Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 174
Текст из файла (страница 174)
е. формулу (24.3) либо ее обобщение (24.4) (формула (19.8)], где длина пути перемешивания 1, а также длина 11 представляют собой функции только точки, причем выбор этих функций должен производиться в каждом отдельном случае в соответствии с условиями рассматриваемой задачи. Мы можем выбрать также формулу Прандтля 419.10) для коэффициента турбулентного обмена, т. е.
формулу ду = РК1(а (и~пах иппп) (24.5) в 2) ОЦЕНКА УВЕЛИЧЕНИЯ ШИРИНЫ ЗОНЫ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ 651 где Ь означает ширину зоны перемешивания, х, есть эзширическая постоянная, а А = рс = рх1Ь (ишак — июгз) (24.5а) есть коэффициент турбулентного обмена, который принимается постоянным по всей ширине зоны перемешивания и, следовательно, зависит только от хг).
Можно выбрать также формулу Кармана (19.19) или формулу Тэйлора (19. 11). Результаты, получаемые при применении формул (24.3), (24.4) и (24.5), отличаются один от другого сравнительно мало. Наилучшее совпадение экспериментом дает формула (24.5), которая одновременно приводит и к более удобному интегрированию. Поэтому мы будем предпочитать польаоваться этой формулой.
Впрочем, некоторые случаи мы рассмотрим на Основе формул (24.3) и (24.4), во-первых, для того, чтобы показать, насколько отличаются один от другого результаты, получаемые посредством разных формул, а во-вторых, потому, что формула (24.3) играет очень большую роль при расчете течения в трубах. В частности, при исследовании течения в трубах именно эта формула дала возможность вывести универсальный логарифмический закон распределения скоростей. и 2. Оценка увеличения ширины зоны перемешнвания и уменьшения скорости свободных струй Прежде чем приступить к интегрированию системы уравнений (24А) и (24.2) для некоторых случаев свободной турбулентности, найдем оценки, позволяющие судить о законе возрастания ширины зоны перемешивания и о законе уменьшения «глубины> (максимальной ординаты) профиля скоростей по мере увеличения расстояния х.
Необходимые вычисления выполним, следуя Л. Прандтлю Рг!. Для решения задачи о турбулентной струе и спутном турбулентном течении (следе) позади тела целесообразно считать длину пути перемешивания [ пропорциональной ширине струи Ь, т. е. принять, что (24.6) — =р =сопзс. ь Далее, оправдало себя следующее предположение: приращение во времени ширины Ь зоны перемешивания пропорционально поперечной пульсации л' скорости, т.
е. Ю~ .[22 где .0Юг есть субстанциальная производная, следовательно, в стационарном случае )2 д д — =и — +и— 222 дх ду Согласно оценке (19.6), полученной в у 2 главы Х[Х, (да и'- [— ду ' г) Предположение о приближенном постоянстве коэффициента турбулентного обмена в ваправлении оси у, т.
е. по ширвне зоны перемешивания, впервые обсуждено Г.райхардтом. В своей критике феноменологической теории турбулентности Г. Райхардт [зз) сравнил между собой результаты, вытекающие из предположений о постоянстве коэффициента турбулентного обмена [А, (у) = сошЦ, о постоянстве длины пути перемешизания [) (у) = = совет] и о постоянстве переноса импульса [Л (у) = сопзЦ. См.
также 1 4 настоящей главы. 652 1гл. хх1У СВОБОДНАЯ ТУГБУЛКНТНОСТЬ позтому ВЬ ди Вг ду Наконец, среднее значение величины ди/ду на половине ширины струи равно ( — ) = число следовательно, с~ь = ЧИСЛО ' идаах = ЧИСЛО' каир~ах В1 (24.7у Свободная граница струи.
Применим полученные выше соотношения для оценки возрастания ширины зоны перемешивания, возникающей при соприкосновении двух потоков, по мере увеличения расстояния х. Для свободной границы струи мы имеем вь «ь Вс и1дах дх Сравнив соотношения (24.8) и (24.7), мы получим дь — = число — = сопвь, дх Ь (24.8) следовательно Ь = число х. Таким образом, ширина зоны перемешивания, возникающей при соприкосновении двух потоков жидкости, пропорциональна расстоянию х от точки первого соприкосновения обоих потоков.
В полученное соотношение вообще следует ввести постоянную интегрирования, однако при соответствующем выборе начала координат ее можно сделать равной нулю. Плоская и круглая струи. Соотношение (24.8) применимо также к плоской и круглой струям, причем теперь под и, надо понимать скорость в середине струи.
Следовательно, и для круглой и для плоской струи Ь = число х. (24.9) Для определения связи между и„, и х воспользуемся теоремой импульсов. Так как давление в струе постоянно, то, проинтегрировав составляющую импульса в направлении х по всему поперечному сечению струи, мы получим величину, не зависящую от х.
Таким образом, Х = р ) иайг" = сопзь. или, после замены Ь его выражением (24.9), /г ишак = ЧИСЛО' = ~/ — (ПЛОСКБЯ СТРУЯ). -(у, -~' Р Для круглой струи импульс равен Г ЧИСЛО ' Ридаахь (24ЛОу Обозначив через Г импульс массы жидкости, проходящей в единицу времени через поперечное сечение плоской струи высотою в единицу„ мы найдем Х = числО 'Рид~ахЬ~ следовательно, Г.г ид1ах числО Ь ~/ -1/2 Р 653 вы ОЦЕНКА УВЕЛИЧЕНИЯ ШИРИНЫ ЗОНЫ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ а потому 1 ГУ Имат = ЧИСЛО нли, после замены Ь его выражением (24.9), /' у ишах = число — у х р (круглая струя).
(24.11) Плоский след и след за телом вращения. В случае следа вместо соотношения (24.8) следует взять РЬ аЬ вЂ” =П Р1 "Л*' а вместо соотношения (24.7)— РЬ вЂ” =число — и~=число ()и~ Р1= 'Ь тде и1 — — Ь' — и есть скорость течения в следе. Приравняв оба выражения .ОСЬ, мы получим для плоского следа и следа за телом вращения сЬ 1 Ь7 — — и1 = рим ат Ь нли — — (плоский след и след за телом вращения). (24.12) ИЬ и, й У«) з = И"=р ) и(П вЂ” и) пг' (см. равенство (9.40)).
На большом расстоянии позади тела скорость и1 —— = Ь7 — и мала по сравнению с (7, поэтому можно принять, что там и(Ь7 — и) =(У вЂ” и,)и,иП ио Таким образом, для плоского и круглого спутных течений, а также для пло- ского следа и следа за телом вращения мы имеем У = И7 р(7 1 и1(У'. (24.13) Плоское спутное течение (плоский след). Сопротивление цилиндрического тела высотой й и диаметром и равно Ьу=сту 2 0 ЬО, а поток импульса в спутном течении или следе, согласно формуле (24.13), пропорционален Х р(7 и1ЬЬ. Приравняв значения ЬУ и Г, мы получим сту1 У,.> 2Ь (24 14) Внеся это выражение и,/Ь7 в соотношение (24.12), определяющее В задаче о следе (или о спутном течении) вычисление импульса производится несколько иначе, чем для струи, так как теперь импульс непосредственно связан с сопротивлением тела Ит.
Проведем контрольную поверхность далеко позади тела, там, где статическое давление совпадает с давлением невозмущенного течения; тогда для импульса мы получим 654 своводнля турврлинтность гл. ххпу приращение ширины спутного течения (следа), мы будем иметь ль йл 2Ь вЂ” — ~с или Ь (рхстус()1/2 (плоское спутное течение).
(24.15) Уе =стуРг 1/ > а поток импульса в спутном течении (следе), в соответствии с формулой (24.13), пропорционален У р(/ и1Ь2. Приравняв И/ и /, мы получим и1 етуе У Ьз (24. 17) Далее, подставив это выражение и//7У в соотношение (24.12), мы найдем для приращения ширины Ь оценку ь — -(); к , бь Ил откуда Ь (рстрРх)1/з (спутное течение за телом вращения).
(24.18) Наконец, внеся зто выражение Ъ в соотношение (24.17), мы найдем, что глубина впадины, образуемой профилем скоростей, связана с расстоянием х соотношением и, / сту/з тмз — 1 — ) (спутное течение за телом вращения).
(24.19) 6222 ) Таким образом, для спутного течения (следа) за телом вращения ширина Таблица 24.1. Степенные законы увеличения ширины и уменьшения скорости течения с увеличением расстояния л для различных случаев свободной турбулентности Турбулентное течение Ламлларкее течение скорость ишая влв из скорость ише вли и1 ширина Ь ширина Ь 1/2 2/З Свободная граница струи Плоская струя Круглая струя Плоское спутное течение (плоский след) Спутное течение (след) за телом вра- щения е , -1/2 о л — ыз з-1 л — 1/2 2-1 -1/2 1/г Х вЂ” 2/З 1/2 1/З Подставив найденное выражение Ь в соотношение (24 14), мы получим и1 / см а 11/2 — ( †) (плоское спутное течение). (24. 16) (/„( р ) Следовательно, ширина плоского спутного течения (следа) увеличивается пропорционально ~'х, а скорость уменьшается пропорционально 1/)сх.
Спутное течение (след) за телом вращения. Сопротивление тела с лобовой площадью Р равно 655 ПРИМЕРЫ % 3! а" ВОЗРаСтаЕт ПРОПОРЦИОНаЛЬНО Рт Х, а СКОРОСТЬ УМЕНЬШавтСЯ ПРОПОРЦИОНаЛЬНО 1/рт хв. Степенные законы изменения ширины потока и скорости для рассмотренных случаев свободной турбулентности сопоставлены в таблице 24.1, причем для сравнения указаны также соответствующие законы для аналогичных ламинарных течений, рассмотренных в главах 1Х и Х1. и 3. Примеры л) а 4 (24.20) и=и(у, т), и=О.
В уравнении (24.1) конвективные члены отпадают. Приняв, что касатель- ное напряжение определяется формулой Прандтля (24.3) для длины пути перемешивания, мы получим из уравнения (24.1) (24.21) 1Вирина Ь зоны перемешивания увеличивается с течением времени, следовательно, Ь = Ь (1). Длину 1пути перемешивания будем считать, каки прежде,пропорциональной ширине Ь, т. е.примем, что 1 = рЬ. Предположение об аффинности профилей скоростей требует соблюдения пропорциональности и 1 (т1), где т[ = у/Ь, а Ь гн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
