Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 112
Текст из файла (страница 112)
В самом деле, понижая порядок дифференциального уравнения с четвертого до второго, мы, возможно, теряем важные свойства общего дифференциального уравнения возмущающего движения. К этому случаю применимы все соображения, высказанные в главе 1т' по поводу перехода от дифференциальных уравнений Навье — Стокса для вязкой жидкости к уравнениям Эйлера для жидкости без трения. Старые исследования по устойчивости ламинарного течения основывались главным образом на уравнении (16.16), т. е.
на дифференциальном уравнении возмущающего движения без учета трения. Конечно, такого рода исследования не могли привести к вычислению критического числа Рейнольдса; они только позволяли судить о том, устойчиво или неустойчиво ламинарное течение, в той мере, в наной это вообще возможно сделать при введенном допущении о независимости возмущающего движения от вязкости. Лишь спустя много времени удалось найти способы исследования полного дифференциального уравнения возмущающего движения (16.14). Однако потребовалось много усилий, сначала сопровождавшихся неудачами, прежде чем удалось достигнуть успеха в теоретическом вычислении критического числа Рейнольдса.
Тем не менее еще Райли (ы! удалось получить некоторые важные выводы об устойчивости ламинарного профиля скоростей на основедифференциального уравнения возмущающего движения без учета вязкости. Эти выводы впоследствии были подтверждены и для случая, когда влияние вязкости учитывается, т. е. для полного дифференциального уравнения (16.14). 2 Ы ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГСТОЙЧИВОСТИ ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ 429 Первая теорема.
Первым таким весьма общим выводом является теорема, выясняющая роль наличия точки перегиба на профиле скоростей. Согласно этой теореме, профили скоростей, имеющие точку перегиба, неустойчивы. Райли вывел этот критерий, т. е. роль точки перегиба, только как необходимое условие для возникновения неустойчивых колебаний. Впоследствии В. Толмин !ю) доказал, что этот критерий дает также достаточное условие для существования нарастающих колебаний.
Этот критерий имеет фундаментальное значение для всей теории устойчивости, так как он— до внесения поправки на влияние вязкости — дает первую грубую классификацию всех ламинарных течений с точки зрения их устойчивости. Практически весьма важно следующее обстоятельство: существование точки перегиба у профиля скоростей непосредственно связано с градиентом давления течения. При течении в суживающемся канале (рис. 5.14), когда имеет место падение давления в направлении течения, получается целиком выпуклый, заполненный профиль скоростей без точки перегиба.
Наоборот, при течении в расширяющемся канале, когда имеет место повышение давления в направлении течения, получается уреаанный профиль скоростей с точной перегиба. Такая же разница в форме профиля скоростей наблюдается и в ламинарном пограничном слое на обтекаемом теле. Согласно теории пограничного слоя, профили скоростей в области падения давления не имеют точки перегиба; наоборот, в области повышения давления они всегда имеют точку перегиба (см. 1 2 главы УН).
Следовательно, точка перегиба профиля скоростей играет в вопросе об устойчивости пограничного слоя такую же роль, как и градиент давления внешнего течения. Для течения в пограничном слое это означает: падение давления благоприятствует устойчивости течения, повышение же давления, наоборот, способствует неустойчивости. Отсюда следует, что при обтекании тела положение точки минимума давления оказывает решающее влияние на положение точки перехода ламинарного течения в турбулентное. В первом, грубом приближении можно считать, что положение точки минимума давления определяет положение точки перехода, а именно точна перехода лежит немного ниже по течению точки минимума давления. Влияние вязкости, которым мы пренебрегли в предыдущих рассуждениях, мало изменяет полученный результат.
Только что рассмотренная неустойчивость профиля скоростей с точкой перегиба, возникающая в предположении, что трение не влияет на возмущающее движение, называется мевязеой неустойчивостью. На диаграмме устойчивости (рис. 16.8) невязкая неустойчивость определяется нейтральной кривой типа а. Эта кривая имеет горизонтальную асимптоту, проходящую на конечном расстоянии от оси Ке. Следовательно, при Ян = оо уже существует некоторая неустойчивая область возмущающих волн с конечной длиной.
При переходе к меньшим числам Рейнольдса эта неустойчивая область отделяется от устойчивой области нейтральной кривой. В противоположность невязкой неустойчивости вязкая неустойчивость с нейтральной кривой типа б (рис. 16.8) возникает в тех случаях, когда профили скоростей, например ламинарного пограничного слоя, не имеют точки перегиба. Теперь при бесконечно больших числах Рейнольдса неустойчивая область возмущающих волн с конечной длиной стягивается к нулю, и неустойчивые колебания существуют только при конечных числах Рей. нольдса. В целом при повязкой неустойчивости (профили скоростей с точкой перегиба) область нарастающих колебаний значительно шире, чем при вязкой неустойчивости (профили скоростей без точки перегиба).
Вязкую неустойчивость можно обнаружить только посредством использования полного дифференциального уравнения возмущающего движения 2(16.14), поэтому ее исследование сложнее, чем исследование невязкой неустой- б80 »гл. хчз ВОЗНИКНОВЕНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 1 чивости. Простейший пограничный слой, получающийся при продольном течении вдоль плоской стенки без градиента давления, принадлежит к типу течений, при которых существует только вязкая неустойчивость.
Именно по этой причине его успешное исследование было завершено позже, чем исследование других, более сложных случаев обтекания, Вторая теорема. Второй общий и важный вывод сводится к следующему: при течении в пограничном слое скорость распространения волн с„ нейтральных возмущений (с» —— О) меньше максимальной скорости основного течения, т. е. ск( с»,к. -4 И эта теорема впервые была доказана Райли!»Ч, правда, при некоторых ограничивающих предположениях. Позже она была;доказана в более общем виде В. Толмином И»). Согласно этой теореме, внутри течения существует в случае нейтральных возмущений такой слой у = укр, в котором с» — с = О. Это обстоятельство так же, как и существование точки перегиба на профиле скоростей, имеет фундаментальное значение для теории устойчивости.
В самом деле, точка У вЂ” с = 0 является особой точкой дифференциального уравнения возмущающего течения без учета трения (16.16). В этой точке вторая производная»р" равна бесконечности, если только здесь не обращается в нуль вторая производная У". Слой у = укр, в котором с» = с, называется критическим слоем основного течения. Если ',Укр Ф О, то в окрестности критического слоя, где можно принять, что О' — с = 6»кр (у — укр), вторая производная»р" стремится к бесконечности как ~кр 1 »»кр Р Укр и поэтому составляющая скорости в направлении х здесь равна (16.18) и' = »р" (у) —, [п~(у — у„р). »кр Следовательно, составляющая и' скорости возмущающего течения, параллельная стенке, при ее определении из дифференциального уравнения возмущающего течения без учета трения имеет в критическом слое бесконечно болыпое значение, за исключением того случая, когда кривизна профиля скоростей в критическом слое равна нулю.
Эта математическая особенность дифференциального уравнения возмущающего течения без учета вязкости показывает, что в критическом слое должно учитываться влияние трения на возмущающее движение. Только введение в расчет влияния трения устраняет указанную, не имеющую физического смысла особенность дифференциального уравнения возмущающего движения без учета трения. Эта поправка, вносимая в решение дифференциального уравнения возмущающего движения без учета'. трения, играет при исследовании устойчивости фундаментальную роль. Из обеих теорем Рейли следует, что кривизна профиля скоростей оказывает болыпое влияние на устойчивость ламинарного течения.
В связи с этим очевидно, что при исследовании устойчивости должны предъявляться весьма высокие требования н точности вычисления не только самих профилей скоростей 1» (у), но и второй производной»[ЧУМУ'. 431 РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ $ 3. Результаты теории устойчивости для пограиичиого слоя иа продольио обтекаемой пластине Рис. Гб.з. К наследованию устойчивости проФилей скоростей в ламинарномйлограннчном слое.
П (р)— распределение сноростей: От в сиорость внешнего течения;  — толщина пограничного слоя; б1 - толщина вытеснения лограничного слоя; Р— точна перегиба лрофиля сноростей. При Зе профили сноростей типа а, б, В, е устойчивы, профили скоростей тяпа в, г, ль иеусчсйчивы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
