Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 152
Текст из файла (страница 152)
Затем воспользуемся логарифмическим законом, пригодным при произвольно больших числах Рейнольдса (см. рис. 20.4), но ограничимся только приведением результатов, так как полные вычисления для этого случая довольно трудоемки. 1. Вывод закона сопротивления из закона степени 1/7 для распределения скоростей. На основании сказанного в начале настоящего параграфа закон степени 1/7 для распределения скоростей (20.6) в применении к пограничному слою на пластине следует переписать в виде 16) (21.4) з) Для степенном закона з общем виде, т. е. для и/(7 = (у/Ь) '/", мы будем иметь 61 1 бе л б 1+ л ' б (1-(-л) (2-(-л) где 6 = 6 (х) есть толщина пограничного слоя, меняющаяся вместе с расстоянием х от передней кромки пластины.
Функция 6 (х) может быть определена только из последующих вычислений. Принимая для распределения скоростей в пограничном слое на пластине уравнение (21.4), мы тем самым вводим предположение о подобии профилей скоростей, согласно которому они при построении в координатах и/(/, у/6 сливаются в одну кривую. Для напряжения то на стенке также возьмем формулу, полученную для течения в трубе, т. е. формулу (20.12а). Сделав .указанные в начале параграфа замены, мы будем иметь — =0,0225 ~ — ) (21.
5) Подставив значение и нз уравнения (21.4) в равенства (8.33) и (8.34), определяющие толщину вытеснения и толщину потери импульса, мы получим ') з= З' бз 72 6 7 (21.6) Из соотношений (21.3) и (21.6) следует, что то 7 дб р//з 72 Ыз' (21.7) 574 тггвклвнтныв погглничныв слои ввз ггьдивнта давлкния [гл. хлг или, после аамены левой части ее выражением (21.5), Это дифференциальное уравнение позволяет определить 6 (х). Проинтегри- ровав его при начальном условии 6 = 0 при х = О, мы получим 6(х) =0,37х( — ) (21.8) следовательно, бз(х) =0,036х ( ~~ ) (21.9) Мы видим, что толщина пограничного слоя увеличивается пропорционально степени 4!5 от текущей длины х пластины, в то времяйкак при ламинарном течении имеет место пропорциональность 6 хзтз.
Таким образом, полное сопротивление пластины, смоченной с одной стороны и имеющей длину 1 и ширину Ь, согласно формуле (21.2) равно И'=-0,036р(7' Ы ('— ) И' сз =- — "Ь'Ы 2 то с) = —, ЦЗ 2 мы будем иметь збз с)=2 —, сх ст=2— бз О) (21 10) Внеся сюда вместо 6з его выражение (21.9), мы получим с)=0,0576 ( — ), су= 0,072 ( — ) Для пластины, на которой пограничный слой турбулентен, начиная от передней кромки, последняя формула дает хорошее совпадение с результатами измерений, если только заменить в ней численный множитель 0,072 на 0,074.
Таким образом, мы имеем следующий закон сопротивления: ст = 0,074 (йе,) (21 11) Область применения этого закона, иаображенного на рис. 21.2 в виде кривой 2, ограничена числами Рейнольдса Яее заключенными в пределах 5 '10' < Нес < 107. В самом деле, поскольку при выводе закона (21.11) использован закон сопротивления Блазиуса для труб, верхним пределом его применимости является У Ит < 10з; этому числу Рейнольдса соответствует, согласно формуле (21.8), число У Рт < 6 10' или, круглым счетом, Яе~ < 10'.
Нижним пределом является число Рейнольдса йе~ = 5 10з, так как при Ке~ < 5 10з течение около пластины целиком ламинарно. т. е. при турбулентном течении сопротивление пластины пропорционально У ~ и В~э, в то 'время,как 'при ламинарном течении оно пропорционально зд У~~~ и В12 (формула (7.33)).
Введя безразмерные местный и полный коэффициенты сопротивления посредством равенств ГЛАДКАЯ ПЛОСКАЯ ПЛАСТИНА ., Ц(А И е А ее фь' е~! ь о„ ье ееед йе ь ее о~ )р ":„у,1:3 уРЙо~ Й о е еь о оь" ф „е, е а до ее оьоь! ье еье ~16~1 ф ось оее е ь аьП'" ь е о' мИьяь 576 тУРБУлннтныв поГРАничныи слои ввз ГРАдиннтА ДАвлиния !гл ххг Формула для местного коэффициента сопротивления после замены численного множителя 0,0576 на более согласное с измерениями число 0,0592 и перехода к толщине потери импульса принимает вид — — с) =0,0296йе„=0,0128[— та 1 [[з [ г7 0, [ -1[4 р[[' 2 'У (21А2) Формула (21.11) справедлива, как уже было сказано, при условии, что пограничный слой турбулентен, начиная от передней кромки пластины. Однако в действительности пограничный слой вблизи передней кромки пластины остается ламинарным и становится турбулентным только на некотором расстоянии от передней кромки.
Положение точки перехода опреде- лЯетсЯ кРитическим числом РейнольДса (с[' х/У)„р — — Яе„р, котоРое, в зависимости от степени турбулентности внешнего течения, может меняться в пределах от 3 104 до 3 10' (см. з 1 главы ХЧ1). Наличие ламинарного участка иа передней части пластины уменьшает сопротивление. Для оценки этого уменьшения предположим, следуя Л. Прандтлю, что турбулентный пограничный слой позади точки перехода такой же, как если бы он был турбулентным, начиная от передней кромки пластины. Тогда, вычтя иэ турбулентного сопротивления всей пластины турбулентное сопротивление ее участка от передней кромки до точки перехода х„р и прибавив к полученной разности ламинарное сопротивление только что указанного участка, мы получим требуемую оценку. Это означает, что из сопротивления пластины, вычисленного в предположении, что пограничный слой турбулентен, начиная от передпей кромки, необходимо вычесть ЬИ 17 Ьх~р (с[ С7[) 1 где сй и сй суть полные коэффициенты сопротивления для ламинарного и турбулентного течений при критическом числе Рейнольдса Ке,„р.
Следова- тельно, поправка для коэффициента с7 составляет сар де..р [хс7 = — — (с[ — с[ ) =— Не[ (с[ — с[ ). Если мы положим, что А йс7 = — —, ке[ ' то постоянная А будет определяться положением точки перехода Яе„„р ламинарной формы течения в турбулентную, а именно она будет равна А = 1те„„р (с[, — с[,). Таким образом, полный коэффициент сопротивления пластины с учетом существования ламинарного участка течения в передней части пластины равен (21.13) 0,074 А '[В! Р[ причем эта формула справедлива в области чисел Рейнольдса 5 10з < яе[ < 10'. Имея значения С7, определяемые формулой (21.11), и значения стп опреде- [' ляемые формулой Блазиуса (7.34), т. е.
с[ =1,328 Ке„.'[~, 577 гладкая плоскля пллстинл мы получим для А следующие значения: 1Оа 5 ° 10ь 3 10ь )7е.к. ззоо 8700 1050 1700 А 2. Вывод закона сопротивления из логарифмического распределения скоростей. В практических условиях числа Рейнольдса, наблюдающиеся при продольном обтекании плоской пластины, далеко выходят за пределы области применимости формулы (21.13) '), что приводит к необходимости отыскания для сопротивления пластины такой формулы, которая была бы пригодна для значительно более высоких чисел Рейнольдса. Такую формулу можно вывести принципиально таким же путем, как и формулу (21.13), но прн этом взять за основу не закон степени 777, а универсальный логарифмический закон распределения скоростей, полученный в главе ХХ в виде уравнения (20.13) или (20А4) для течения в трубе.
Так как, согласно сказанному в главе ХХ, универсальный логарифмический закон распределения скоростей для течения в трубе допускает экстраполирование на произвольно большие числа Рейнольдса, то можно ожидать, что подлежащий выводу закон сопротивления для пластины также будет допускать экстраполирование на любые большие числа Рейнольдса. Конечно, при таком выводе придется но-прежнему исходить из предположения, что течение в трубе и течение около пластины имеют одинаковые распределения скоростей (см. по этому поводу сказанное на стр. 579). Вывод закона сопротивления из универсального логарифмического закона распределения скоростей значительно сложнее, чем из закона степени 7!о Объясняется это прежде всего тем, что прн логарнфмическом законе распределения скоростей профили скоростей вдоль пластины не подобны один другому. Поэтому мы не будем приводить необходимые вычисления во всех подробностях и отошлем желающих познакомиться с ними к оригинальной работе Л.
Прандтля (аа). Логарифмический закон распределения скоростей для течения в трубе мы получили в главе ХХ в виде ~р = А ~ 1л т) + й ~ (21А4) (уравнение (20.13)), где ~р = и)э„, т) = уи,!т, а п, = )I то)р есть динамическая скорость, соответствующая касательному напряжению то на стенке. Для постоянных А1 и й~ при течении в трубе мы нашли в главе ХХ численные значения А~ — — 5,75 и Р1 = 5,5.
Тщательные измерения (см. рис. 21.3) показали, что распределения скоростей при течении в трубе и при обтекании пластины несколько отличаются одно от другого, поэтому для течения вдоль пластины постоянные А, и В~ были немного изменены и взяты равными соответственно А, = 5,85, 1), = 5,56. (21.15) Выполнение вычислений, необходимых для определения зависимостей местного и полного коэффициентов сопротивления от числа Рейнольдса, приводит к довольно сложной системе формул, позволяющей найти также безразмерную т) Для больших скоростных самолетов число Рейнольдса при обтекании крыла имеет порядок йе~ = 5.10', а для современных быстроходных кораблей )Ге~ > 5 10е (см.
таблицу 21.3 на стр. 594). 37 г. Шлихтинг 578 тУРБУлентные НОГРАничные слОи Без ГРАдиентА дАвления (Гл. ххр тОЛщИНу ПОГраНИЧНОГО СЛОЯ Гебв О = т)О. РвэупвтатЫ ЧИСЛЕННОГО раСЧЕта даны в таблице 21.1, а полученная из этих результатов зависимость коэффициента сг от (те, изображена на рис. 21.2 в виде кривой д. Таблица 21.1. Местный и полный коэффициенты сопротивления для продольно обтекаемой гладкой плоской пластины при логарнфмическом законе распределения скоростей (формулы (21.14) и (21.15)); см.
также кривую Е нв рис. 21.2 (сео ) в о-г (сво) во-в с .вот 1 с .вог не, 10-в яе, вов ,' 1ОЗ с' вог р во ' =ч .во -в Точная система формул, лежащая в основе таблицы 21.1 и определяющая закон сопротивления, весьма неудобна для пользования; поэтому Г. Шлихтинг заменил связь между полным коэффициентом сопротивления ст и числом Рейнольдса Кии устанавливаемую таблицей 21.1, следующей интерполяционной формулой: 0,455 г (18 ре )г,ьв (21.16) Для учета участка ламинарного течения около передней кромки пластины необходимо так же, как и в формуле (21.13), уменьшить коэффициент сопро— тивления (21.16), что приводит к формуле (21Аба) где величина А зависит от положения точки перехода ламинарной формы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
