Теория тепломассообмена Э.Р. Эккерт Р.М. Дрейк под ред. Лыкова (1013696), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Теперь мы попытаемся получить эти сведения непосредственно из дифференциальных уравнений, не решая их. Рассмотрим сначала сам процесс. Так как мы хотим, чтобы наши результаты включали области отрывного обтекания, то, чтобы описать этот процесс, необходимо применить уравнения Навье — Стокса. Ограничимся рассмотрением установившегося потока. В разделе 6-3 этн уравнения давались в декартовых координатах для жидкости с постоянными физическими свойствами при отсутствии сил тяжести. Приведем повторно уравнение для оси х и уравнение непрерывности: Эти уравнения вместе с уравнениями количества движения в направлениях у и г являются четырьмя уравнениями для неизвестных и, о, гв, р. В дополнение к дифференциальным уравнениям должны даваться граничные условия, описывающие характерные особенности потока.
Чтобы не рассеиватынашего внимания, рассмотрим поток жидкости,перпендикулярный к оси цилиндра круглого поперечного сечения и бесконечной длины, На рис. 9-1 показано расположение цилиндра и даны необходимые граничные условия. Предполагается, что цилиндр находится в покое и диаметр цилиндра равен Н. Соответственно скорость на поверхности цилиндра должна равняться нулю. Скорость выше по течению по обеим сторонам на достаточном расстоянии от цилиндра равна и, и принята постоянной вдоль границ потока. Давление с наружной границы поля потока также постоянно.
Его абсолютная величина несущественна, так как в данное выше уравнение входит только дифференциал давления. Первым шагом анализа размерностей является преобразование дифференциальных уравнений и граничных условий в безразмерные путем деления всех параметров, имеющих размерность длины, на заданную длину Н, а всех параметров, имеющих размерность скорости, на заданную скорость иэ, Давление может быть сделано безразмерным при помощи члена риз„в который входят постоянная 19 — 308 289 плотность и заданная скорость ио на границе.
Обозначая безразмерные величины штрихом, записываем: и'= —; и'= и и,' Рис. 9-1. К анализу размерностей дли двух круглых цилиндров. . Подстановка безразмерных величин в уравнение количества движения дает: иа ~, ди', ди', ди') иа др' 2 2 р — !' и' — + ' — +и!' — ~!= — р — — + д ~ дх др дх',1 д дх Это .уравнение егце не безразмерное, но может быть в него преобразовано путем деления его на р(и', /г)): 19-2) 290 и,! ао! о о! и,! иа! та! тг! иа! ига таа — Р'= — '2 .
19-1) иа ' ри2 ' иаа ам и!! агх Безразмерное уравнение непрерывности имеет вид: ди' до' дм' дх' ду' дг' — ',+ — ',+ —,'=О, (9-8) граничные условия следующие: В свободном потоке вверх по течению от цилиндра и'= — =1; и, И~ (9-4) на поверхности цилиндра и' = о'= в' = О. Для безразмерного члена ри,г(1'р было введено обозначение Ке„. Теперь очевидно, что путем решения дифференциальных уравнений безразмерные зависимые переменные и', о', ш', р' будут представлены как функции независимых переменных х', у', г' и всех постоянных параметров, входящих в дифференциальные уравнения и в граничные условия.
В данном случае единственным постоянным параметром является )ахеи. Поэтому решение должно иметь следующий вид; и'=(,(х', у', г' )се,); (9-5) о'=1,(х', у', г', 1се ); (9-8) и'=) (х', у', г', )хе„); ' (9-7) р'=) (х', у', г', )хе„). (9-8) Следует рассмотреть сущность такого результата. Для этого рассмотрим два цилиндра диаметром А и Ы,, находящиеся в двух, потоках жидкости со скоростями вверх по течению от цилиндров, соответственно равными иш и иш (рис. 9-!).
Из вышеприведенных уравнений следует, что безразмерные составляющие скорости и безразмерные давления в обоих случаях являются одними и теми же функциями безразмерных координат и критерия Рейнольдса. Когда критерий Рейнольдса имеет одну и ту же величину в обоих случаях, тогда в одинаково расположенных точках (с одними и теми же безразмерными координатами) безразмерные скорости и давления будут иметь одинаковые величины в области вокруг цилиндров 1 и 2. Физические величины, которые в безразмерном виде, например безразмерные величины (и', о', и', р'), изображенные графически относительно безразмерных координат (х', у', г'), становятся идентичными, называют «физически подобными».
Таким образом, во всех случаях поля скорости и давления для потока, обтекающего цилиндр, подобны 19и 991 вне зависимости от диаметра цилиндра и скорости потока перед цилиндром, если только критерий Рейнольдса имеет одинаковую величину всех рассматриваемых случаев. При обобщении результатов для потока вокруг или через тело другой геометрической формы сразу же становится очевидным, что физическое подобие в том смысле, как мы только что рассмотрели, справедливо только для геометрически подобных тел. Кроме того, из скоростей на границах могут возникнуть другие условия, которые необходимо выполнить, чтобы обеспечить физическое подобие.
Когда, например, цилиндр вращается с окружной скоростью о, на его поверхности, тогда решение дифференциальных уравнений должно удовлетворить условию, заключающемуся в том, что вектор скорости Н, характеризуемый составляющими и, о, ш, идентичен по величине и направлению со скоростью о, на поверхности ~цилиндра. В безразмерном виде это граничное условие предписывает, что на поверхности цилиндра и'=о,/и„и этот параметр появится в функциональных зависимостях (9-5) — (9-8), Таким образом, можно утверждать, что поля скорости и давления для установившегося потока жидкости с постояниыми свойствами подобны, когда существует геометрическое ~подобие границ полей, когда скорости вдоль границ подобны и когда критерий Рейнольдса имеет постоянную величину.
Иногда условия подобия скоростей на границах включают в себя некоторые ограничения. Они предполагают, например, что происходящие во времени изменения скорости также подобны. Такие изменения происходят в турбулентном потоке, и хорошо известен тот факт, что параметры потока зависят от степени его турбулентности. Теперь предположим, что цилиндр на рис. 9-1 находится прн температуре 1„, в то время как температура потока перед цилиндром 1м Соответственно с этим в потоке, омывающем цилиндр, установится температурное поле, которое в принципе можно рассчитать из уравнения энергии (7-3).
При установившемся режиме и постоянных свойствах это уравнение имеет вид: 292 Поэтому й'=1(х', у', з', )хе„Рг, Е) (9-10) В разделе 6-3 говорилось, что для скоростей, которые обычно имеют место на практике, членом рассеяния в уравнении энергии можно пренебречь. Соответственно последний член в соотношении (9-10) вьгпадает и безразмерное температурное поле для низкоскоростного потока характеризуется следующим выражением: (9-! 1) б'=((х',у', г', )се, Рг). Имея в виду обобщения, сделанные ранее, приходим к следующему положению, Температурные поля вокруг геометрически подобных тел подобны, когда температуры и скорости вокруг границ этих тел подобны и когда критерии Рейнольдса и Прандтля так же, как и параметр Е, имеют постоянную величину.
Для инженерных целей теплообмен между жидкостью (газом) и стеной цилиндра имеет очень большое значение. Он может быть вычислен, если известен коэффициент теплообмена, .который определяется уравнением а (Г (е) ~аг х '1да~ где и обозначает направление, перпендикулярное к поверхности стенки. Вводя безразмерную температуру й, получим: нли Критерий Нуссельта поэтому есть не что иное, как безразмерный температурный градиент по поверхности. Дифференцируя уравнение (9-11) и подставив результат в данное выше выражение, получим для низкоскоростного потока Ми=1(х', у', г', )хе, Рг), (9-12) где х', у', з' являются в данном случае координатами произвольной точки поверхности и где Хп есть локальный критерий Нуссельта в этой точке.
Среднее значение критерия Нуссельта по всей поверхности дается выражением Хи=1()хе, Рг). (9-13) Суммируя результаты, полученные до сих пор, можно утверждать, что в установившемся потоке с постоянными свойствами, обтекающем геометрически подобные тела или проходящем по геометрически !подобным каналам, все безразмерные ~параметры потока, например коэффициенты трения, являются функциями местоположения и критерия Рейнольдса при условии, что скорости на границах подобны. Безразмерные параметры теплообмена такие как критерий Нуссельта или Стантона, являются функциями критерия Рейнальдса, критерия Прандтля, а при высоких скоростях — функциями параметра Е при условии, что скорости и температуры вдоль границ подобны.
Предположим, что плотность потока изменяется с изменением температуры. Как следствие этого, как только появляются разности твм!иератур внутри поля, возникают подъемные силы и эти силы вызывают свободную конвекцию, которая влияет на !перенос тела. Подъемная сила на единицу объема элемента потока равна й(р — р ), где д означает ускорение силы тяжести, р — действительную плотность потока в месте нахождения элемента потока и р„ — плотность, которую имел бы поток в этом месте, если бы он не был нагрет в результате процесса теплообмена. Предположим, что разность плотностей Г>р =р — р„ мала по сравнению с самой плотностью р, так что свойства потока все еще практически постоянны.
Величина Ьр может быть выражена через разность температур путем подстановки коэффициента термического расширения р, ! /дч определяющегося уравнением р= — ~ — ) . Так как о = 1>!р, а )~д! оп= — !1/р')г)р, это выра>кение принимает вид: При небольщой разности плотностей, вызванной изменением температуры, мы можем поэтому записать с большой точностью: бр = — р~б1 и подъемная сила на единицу объема станет равной йр~Ы.
295 Когда эта сила действует по оси х, уравнение количества движения для этого направления следующее: / ди ди ди др гд'и д'и д'и + ду'+дг*) В потоке с постоянными свойствами температура изменяется только вблизи поверхностей, имеющих температуры, отличные от температуры потока. В этом случае М=Ь. Когда уравнение преобразовано в безразмерное путем введения величины со штрихами, тогда последний член в правой части приобретает вид (фУЬ / и',-) Ь'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
