Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 175
Текст из файла (страница 175)
Показатель степени р, определяющий приращение ширины зоны перемешивания с течением времени, можно найти из условия, что в уравнении (24.21) член, зависящий от ускорения, и член, зависящий от трения, должны быть пропорциональны одинаковым степеням г. Левая Оценки, полученные в предыдущем параграфе, дают хорошее представление об основных особенностях турбулентных течений без ограничивающих стенок. Рассмотрим теперь некоторые примеры более подробно и при этом полностью вычислим из уравнения движения распределение скоростей.
Для этой цели необходимо присоединить к уравнению движения одну из формул (24.3) — (24.5), определяющих турбулентное касательное напряжение. Примеры, на которых мы остановим- о ся, характерны тем, что для них все профили скоростей аффиниы между собой, т. е. профи- Ю ли скоростей, получающиеся на различных расстояниях х от начальной точки, могут быть приведены в совпадение один с другим путем соответствующего выбора масштабов для скорости и ширины. 1. Развитие во времени слоя раздела. В качестве первого примера рассмотрим развитие во валеное состояние п = о>; с> солев яовннее состояние.По Прайлтлю'Р Ч. времени слоя раздела.
Изложение будем вести, следуя Прандтлю [та[. Пусть в момент времени 1 =-- 0 два потока жидкости, движущиеся в одну и ту же сторону со скоростями От,и Ув,приходят в соприкосновение один с другим вдоль прямой у = 0 (рис. 24.2). Слой раздела, на котором происходит скачок скорости, неустойчив. Вследствие турбулентного перемешивания он превращается в слой с непрерывным изменением скорости, причем ширина этого слоя с течением времени возрастает. Возникает нестационарное плоское слоистое течение, для которого 1гл. Ххгч СВОБОДНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ часть уравнения (24.21) пропорциональна ь т, в то время как правая часть пропорциональна Ьоо-оэ Ь-Р Скорость и целесообразнее всего искать в следующем виде: 2( 1+ э)+2( и=У +А1(ч), (24.22) или если для сокращения записи ввести обозначения ГГ В +Ь'о А тт — Ь'о ш 2 1 Для того чтобы на краях зоны перемешивания, т.
е. при у = ~ Ь, скорость и принимала значения П~ и Пю необходимо, чтобы при д = ~ 1 функция 1 имела значения ~ = ~ 1. Внеся выражение (24.22) в соотношение (24.21), мы получим для определения ~ (ц) дифференциальное уравнение РэА Ч1'+ в Я" = О. Одним иэ решений этого уравнения является ~' = О, т.
е. 1 = сопзФ. Такое решение соответствует неинтересному случаю постоянной скорости по ширине зоны перемешивания. Если же ~' Ф О, то после деления обеих частей уравнения на ~' мы будем иметь б'А ц+ —,У"=О. Проинтегрировав это уравнение, мы получим 1 (д) = сот)о + с~и, где в со = — —. 66эА ' Полученное решение уже удовлетворяет условию 1 (0) .= О. Постоянные со и с1 определяются из условия, что ~(т~) = 1 и ~'(г~) = 0 при у = Ь, т. е. при о) = 1. Следовательно, з с1 = — . 2 ' 1 со=— 2 ' Внеся найденное выражение ~ (т)) в равенство (24.22), мы получим решение в окончательном виде: и(У, г)=2(П'+По)+2(Ж По)Ь(ь") 2 (ь) ~' (24.23) причем 2 ~ 3 э (24. 24) Следовательно, р = 1.
Таким образом, при решении задачи мы будем исходить из допущений, что Ь=Вт, У Р ь во 657 2 21 ПРИМЕРЫ Распределение скоростей (24.23) изображено на рис. 24.2. Это распределение обладает примечательным свойством: скорость в зоне перемешивания переходит в скорость невозмущенного течения не асимптотически, а на конечном расстоянии у = Ь от прямой у = О, причем в точке смыкания вторая производная дзи!ду2 претерпевает разрыв. Такого рода неасимптотическое смыкание отдельных частей профилей скоростей является общим свойством всех решений, получаемых при применении формулы Прандтля (24.3), определяющей турбулентное касательное напряжение, и представляет собой своеобразное нарушение изящества этой формулы, отпадающее при переходе к более точным формулам (24.4) или (24.5).
Величина (1 = 11'Ь является единственной эмпирической постоянной полученного решения. Она может быть определена только из опыта. 2. Свободная граница струи. С только что разобранной задачей тесно связана задача о свободной границе струи. Рассмотрим более общий случай, чем изображенный на рис. 24.1, а, а именно предположим, что в точке х = О приходят в соприкосновение два параллельных потока, имеющие постоянные скорости 521 и и12, причем 22'1) У2. Ниже по течению от сечения х = О образуется зона перемешивания, ширина которой возрастает пропорционально расстоянию х (рис. 24.1, а).
Впервые эту задачу решил В. Толмин (411 при помощи формулы Прандтля (24.3) для длины пути перемешивания. Здесь мы приведем более простое в отношении вычислений решение Г. Герт- лера (12), полученное на основе формулы Прандтля (24.5) для коэффициента турбулентного обмена. Так как кажущаяся кинематическая вязкость е не зависит от у, то из уравнения (24.1) и соотношения (24.5) следует, что ди ди дзи и — +г — =е —. ди дд ддз (24. 25) Подставив в формулу (24.5а) Ь = сх, мы найдем, что в рассматриваемом случае кажущаяся кннематическая вязкость равна 3 = Х1СХ (У1 — и' 2). (24.26) Вследствие аффинности профилей скоростей составляющие скорости и и и суть функции от у1г.
Положив од 2 мы сумеем проинтегрировать уравнение неразрывности путем введения функции тока 2р = хГР ($), где Г21+ У2 2 При такой функции тока составляющая скорости и равна и = ЖУИР'($). Внеся это выражение и в уравнение (24.25), мы получим для определения Р ($) дифференциальное уравнение Р"' + 2оРР" = О, (24. 27) где 1 У1 02 о = и Х= Граничными условиями будут аР'(з) =1~1 при $=~ со. 42 Г. шиихиииг 658 1гл. ххпк сВОБОднАя турвулвнтность Дифференциальное уравнение (24.27) совпадает с дифференциальным уравнением (7.28), полученным Г. Влазиусом для продольного обтекания плоской пластины, однако теперь мы имеем другие граничные условия.
Г. Гертлер решил уравнение (24.27) путем разложения ОР($) в ряд ОР($) = Ро Л) + ЛР1 (ть) + ЛвРг (ть) +..., (24.28) где Ро = $. Внеся выражение (24.28) в уравнение (24.27) и расположив все. члены по степеням Л, мы получим систему дифференциальных уравнений для определения функций Р, ($), Рв(с),..., причем для решения каждого последующего уравнения необходимо проинтегрировать предыдущее уравнение.
Первое уравнение этой системы имеет вид Р; +2$Р",=О, (24.29) причем граничными условиями будут Р;($) = ~1 при $ = ~ос. Уравнение (24.28) имеет своим решением интеграл ошибок 2 +$ Р'(з) == ( е-" Ыз=ег1$. б Остальные члены ряда (24.28) не вносят какого-либо существенного изменения в полученное решение. Таким образом, мы имеем следующее решение: (24.30) причем "=Π—. р в я На рис. 24.3 показано сравнение теоретического решения для случая, когда Г7в — — О, с измерениями Г.
Райхардта [вв]. Совпадение получается очень хорошее. Величина О является единственной эмпирической постоянной, остающейся свободной при теоретическом решении; он а подлежит определению (о из измерений. Как показали У измерения Г. Райхардта, ши— йд рина Ьо,, зоны перемешивания между сечениями, в которых (и/П,)в = 0,1 (чему —,4 — — ' соответствует значение $ = — Умаа~~~амба = — 0,345) и 0,9 ($ = 0,975),. ° озн~енладааху>Лад ч"3 равна Ьол = 0 098т. ла 4» 'о йй йб (а ~б -Р йй Отсюда получается, что О = 3 бй бл = 13,5.
Следовательно, ка- жущаяся кинематическая вязРис. 24.3. Распределение скоростей в воне перемепсиваиия свободной траннпм струи; о = 13,5. кость равна е = 0 014ЬолПО В. Шаблевский [в'], [в'], [ва] распространил эти результаты, а также результаты, изложенные в и. 1 настоящего параграфа, на такие случаи, в которых смешивающиеся струи имеют сильно отличающиеся плотности, но мало разнящиеся скорости. Выяснилось, что ширина зоны перемешивания 659 г з1 ПРИМЕРЫ мало зависит от величины разности плотностей. Однако с увеличением разности плотностей положение зоны перемешивания смещается в сторону более легкой струи.
Эти результаты могут быть применены также к случаю смешения двух струй с различной химической концентрацией. Свободная граница сверхзвуковой струи экспериментально исследована П. Б. Гудерумом, Г. П. Вудом и М. Дж. Бривуртом [ы). Было обнаружено, что в этом случае зона перемешивания несколько уже, а турбулентность несколько меньше, чем при несжимаемом течении. 3. Плоское спутное течение позади изолированного тела (плоский след). Плоское спутное течение теоретически впервые было исследовано Г. Шлихтингом [м) в его геттингенской диссертации на основе формулы Прандтля (24.3) для длины пути перемешивания. Позднее Г.
Райхардт [ш) и Г. Гертлер РЧ получили решение на основе формулы Прандтля для коэффициента турбулентного обмена. Приведем и то и другое решение, чтобы показать, что оба они дают почти одинаковые результаты. В спутном течении профили скоростей аффинны между собой лишь на большом расстоянии позади тела; на малых же расстояниях аффинность профилей не соблюдается. Мы ограничимся рассмотрением течения только на больших расстояниях х позади тела, где скорость спутного течения (24.31) и,=У вЂ” и мала по сравнению со скоростью У набегающего потока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
