Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 178
Текст из файла (страница 178)
Более того, распределения скоростей, вычисленные на основе различных формул для турбулентного касательного напряжения, мало отличаются одно от другого. Основная идея всех наложенных выше теорий турбулентности состоит в том, что вводится некоторое подходящее предположение о связи между турбулентным трением н и осредненным движением. На основе этого предположения производится матемтическое исследование более или менее сложных случаев течения, и затем полученные реаультаты сравниваются с измерениями. Все эти дедунтиеные теории турбулентности озбладают одним общим недостатком: заранее нельзя сказать, какое из полуэмпирических предположений о связи между турбулентным касательным напряжением и осредненным движением наиболее близко соответствует физической действительности.
Нельзя этого сделать прежде всего потому, что результаты различных теорий турбулентности отличаются один от другого, как уже было сказано, сравнительно мало. Г. Райхардт [гг[, [ге) сделал попытку пойти по обратному пути, а именно по пути создания индунтиенай теории турбулентности. Вместо того, чтобы исходить из какой- либо гипотезы о турбулентности, например из гипотезы о пути перемешивания, допускающей сравнение с измерениями только после выполнения длительных вычислений, Г. Райхардт пытался обойтись совсем без гипотез о турбулентности.
На основе критического изучения обширного экспериментального материала о свободной турбулентности, а также на основе своих собственных, очень тщательных намерений Г. Райхардт установил, что в любом случае профиль скоростей с большой точностью может быть аппроксимирован либо функцией ошибок, либо интегралом ошибок г). Исходя из этого вывода, Г.
Райхардт сводит >) Как мы видели в предыдущем параграфе, ' теоретическое исследование плоского спутного течения и свободной границы струи привело именно к таким профилям скоростей. 67з зАЕОИ РАйхАРдтА пеРенОсА импульсА — > — +из) + — (ио) =Оэ д г р — г д дх(р ) ду (24. 48) В таком виде это уравнение, представляющее собой осредненное по времени уравнение движения в направлении х, было использовано уже О. Рейвольдсом для выявления турбулентного кажущегося трения (см. уравнения (18.6а) и (18.8)).
В случае свободной турбулентности из уравнения (24.48) выпадает давление. Второе уравнение, используемое Г. Райхардтом,носит феноменологический характер и имеет вид диз ко= — Л вЂ”, ду (24.49) где Л = Л (х) есть коэффициент переноса импульса, имеющий размерность длины и подлежащий определению путем опыта. Левая часть этого уравнения представляет собой, с точностью до множителя р, касательное напряжение; ее можно понимать также как перенос х-составляющей импульса в направлении у (поток импульса).
Согласно уравнению (24.49) поток х-составляющей импульса в поперечном направлении пропорционален градиенту импульса в поперечном направлении. Следовательно, этот закон переноса импульса аналогичен основному закону теплопроводности, согласно которому поток тепла пропорционален градиенту температуры, причем коэффициент переноса Л соответствует коэффициенту теплопровдности )>. Исключив из уравнений (24.48) и (24.49) величину ио и имен в виду, что для свободной турбулентности р = О, мы получим уравнение Райхардта диз дгиз — =Л (х)— дх дуз (24.50) Это основное уравнение теории Райхардта определяет распределение скоростей (распределение х-составляющей импульса) при свободной турбулентности.
Если в уравнении (24.50) положить Л = сопз1 и понимать под х время, а под у пространственную координату, то оно совпадет с уравнением одномерной теплопроводности. Следовательно, по Г. Райхардту, распределение импульса при свободной турбулентности удовлетворяет обобщенному уравнению теплопроводности с коэффициентом теплопроводности, зависящим от времени.
Решения уравнения (24.50) выражаются, как известно из теории теплопроводности, через функцию ошибок или через интеграл ошибок. Таким образом, уравнение (24.50) правильно передает свойство профилей скоростей свободной турбулентности, установленное измерениями, а именно зависимость формы этих профилей от функции ошибок или интеграла ошибок. Поясним на примере идею Г. Райхардта. Как показывают измерения, распределение импульса в плоской свободной струе и в плоском спутноы течении можно представить с хорошим приближением посредством уравнения йз = сг+ — э ехр ~ — ( — ) содержащего функцию ошибок.
Величины с, и с, представляют собой постоянные, а Ь есть длина, зависящая от х и являющаяся мерой ширины зоны перемешиваиия. Легко убедить- ся прямой подстановкой, что это уравнение является решением дифференциального урав- нения (24.50) при условии, что коэффициент переноса импульса принимается равным Ь дЬ Л (х) 2 дх' Теория Райхардта позволяет вывести степенные законы для скорости в середине струи или спутяого течения, а также для ширнны атих течений без помощи гипотез о турбулент- ности, испольаованных в 1 1 настоящей главы.
закономерности свободной турбулентности к простой системе формул, ве требующей поисков решения дифференциальных уравнений гидродинамики путем утомительного интегрирования, проиаводимого часто без полного отчета о физической сущности явления. Он ставит перед собой задачу вычислить на основе измеренного распределения динамического давления, без введения каких-либо гипотез о турбулентности, такие характерные для свободной турбулентности величины, которые либо совсем не поддаются измерению, либо поддаются, но с трудом.
Г. Райхардт исходит из уравнения импульсов, составленного для осредненных по времени величин и имеющего для плоского течения, если пренебречь членами, учитывающими вязкость, следующий вид: '672 [гл. ххгд СВОБОДНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ з 5. Диффизия температуры при свободной турбулентности При турбулентном перемешивании происходит перенос и перемешивание свойств текущей среды в направлении, перпендикулярном к главному движению.
Прежде всего происходит перенос импульса главного движения; кроме того, переносятся субстанции, содержащиеся в жидкости (взвешенные вещества, химические примеси), а также тепло. Мерой интенсивности переноса какого-либо определенного свойства в поперечном направлении служит соответствующий коэффициент турбулентного обмена. Обозначим коэффициенты турбулентного обмена для импульса и тепла соответственно через А, и Ад. Уравнения, определяющие эти коэффициенты, имеют вид (см. $ 1 главы ХХП1) ди в=А НР ат д=Адср —, дд У ! 1 Ах/А, а шах 1 ашах ) Масштабы для и и Г должны быть выбраны так, чтобы точки и = 0 и Т = 0 соответствовали одна другой.
Результаты измерений Г. Райхардта, выпол- ненных для плоской свободной струи (рис. 24.10), а также для плоского спутного течения, хорошо передаются законом тшах = ( вшах ) откуда следует, что коэффициенты турбулентного обмена Ад и А; связаны между собой соотношением Ад — =2, А что совпадает с теорией Дж. И. Тэйлора (ха!.
где и и срТ суть соответственно импульс и количество тепла, отнесенные к единице массы, т — поток импульса и д — поток тепла (т. е. количество тепла, переносимое в единицу времени через единицу площади). Под и и Т следует понимать осредненные по времени значения. Так как механизм турбулентного обмена для импульсов и тепла не одинаков, то коэффициенты турбулентного обмена А, и Ад в общем случае не совпадают.
Однако при применении теории пути перемешивания Прандтля к свободной турбулентности принимается, что механизм турбулентного обмена для нашульсов и тепла одинаков, следовательно, одинаковы А, и Ад. Между тем измерения А. Фэйджа и В. М. Фокнера [аа] показали, что в спутном течении позади нагретого стержня профиль температур шире, чем профиль скоростей, и что приближенно Ад —— — 2А,. Это совпадает с выводами теории Тейлора, изложенной в з 3 главы Х1Х и основанной на предположении, что при турбулентном перемешиванни происходит обмен не импульсов, а вихревой напряженности.
Впоследствии проблема распространения тепла была исследована теоретически и экспериментально Г. Райхардтом (ха). Теоретические соображения, примененные Г. Райхардтом, по своему характеру тесно примыкают к соображениям, изложенным в предыдущем параграфе. Так же, как н там для распределения скоростей (распределения импульса), Г. Райхардт вывел для распределения температуры приближенные формулы только на основе измерений, т. е.
не прибегая к какой-либо гипотезе о турбулентности. Путем ряда умозаключений, подробностей которых мы не можем здесь излагать, Г. Райхардт установил, что между распределением температургз и распределением скоростей существует следующая примечательная связь: ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ ХХ1Ч Измерения распределения температуры в нагретой круглой струе выполвили С. Коррсин и М. С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
