Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Предпосылкой для создания такой теории служило впервые высказанное О. Рейнольдсом [вв] следующее предположение: ламинарное течение, представляя собой решение гидродинамических дифференциальных уравнений и являясь поэтому всегда возможным течением, после перехода через определенную границу, а именно после достижения числом Рейнольдса критического вначения, становится неустойчивым и переходит в турбулентное течение. Над математическим обоснованием предположения Рейнольдса работали многие ученые в течение многих десятилетий. В частности, после самого О.
Рейнольдса этой проблемой занимался Райли [вв]. Эти теоретические исследования, приводившие к очень сложным расчетам, долгое время были безуспешными. Только в начале тридцатых годов текущего столетия Л. Прандтлю н его сотрудникам удалось удовлетворительно решить первоначально поставленную задачу — теоретически найти критическое число Рейнольдса. Спустя еще десять лет Х. Л. Драйдену и его сотрудникам удалось подтвердить теорию устойчивости экспериментально, причем получилось блестящее совпадение между теорией и экспериментом.
Сводные обзоры исследований по теории устойчивости ламинарного течения опубликованы Г. Шлихтингом ['в], [вв] и Ц. Ц. Линем [вв]; см. также книгу Д. Мексика [вв] 2. Основы метода малых колебаний. При исследовании устойчивости ламинарного течения движение разлагается на основное, устойчивость которого подлежит исследованию, и на возмущающее, наложенное на основное. Введем прямоугольную систему координат и обозначим составляющие скорости основного течения, которое можно рассматривать как стационарное, через П, У, И~, а давление через Р. Основное течение представляет собой решение уравнений Навье — Стокса или уравнений пограничного слоя.
$2! ОснОВы теОРии устОйчиВОсти лАминАРногО течения 423 Составляющие скорости и давление для переменного во времени возмущающего движения обозначим через и', н', ш' и р'. Следовательно, составляющие скорости результирующего течения будут и=У+и, и= У+о', и=И'+и', (16.2) а давление Р = Р+Р'. (16.3) При этом в большей части случаев предполагается, что скорости и давление возмущающего течения малы по сравнению со скоростями и давлением основного течения. Исследование устойчивости возмущенного движения может быть выполнено двумя различными методами.
При пользовании первым методом определяется только изменение во времени энергии возмущающего движения (энергетический метод). Вопрос об устойчивости решается в зависимости от того, уменьшается во времени или, наоборот, нарастает энергия возмущающего движения. При этом допускается любая форма возмущающего движения, однако при условии, что она совместима с уравнением неразрывности. Этот энергетический метод, разрабатывавшийся главным образом Г.
А. Лорентцем [зь), не привел к успеху, поэтому мы не будем его рассматрива т При пользовании вторым методом допускаются только такие возмущающие движения, которые совместимы с гидродинамическими уравнениями движения, и исследуется развитие во времени возмущающего' движения на основе этих же дифференциальных уравнений. Такой метод, называемый методом малых колебаний, привел в настоящее время н полному успеху. Поясним этот метод на примере двумерногойосновного несжимаемого течения и двумерного же возмущающего движения. В таком случае результирующее движение, определяемое величинами (16.2) и 16.3), должно удовлетворять двумерным уравнениям Нанье — Стокса (4.4). Ограничимся рассмотрением особенно простого основного течения, когда составляющая скорости ь' зависит только от координаты у, т.
е. (у = ь' (у), а остальные две составляющие равны нулю, т. е. у' = — 'ту — = О х). Такое слоистое течение точно осуществляется в канале или трубе с постоянным поперечным сечением на достаточно большом расстоднии от входного сечения. Течение в пограничном слое можно рассматривать приближенно как такое же слоистое течение, так как зависимость основного течения [у от продольной координаты х значительно слабее, чем от поперечной координаты у. Однако давление основного течения следует считать зависящим также от х, т. е.
считать Р = Р (х, у), тан нак движущей силой течения является градиент давления дР[дх. Следовательно,, рассматриваемое основное течение определяется величинами (16.4) У(у), [г И" = О, Р (х, у). Наложим на это основное течение двумерное возмущающее движение, зависящее не только от координат х и у, но также от времени к Обозначим составляющие скорости и давление этого течения через и' (х, у, й), и' (х, у, 2), р' (х, у, 2).
(16.5) т) Как показали Г. Б. Шубауэр и П. С. Клебанов [аз[, имеются основания предполагать, что в действительных течениях обе эти составляющие скорости никогда не равны нулю. Правда, их величина в большей части случаев пренебрежимо мала. Тем не менее онн, по-видимому, играют важную, но пока невыясненную роль в процессе перехода ламкнариой формы течения в турбулентную. 424 1гл.
хщ Возникновкник тугвулжнтности 1 Таким образом, составляющие скорости и давление результирующего дви- жения, согласно равенствам (16.2) и (16.3), будут и= У+и', и=и', и =О, р=р+р'. (166) Основное течение, определяемое величинами (16.4), является, согласно предположению, решением уравнений Навье — Стокса. Результирующее .
движение, определяемое величинами (16.6), также должно удовлетворять уравнениям Навье — Стокса. Наложенное возмущающее движение, опре- деляемое величинами (16.5), будем предполагать «малым» в том смысле, что всеми квадратичными членами можно пренебречь по сравнению с линей- ными членами. Более подробные сведения о форме возмущающего движения будут даны в следующем пункте. Задача исследования на устойчивость состоит в том, чтобы выяснить, затухает или нарастает со временем возму- щающее движение для заданного основного течения. В зависимости от того, затухает ли возмущающее движение со временем или нарастает, основное течение называется устойчивым нли неустойчивым.
Подставив выражения (16.6) в уРавнения Навье — Стокса (4.4) для двумерного нестацнонарного течения несжимаемой жидкости и отбросив члены, квадратичные относительно составляющих скорости возмущающего движения, мы получим ди' .ди', сШ 1 дР 1 др' у д»У — + У вЂ” +и' — + — — + — — =ч ~[ — +Ли'), д» дх ду р дх ' р дх 1 ду» дс' дс' 1 дР 1 др' — + Г7 — + — — + — — = тЛи', дс дх р ду р ду ди' дс' =о, дх ду где Л означает оператор д»!дх» + д»!ду».
Если учесть, что основное течение, взятое само по себе, удовлетворяет ° уравнениям Навье — Стокса, то предыдущие уравнения примут более простой вид: ди' ди', сШ 1 др' — -[- П вЂ” + и' — + — — = тЛи', дс дх ду р дх — + Г7 — + — — = »Ли', дс' дс' 1 др' (16.8) дс дх р ду (16.9) Таким образом, мы имеем три уравнения для определения трех величин и', и', р'. Граничными условиями будут равенства нулю составляющих и' н и' скорости возмущающего движения на ограничивающих стенках (условив прилипания). Из двух уравнений (16.7) и (16.8) можно легко исключить давление р', следовательно, для определения и' и и' остаются два уравнения (включая уравнение неразрывности). Можно было бы выдвинуть возражение против допущения, что для определения основного течения в пограничном слое пригодна система вели- чин (16.4), т. е.
против пренебрежения нормальной составляющей К ско- рости основного течения и зависимостью продольной составляющей У от координаты л. Однако И. Преч [««) доказал, что если сохранить в расчетах величину К и зависимость Г7 от х, то обусловленные этим члены не оказывают никакого влияния на исследование устойчивости пограничного слоя. См. по этому поводу также статью С. И.
Чена [4). 3. Форма возмущающего движения. Пусть на основное течение, про- исходящее в направлении оси х со скоростью У (у), наложено возмущающее течение, состоящее из отдельных колебаний, причем каждое такое коле- 1 з] ОСНОВЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ 425 бание представляет собой волну, распространяющуюся в направлении оси х. Введя для возмущающего движения, предполагаемого двумерным, функцию тока ф(х, у, ]), мы тем самым уже проинтегрируем уравнение неразрывности (16.9). Предположим, что функцию тока для отдельного колебания возмущающего движения можно принять в виде ф (х у 1) — ф (у) е|(ах-Щ (16.10) где ф =- ф„+ (ф] есть комплексная амплитуда ').
Любое двумерное возмущающее движение можно разложить в ряд Фурье и представить как сумму отдельных возмущений с функциями тока вида (16.10). В равенстве (16.10) а есть вещественная величина, связанная с.длиной Л волны возмущения соотношением хя Л= —. а Величина () — комплексная и может быть представлена в виде ~=в,+е;, где р„есть круговая частота отдельного колебания, а р; — коэффициент нарастания, т.
е. величина, позволяющая судить, нарастает или затухает колебание. Если р] ( О, то колебание затухает и ламинарное течение устойчиво; если же р; ) О, то имеет место неустойчивость. Кроме величин а и р целесообразно ввести также их отношение с= — = с„+(си 6 (16.11) а Величина с представляет собой скорость распространения волн в направ- лении х (фазовая скорость), а с; опять является величиной, позволяющей судить о затухании или нарастании колебания. А именно, если с; (О, то происходит затухание, если же с, ) О, то имеет место нарастание коле- бания.
Амплитуда ф возмущающего движения принята зависящей только от у потому, что основное течение также зависит только от у. Из равенства (16.10) находим для составляющих скорости возмущающего движения следующие выражения: и' = — = ф' (у) е](""-ВО, дф (16. 12) ду и' = — 1Р = — Вагр(у) ец' -В'>. дф (16.13) дх Подставив зги скорости в уравнения (16.7) и (16.8) и исключив давление, мы получим для определения амплитуды ф (у) обыкновенное дифференциаль- ное уравнение четвертого порядка: (с( — е) (ф' — азф) — б'"ф = — — (ф"" — 2азф" + азф). (16.14) Это' уравнение, называемое дифференциальным уравнением возмущающего движения или уравнением Орра — Зоммерфельда, является исходным пунктом теории устойчивости ламинарного течения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
