машины Наименьшее количество работы, которую необходимо за- тратить, чтобы отобрать тепло 9, от холодного резер- вуара, равно, таким образом, (2. 23) Оно, естественно, тем больше, чем больше разность тем- ператур и чем ниже температура холодного резервуара.
Мы можем записать (2.23) также в виде (2.22) ~а( т ))' (2.24) из изотерм и адиабат, как па фиг. 6. В этом смысле цикл Карно является элементарным, и нам нет необходимости рассматривать другие циклы, как бы они ни были важны для практических целей. В заключение скажем несколько слов о холодильных машинах.
Если цикл Карно обратить, т. е, провести в обратном направлении, то из резервуара с более низкой температурой будет поглошаться количество тепла а резервуару с более высокой температурой будет сообщаться количество тепла 9а. Согласно второму закону термодинамики (в формулировке Клаузиуса), невозможно перенести тепло от более холодного к более теплому телу, яе производя работы. Эта работа равна, очевидно, Л=а1-ам (2.20) гллвл а откуда следует (2.25) Это означает, что при помощи обратного цикла Карно мы можем сообщить системе количество тепла Ям превышающее количество затраченной работы (,. Машина, используемая для этой цели, т.
е. для нагревания, называется тепловым насосом. и 3. ЭНТРОПИЯ Перейдем теперь к математической формулировке второго закона. Прежде всего установим справедливость одного вспомогательного утвержления. Пусть некоторая система совершает циклический процесс С, обмениваясь теплом с рядом резервуаров, имеющих температуры То Та, ..., Т„. Будем считать соответствующие количества тепла которыми обменивается система с резервуарами, алгебраическими величинами, причем условимся считать поглощаемое системой тепло положительной, а отдаваемое — отрицательной величинами.
Докажем тогда справедливость следующего соотношения: Ф~ +С». + +О <б (2.26) Рассмотрим с этой целью еше один процесс С'~в, который состоит из п обратимых процессов Карно, совершающихся между каждым из и резервуаров То Т...,, Т, и новым резервуаром с температурой Т, и проводится так, что в этом втором процессе количества тепла (ен гез, ..., О„ возвращаются резервуарам Т,, Тя, ..., Т„.
Таким образом, в результате сложного процесса С + С'зв состояние всех и резервуаров останется неизменным. С другой стороны, от нового резервуара с темпеРатУРой Тр бУдет отпито и поРций тепла ЯО~~, ьгоо"~, ..., ф'. или в общей сложности 'со= Х (ео ° (2.21) 3 г втОРОЙ ЗАКОН теРМОдИИАМИКИ Далее, поскольку процесс С Р обратимый, все Я~, опреОбя (о делаются соотношениями С>~ т; О(зо Тз ' (2.28) Таким образом, согласно (2.27) и (2.28), (2.29) — =У,— '<0, 0.
Е; т, л'.а т,-- (2.30) что и требовалось доказать. Знак равенства в (2.30) относится к случаю, когда процесс С также обратим. В приведенном доказательстве мы воспользовались дискретным набором резервуаров, но на фиг. 6 показано, как произвольный циклический процесс может быть составлен из циклов Карно. Если температура изменяется непрерывно, то мы можем представить себе, что процесс осуществляется при помощи непрерывного ряда тепловык резервуаров, причем из каждого резервуара система поглощает бесконечно малые количества тепла Щ Тогда соотношение (2.30) принимает внд (2.31) где ~ обозначает интегрирование по циклу; знак равенства относится к обратимым процессам.
Это соотношение и позволяет нам ввести новую функцию состояния — энтропию. Чтобы убедиться в ятом, рассмотрим обратимый циклический процесс, показанный на Р— Ъ'-диаграмме на Окончательный результат состоит в том, что из одного резервуара при температуре Те извлечено некоторое количество тепла <~. Но, согласно второму закону (в формулировке Кельвина), зта величина может быть только отрицательной: ГЛАВА 2 46 фпг. 7. Согласно теореме (2.3!), мы имеем 2 1 — =О, (2 32) о (ь)аар Т г (вдоль р) 1 (вдоль а) ие зависит от пути перехода 1 ь 2. Таким образом, мы определили для каждой точки диаграммы состояния значение некоторой функции 8 =5 (Р, р'), называемой энтропией.
Энтропия определена с точностью до адаптивной Фиг. 7. постоянной. Во эту постоянную можно, очевидно, найти, выбрав некоторое состояние (Ро)' ) в качестве начального. Если один из процессов, найример 1 — 1 2, необратим, то вместо соотношения (2.32) мы имеем неравенство (2,31) г (2.34) или ;) т ~~2 (Е 1 (2,35) т. е. интеграл 2 =Я( ) — Я(1) (2.33) 1 ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРЛ1ОДИНАМИКИ 47 Физический смысл этого неравенства особенно ясен в случае адиабатического процесса фЯ = 0).
Тогда ~2 ~~ ~Р (2.36) Иначе говоря, если процесс 1 — в 2 совершается спонтанно, то энтропия конечного состояния 2 должна быть больше, чем энтропия начального состояния. В этом заключается смысл утверждения Клаузиуса, что „энтропия Вселенной стремится к максимуму". Спонтанные изменения в адиабатически замкнутой системе всегда происходят в направлении возрастания энтропии. Считают, что в этой асимметрии течения естественных процессов коренится и причина психологической различимости прошедшего и будущего. Формулируя второй закон термодинамики как закон возрастания энтропии, важно помнить, что в этом виде он приложим только к адиабатически замкнутым системам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
