Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 176
Текст из файла (страница 176)
На большом расстоянии позади тела статическое давление в спутном течении равно статическому давлению в невозмущениом течении; поэтому теорема импульсов, примененная к контрольной поверхяости, заключающей в себе рассматриваемое тело, дает для сопротивления цилиндра высотой Ь величину + +О И'=Ьр ~ и(У вЂ” и) ду=Ьр ~ и1(У вЂ” и1) ду. Если пренебречь малой величиной и,', то мы получим И' = ЬрУ ~ и1ду или, имея в виду, что И =сидЬ2 где д есть толщина цилиндра, + 1 у1 пу = — си и П (24. 32) Ширина Ь и скорость и, спутного течения изменяются по мере удаления от тела, как мы уже выяснили в з 2 настоящей главы, по степенным законам Ь х11а и и, х Мэ.
Р е ш е н и е н а о с н о в е ф о р м у л ы (24.3). Внеся соответствующее выражение в уравнение (24.1) и имея в виду, что член э ди/ду мал, мы получим (24.33) 42"' 660 СВОБОДНАЯ ТУРБУЛИНТНОСТЬ !гл. хх2ч Длину пути перемешивания будем считать постоянной по ширине Ь спут- ного течения и, кроме того, пропорциональной Ь, т. е. примем, что 1 = рЬ(х). Поскольку предполагается, что профили скоростей аффинны между собой, введем в качестве независимой переменной величину У г! =— ь Далее, в соответствии с указанными выше степенными законами изменения ширины спутного течения и глубины впадины профиля скоростей примем, что 22 (с )х)2!2 (24.34) и!=0' ( —,„) 1(2)).
(24.35) Внеся зти выражения Ь и и, в уравнение (24.33), мы получим для определения 1 (ц) дифференциальное уравнение 2(!+'!! ) в 232 с граничными условиями и!.= 0 т. е. и — =-0 при у=Ь, ди! дч =0 при 2) =1. Проинтегрировав это уравнение один раз, мы найдем 2 иУ В 1 2 причем постоянная интегрирования равна нулю вследствие граничных условий. Проинтегрировав второй раз, мы получим 1 (1 цз!2)2 д 222 Внеся принятое для и! выражение (24.35) в интеграл (24.32) и имея в виду, что +! „ 2!2)2,)„ 1С ' — 1 мы получим для постоянной В значение В = 'у'10р. Следовательно, окончательным решением будет Ь = )/ГО Д(хси !))2Л и (24. 36) (24.37) Таким образом, формула (24.3) привела опять, как и при исследовании развития во времени слоя раздела двух потоков, к конечной ширине зоны перемешивания.
И теперь на границе зоны перемешивания, т. е. при у = Ь, кривизна профиля скоростей изменяется прерывно. В середине же зоны перемешивания, т. е. Нри у = О, производная дии!дуз имеет бесконечно большое значение, следовательно, здесь профиль скоростей имеет точку заострения. 661 2 2) ПРИМЕРЫ На рис. 24.4 показано сравнение теоретической кривой 1, соответствующей уравнению [24.37), с результатами измерений Г. Шлихтинга [зз) позади круглого цилиндра. Совпадение получается очень хорошее. Единственная -йф -([г и ([г ([ф щ аю ~п Рис.
24А. Распределение скоростей в плоском следе поаади круглого цилинпра; сравнение теоре- тических кривых ()) (уравнение (24.22)) и (г) [уравненве (24.220 с измерениями'шлихтиига рч. свободная постоянная р, входящая в формулы (24.36) и [24.37), по-прежнему должна быть определена из опыта. В частности, для этого можно воспользоваться измерениями Г. Райхардта [хз[ н Г. Шлнхтинга ["), изображенными га гь, )й гяо' )р о "о М)яереякя ° )тпйля))атяаг ° Шгаютялег у() г 4 У В~Па г 4 Р 'I()а гяя Рис.
24.4. Увеличение ширины плоского следа позади круглого цилиндра по мере удаления от послед- него. Кривая (П соответствует формуле ЬЧ, т/е(кем К) )а. на рис. 24.5 и показывающими зависимость ширины спутного течения позади круглых цилиндров разных диаметров (2 от расстояния х. Из этих измерений следует, что Ь(ж = — (лс)у([) 02,' 1 4 где Ьмх есть половина ширины впадины профиля скоростей на половине глубины этой впадины.
Так как Ьях = 0,441Ь, то 0,441 у'10 р= —, 663 в з] ПРИМЕРЫ В. Толмин ["! рассчитал плоское спутное течение, взяв для турбулентного касательного напряжения формулу Кармана (19.19). При выполнении этого расчета В. Толмину пришлось ввести некоторые дополнительные допущения в окрестности точки перегиба профиля скоростей, где производная д'и/ду' принимает нулевое значение. Тщательные исследования турбулентных пульсаций в следе позади круглого цилиндра выполнены А. А. Таунсендом [4'! при числах Рейнольдса, начиная примерно с 8000. Выяснилось, что позади цилиндра, на расстояниях, равных примерно от 160 до 180 диаметров цилиндра, турбулентное течение развивается еще не на всей ширине следа. Полная турбулентность возникает только в ядре следа, по краям же течение получается временами ламинарным, временами турбулентным.
Измереяия в спутном течении позади симметричного крылового профиля выполнены Г. Муттреем ['з!. Расчет ооесимметричного спутного течения выполнила Л. М. Свэн [' [, причем для турбулентного касательного напряжения она взяла формулу (24.3). Для распределения скоростей получилось опять уравнение (24.37), т. е. такое же уравнение, как и при плоском спутном течении. Для ширины же спутного течения и скорости в середине струи получились иные степенные законы, а именно: Ь х' н в1 мах х 1см.
таблицу 24.1 на стр. 654). До самого последнего времени считалось твердо установленным, что в спутном течении распределение скоростей далеко позади тела не зависит от формы тела и поэтому носит универсальный характер. Это представление было поставлено под сомнение после выполненных Г. Райхардтом и Р. Эрмсхаусом [ы! измерений скоростей позади тела вращения. Эти измерения показали, что позади сплющенных тел (диск, конус с отношением диаметра к высоте 1:1) профили скоростей получаются более полными, чем позади тонких тел (например, позади конуса с отношением диаметра к вы- Г соте от 1: 4 до 1: 6).
В то же время профили скоростей на различных '~ ф т" расстояниях позади тела в любом случае остаются подобными один другому. В плоском спутном течении такого рода различия не наблю- У .даются. 4. Спутное течение позади решет- г ки из стержней. Со спутным течением позади изолированного тела весьма сходно спутное течение позади решетки, составленной из большого числа отдельных стержней, расположенных один от другого на одинаковом расстоянии )., называемом шагом решетки (рис.24.6). Этот случай исследован теоретически и экспериментально Р.
Гран Ольсоном ["!. На некотором расстоянии позади решетки ширина спутного течения, вызванная одним стержнем, равна шагу решетки, т. е. Ь = о,. И здесь скорость спутного течения и1 = Г7 — и мала по сравнению со скоростью У; поэтому уравнение (24.1) упрощается и принимает вид — Гг ди1 1 дт (24.40) дх р ду В рассматриваемом случае вычисления выполняются особенно просто, если для турбулентного касательного напряжения взять формулу (24.4). Прежде 664 [ГЛ. ХХ1У СВОБОДНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ всего необходимо найти степенной закон, устанавливающий связь между и, и х. Примем, что ° —."~ ~у); тогда мы будем иметь 1 Р-1 дз Так как длина пути перемешивания пропорциональна ширине спутного течения, а потому постоянна, то для правой части уравнения (24.40) мы имеем оценку дт да дзи — — — хат.
ду ду дуа Следовательно, р — 1=2р, откуда р = — 1. Таким образом, скорость спутного течения уменыпается пропорционально х '. Из характера задачи следует, что распределение скоростей по ширине спутного течения при вполне развившемся течении должно выражаться периодической относительно у функцией с периодом Л. Поэтому примем, что и1 = 7У А ( — ) соз (2я+ ), где А есть свободная постоянная, подлежащая определению. Точка у = 0 совпадает с серединой впадины профиля скоростей спутного течения. Внеся это выражение и1 в формулу (24.4) для касательного напряжения т и положив 1 = сопзс, мы получим особенно простой результат, если примем, что длина 2я (такое допущение оправдывается из наглядных соображений).
А именно в этом случае мы будем иметь следовательно, окончательным решением будет и1= —, ( — ) — соз (2п У ) . 124.41у Как показали измерения Р. Гран Ольсона, это распределение скоростей совпадает с действительным распределением, начиная с хй ) 4. Для длины пути перемешивания позади решетки из цилиндрических стержней с отношением ЛЫ = 8 получается значение — = 0,103. Р.
Гран Ольсон выполнил расчет спутного течения позади решетки из стержней также на основе формулы (24.3), т. е. для случая, когда 1, = О. Такой расчет оказался значительно более трудоемким. Расчет на основе — — =1з ( — ) У' А'( —,) соз (2я+). Внеся это выражение в правую часть уравнения (24.40), мы найдем, что (~)' А= 8зз 2 з) ПРИМЕРЫ ди ди дзи и — +и — =е —.' дг ду дуз ' (24.42). К этому уравнению следует присоединить уравнение неразрывности. Кажу- щаяся кинематическая вязкость равна з = м1ЬУ, где У есть скорость в середине струи. Обозначим через У, скорость в сере- дине струи на некотором характерном постоянном расстоянии г от щели а через Ь, — ширину струи в этом месте; тогда мы будем иметь и=и,( —;) '", Ь=Ь,— *.
Следовательно, з=з ( — )02 где е, = л,Ь,У,. Далее, введем новую переменную у т) =о — ° 2) Положив е = КХ (ишзз — и,ш„), мы иолучим Сравнив с формулой (24.41), мы найдем для К звачеиие l( 12 К=л ( — ) =0,1032л=00333. (т)— Следовательно, кгжущаяся вязкость в рассматриваемом случае равна с=О,ОЗЗЗХ (ошах "ш~о).
формулы (24.5), выполненный Г. Гертлером ["], привел опять к распределению скоростей (24.41) '). Г. Кордес [Ч вычислил распределение скоростей позади решетки также на малом расстоянии от нее. Решетки с очень тесно расположенными стержнями применяются для успокоения потока воздуха в аэродинамических трубах, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
