Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 111
Текст из файла (страница 111)
Подчеркнем, что уравнение (16.14) уже приведено и безразмерному виду, для чего все длины разделены на надлежащим образом выбранную характерную длину (например, на ширину Ь канала или на толщину 6 пограничного слоя), а все скорости— ') Фнзкческкй смысл имеет только вещественная часть В] функции тока, т. е. В]1 Я (ф) = е ] (ф, соз (ах — (]гг) — ф] вш (ах — б„г)). Комплексная запись'(16.10) применена ввиду ее удобства для расчетов.
426 1гл. хш Возникновение тугвулентности з на максимальную скорость «/ основного течения. Штрихи означают дифференцирование по безразмерной «координате у/6 или у/Ъ, а б«„Ь б«юб (че = — или (че =— представляет собой число',Рейнольдса, характеризующее исследуемое ламинарное течение (основное течение). Члены левой части уравнения (16.14) получаются иа инерционных членов уравнений движения, а члены правой части — из членов, учитывающих трение.
Граничные условия, например, для течения в пограничном слое ааключаются в равенстве нулю обеих составляющих скорости возмущающего движения на стенке (у = 0) и на большом расстоянии от стенки (внешнее течение). Следовательно, при у 0 и'=и'=О, а потому «р=О, «р'=О, (16.15) при у= оо и'=и'=О, а потому «у=О, «р'=О. Против принятой здесь формы воамущающего движения можно было бы сделать следующее возражение: для полного исследования устойчивости необходимо рассматривать трехмерное возмущающее движение даже в том случае„если основное течение двумерно. Однако Г.
Б. Сквайр (»«) показал, что это воаражение неосновательно. А именно, он предположил, что воамущающее движение имеет периодическую составляющую также в направлении з, и выяснил, что при таких трехмерных возмущениях плоское течение становится неустойчивым при более высоких числах Рейнольдса, чем при двумерных возмущениях. Следовательно, в этом смысле двумерные возмущения для плоского течения более «опасны», чем трехмерные.
Это означает, что для определения критического числа Рейнольдса как самой нижней границы устойчивости следует исходить из рассмотрения именно двумерных воамущений. 4. Задача на собственные значения. Исследование устойчивости ламинарного течения представляет собой не что иное, как вадачу на собственные аначения диффервнциальногочуравнения воамущающего движения (16.14) при граничных условиях (16.15).
Если основное течение У (у) задано, то уравнение (16.14) содержит четыре параметра, а именно: (чв, а, с„и сь Из этих параметров число Рвйнольдса основного течения, по существу, также задано. Кроме того, можно считать заданной и длину волны Л = 2я/а возмущающего движения. В таком случае дифференциальное уравнение (16 14) с граничными условиями (16.15) дает для каждой пары значений а, (чв собственную функцию «р (у) и комплексное собственное значение с = с„+ 1с«. Величина с„есть фазовая скорость заданного возмущения, а величина с«определяет своим знаком либо нарастание (с, ) 0), либо затухание (с«( 0) возмущения г). При с; ( 0 ааданное течение (П, (че) при заданном воамущении а устойчиво, а при с; ) 0 — неустойчиво. Предельный случай с« = 0 соответствует нейтральным (беаразличным) воамущениям. Результат расчета заданного ламинарного течения «/ (у) на устойчивость можно изобразить графически, если каждой точке плоскости а, )чв сопоставить пару значений с„, с;.
Особый интерес представляет кривая с, = 0 (рис. 16.8), отделяющая область устойчивых значений а и )чв от области неустойчивых их значений и поэтому называемая нейтральной кривой. «) С другой стороны, можно рассматривать как заданные величины число Рейнольдс» йв и круговую частоту б„. Тогда задача яа собствеявыэ значения дает воэможность определить длину волны а и коэффициент нарастания бь Этот случай быя осуществлен, например, в опытах Х. Л. Драйдена и его сотрудников. В этих опытах в ламинарное течение вводилось яскусстэенпое возмущение определенной частоты посредством вибрирующей ленты (см. 1 4 главы ХЧ1)ь б 8) ОСНОВЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ 427 В свою очередь на этой кривой главный интерес представляет точка с наименыпим числом Рейнольдса, лежащая на касательной, параллельной оси а.
При еще более низких значениях числа Рейнольдса все отдельные колебания затухают, а при более высоких — по крайней мере некоторые отдельные колебания нарастают. Наименьшее число Рейнольдса, определяемое нейтральной кривой, представляет собой теоретическое критическое ламинарного течения; оно назы- 2'2Е вается также пределом устойчиеоеп) и. ае' Упомянутые выше экспериментальные результаты, относящиеся к переходу ламинарной формы течения в турбулентную, дают основание считать, что при малых числах Рейнольдса, при которых течение остается ламинарным, возмущения с любой длиной волны всегда затухают, в то время как прн более выс ких числах Рейн ль са ') Кап уже было сказано в $1 настоящей главы, последние эксперимеитвльныв результаты Г. В.
Эммопса [1'[, в также Шубаузрв н Клебанова [зз[ покавапи, что вообще не существует строго определенной точки перехода: ламинарное течение преобразуется е полностью турбулентное всегда"яа протяжения пзкоторойуперзходной области. о о д Ре~ яеад ге= ~ когда течение турбулентно,по ю =„ крайней мере некоторые возму- Рве. 18.8.
нейтральные кривые дая паз«кого пограккчкого злая прк дзум«рвмх возмущениях. а) «Нзвявщения с онределеннои длиной кая» к«у«тай щз«ать. ддя профилей скор«стай типа я волны нарастают. Однако необ- (с тачкой пеРегиба Р) нейтральная крвзая кмззт хкд а; аск»щтогы язйгравькой крвзой а (двя яа ) полуходимо теперь же подчеркнуть чаючся вз дкффаревпкадького уразк«вкя возмущающ«гз движения без учета тревкя (1б.18). 6) «Вязкая» взустайследующее Важное Обстоятель- чав«ать. ддя профвлай скоростей типа 6 (б«з точки пзство: нельзя ожидать, что теоре- регвба) нейтральная кривая имеет твп 6, тическое критическое число Рейнольдса, полученное посредством исследования устойчивости, совпадет с,'тем экспериментально определенным числом Рейнольдса, при котором происходит, переход ламинарной формы течения в турбулентную. В самом деле, теоретическое критическое число Рейнольдса, полученное путем исследования устойчивости, например, пограничного слоя на стенке, определяет ту точку на стенке, дальше которой по течению происходит нарастание некоторых отдельных колебаний.
Однако очевидно, что должно пройти некоторое время, прежде чем из нарастания этих возмущений возникнет турбулентность. До наступления этого момента возмущение успеет распространиться вниз по течению на некоторое расстояние. Поэтому следует ожидать, что точка наблюдаемого перехода ламинарной формы течения в турбулентную будет лежать всегда ниже по течению, чем точка, соответствующая теоретически вычисленному пределу устойчивости. Другими словами, экспериментальное критическое число Рейнольдса всегда больше теоретического критического числа Рейнольдса, и притом безразлично, составлены ли эти числа для текущей длины или для толщины пограничного слоя.
Для того чтобы различать точки, соответствующие теоретическому и экспериментальному числам Рейнольдса, будем называть ту нз них, в которой достигается теоретическое критическое число Рейнольдса (предел устойчивости), нейтральной точкой, а ту, в которой возникает турбулентность,— п)очкой перехода ламинарной формы течения в турбулентную 1). 428 1гл. хч1 ВОЗНИННОВЕНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 1 Математическая разработка проблемы устойчивости, о которой мы дали только краткое представление, чрезвычайно трудна. Именно по этой причине понадобились десятилетия упорного труда, прежде чем была достигнута поставленная цель теоретического определения критического числа Рейнольдса. Само собой понятно, что в рамках настоящей книги невозможно дать исчерпывающее изложение теории устойчивости ламинарного течения, поэтому мы ограничимся только обзором наиболее важных результатов. 5.
Общие свойства дифференциального уравнения возмущающего движения. Имеющиеся экспериментальные результаты дают основание считать, что предел устойчивости с; = 0 достигается при больших числах Рейнольдса; поэтому естественно попытаться упростить общее дифференциальное уравнение возмущающего движения (16.14), отбросив в нем все члены правой части. В самом деле, эти члены, зависящие от вязкости, содержат малый множитель 1/1те, а потому ими можно пренебречь по сравнению с инерционными членами, входящими в левую часть уравнения.
Тогда мы получим уравнение (1г' — с) (~р" — аг~р) — 11 (р = О, (16.16) называемое дифференциальным уравнением возмущающего движения бев учета вязкости. Так как порядок этого уравнения тольно второй, то из четырех граничных условий (16.15) полного дифференциального уравнения возмущающего движения (16.14) теперь можно удовлетворить только двум условиям. Поскольку мы отбросили члены, зависящие от вязкости, оставшимися граничными условиями будут в случае течения в канале — равенство нулю нормальной составляющей скорости возмущающего движения на обеих стенках, а в случае течения в пограничном слое — равенство нулю той же составляющей скорости на стенке и на большом расстоянии от последней. Следовательно, в последнем случае мы будем иметь 1Р=О при у=О и о1=0 при у=ос. Отбрасывание в уравнении Орра — Зоммерфельда членов, зависящих от вязкости, представляет собой операцию, чреватую очень серьезными последствиями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
