Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 113
Текст из файла (страница 113)
Профили тала В получаются дри данелии давления, типа е — лрв настоянном давлении, тина вь — йри новышении, давлеаня в яалравлении течения. 1. Некоторые прежиие исследоваиия устойчивости. После. Райли при исследовании устойчивости сначала ограничивались рассмотрением исключительио течения Куэтта, т. е. течения между двумя параллельными стенками с линейным распределением скоростей (рис. 1.1).
Очень тщательные исследования, выполненные А. Зоммерфельдом (со), Р. Мизесом (вт) и Л. Хопфом (вг) с полным учетом вязкости, показали, что течение Куэтта устойчиво при всех числах Рейиольдса и при возмущениях с любой длиной волны. Этот результат, полностью противоречащий опыту, привел к тому, что метод малых колебаний стали считать непригодным для решения проблемы перехода ламииариой формы течения в турбулентную. Однако впоследствии выяснилось, что такой взгляд иа метод малых колебаний ие оправдаи, так как течение Куэтта явля- ь, ется неподходящим примером, поскольку оио ие дает возможности ввести в расчет кривизиу профиля скоростей; между тем, согласно сказанному в предыдущем В) т ВФ В) г) параграфе, кривизна профиля ско- сьл слать ьь ростей играет настолько важную роль, что пренебрегать ею недопустимо.
У ~й В 1921 г. теоретическим исследоваиием проблемы устойчивости 1 занялся Л. Праидтль (ат). Для иэучеиия устойчивости ламииар- е! ного пограничного слоя вдоль плоской стенки Л. Праидтль, как сьороьгть ы' . и ранее Рейли, в целях математического упрощения заменил действительиый профиль скоростей с непрерывным изменением кривизиы профилем скоростей, составленные Из отрезков прямых (рис. 16.9, а, б, в, г.). Расчеты, выполиеииые О.
Титьеисом (се) иа основе дифференциального уравнения (16.16) возмущающего движеиия без учета вязкости, показали, что выпуклые профили скоростей (рис. 16.9, а и 16.9, б) обеспечивают устойчивость движения, а иевыпуклые профили (рис. 16.9, в и 16.9, г), наоборот, приводят к неустойчивости. В связи с этим возиикло предположение, что профили скоростей с точкой перегиба (рис. 16.9, ж) неустойчивы, что впоследствии и было доказаио Толмииом (ет) (см. теорему 1 в з 2 настоящей главы). С целью определения критического числа Рейиольдса как предела устойчивости для профилей скоростей неустойчивого типа (рис. 16.9, в и 16.9, г) Титьеис сохранил в полном дифференциальном уравнении возмущающего движения (16.14) также наибольшие по величине члены, зависящие от вязкости, и ожидал, что их сохранение позволит обнаружить демпфирующее действие трения. Влияние вязкости иа возмущающее движение при сохраиеиии этих членов проявлялось только'иа очень небольшом отрезке профиля скоростей, расположенном в непосредственной близости от стенки (выполиеиие условия прилипаиия).
Однако расчеты привели к совершенно неожиданному 432 ргл. ху~ ВОЗНИКНОВЕНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ З % = (у — унр) Р~ ~~кр ф =Рз+ — „(у — у. )Р 1н(у — у ), ~ир (16.20) результату, а именно выяснилось, что учет влияния вязкости на возмущающее движение не только не оказывает стабилизующего действия на профили скоростей неустойчивого типа (рис.
16.9, в и 16.9, г) при малых числах Рейнольдса, но даже приводит к тому, что профили, остающиеся при пренебрежении вязкостью устойчивыми (рис. 16.9, а и 16.9, б), становятся неустойчивыми при всех числах Рейнольдса и при любой длине волны возмущающих колебаний (из числа тех, к которым можно было применить приближенный метод исследования). 2. Расчет нейтральной кривой по методу Толмина. Удовлетворительное разъяснение этого парадокса было дано В. Толмином (зЧ в 1929 г. В. Толмин показал, что.влияние вязкости на возмущающее движение необходимо учитывать не только в непосредственной близости от стенки, как зто было сделано О.
Титьенсом, но также в окрестности критического слоя, где скорость распространений волн возмущающего движения совпадает со скоростью основного течения н где, как было показано в п. 5 $ 2 настоящей главы, составляющая и' скорости возмущающего движения становится бесконечной при условии, что кривизна профиля скоростей здесь не равна нулю. В действительности в критическом слое скорость и' остается конечной, тем не менее влияние вязкости на возмущающее движение здесь достаточно велико. Это влияние вязкости на критический слой может быть учтено только в том случае, если принимается в расчет кривизна профиля скоростей, что и было сделано В.
Толмнном в указанной работе. В результате для пограничного слоя на продольно обтекаемой пластине получился предел устойчивости (критическое число Рейнольдса), хорошо совпадающий с измеренными значениями. Предложенный В. Толмином метод расчета на устойчивость используется в настоящее время как основа для дальнейшего развития теории устойчивости, поэтому остановимся на нем несколько подробнее. Для того чтобы иметь возможность сформулировать краевую задачу для полного дифференциального уравнения возмущающего движения (16.14) с граничными условиями (16.15), необходимо сначала найти фундаментальную систему фм фг фм ф, решений этого уравнения.
Так как отыскание четырех частных решений общего дифференциального уравнения возмущающего движения (16.14) весьма затруднительно, то поступают следующим образом: первую пару решений щ и фг определяют из дифференциального уравнения возмущающего движения без учета трения (16.16), а вторую пару решений ф, и ф, находят из уравнения, 'получающегося нз полного уравнения (16.14) путем отбрасывания всех членов, зависящих от вязкости, эа исключением одного, наибольшего по величине.
Решения без учета вязкости. В качестве основного течения П(у) возьмем пограничный слой (рис. 16.9), смыкающийся на конечном расстоянии б От стенки с внешним течением У = О' = сопзФ. Для области внешнего течения (у ) б) можно сразу указать частное решение дифференциального уравнения возмущающего движения без учета трения (16.16); это решение, если удовлетворить граничному условию при у = оо, принимает внд ф в-аУ (16.19) Для нейтральных возмущений существует, как было показано на стр.
430, такое расстояние от стенки (критический слой), на котором У вЂ” с, = О. Обозначим это расстояние через у = у„р. В окрестности точки у = рзр пару решений ф1 и фз дифференциального уравнения возмущающего движения без учета трения (16.16) можно представить в виде 433 РезультАты теОРии устоичивости где Р, и Р, суть ряды по степеням у — укр, а У„'р и У„р — значения проиаводных НПГУ и с1зУЯуз в точке у = укр. Так как производная ф,' при у = укр равна бесконечности, то из этого решения, не учитывающего трения, следует, что составляющая скорости возмущающего течения в направлении х принимает в критическом слое бесконечно большое значение. Следовательно, в окрестности точки у = укр решение фз требует поправки, учитывающей трение.
Поправка на трение. Для того чтобы вычислить поправку на трение для решения фз и найти другую пару решений фз, ф„, упростим дифференциальное уравнение возмущающего движения (16.14), а именно сохраним в нем только наибольшие по величине члены, зависящие от вязкости. Введя переменную з) посредством равенства У Укр Ч= в где в = (сс Йп Пкр) -ыз мы получим для ф(з)) дифференциальное уравнение ~ кр 1ф"" + тур" = в —, ф, и„, (16.21) (16.22) кифа к фм кр лч' ач' икр Решение этого уравнения следует сомкнуть при больших значениях Ч с решением (16.20), полученным для фз без учета вязкости. Подробное исследование, выполненное В. Толмином, показало, что если в решении (16.20), определяющем фю взять логарифм при у — укр ) 0 в виде чисто вещественного числа, то при отрицательных значениях у — укр его следует взять в виде 1п ~ у укр ~ Это означает, что для составляющей и' скорости возмущающего движения следует взять при положительной разности у — укр значение ~кр — 1п (у — укр) соз (ах — рс), Пкр а при отрицательной разности у — укр — значение Икр ~к — 1п ) у — узр ) сов (их — рз) + я —, зш (ах — рз) .
унр ~кр (16.24) Таким образом, при переходе через критический слой составляющая и' скорости возмущающего движения претерпевает скачок фазы, который сохраняется также при предельном переходе к очень большому числу Рейнольдса. Этот скачок фазы, имеющий для механизма возмущающего движения фундаментальное значение, можно обнаружить только в том случае, если правильным образом учесть влияние вязкости на возмущающее движение 28 г. шиихтинг причем в представляет собой в общем случае малую величину.
Поправку на трение для решения фз мы найдем из этого уравнения, положив ф',"=1+еф . Подставив ф,"' в уравнение (16.22), мы получим для определения фы (т)) дифференциальное уравнение 434 «гл. хуг ВОЗНИКНОВЕНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 1 в окрестности критического слоя и положить в основу расчета профиль скоростей с кривизной. Вязкие решения. Для определения второй пары решений ф„ф«(так называемых вязких решений) следует положить в уравнении (16.22) правую часть равной нулю, т.
е. исходить из уравнения зф"" + грр' = О. (16.25~ Следовательно, пара решений ф„ф«совсем не зависит от основного течения Н (у) и поэтому может быть вычислена раз навсегда. Граничные условия показывают, что из обоих решений фз и ф«представляет интерес только то, которое при больших Ч сильно затухает. Пусть этим решением будет фз Проинтегрировав уравнение (16.25), мы получим ч ч' 'Рз(Ч) = ) ) Ч ыгН««з ( з («Ч ) 1 "Ч "Ч «р' + а«р = О. Общее решение полного дифференциального уравнения возмущающего движения получается из трех частных интегралов ф«, фг, фз в виде суммы «Р = С1«Р« + Сгфг + Сзфз. Так как решение фз при больших у сильно затухает, то при у = 6 его можно не учитывать. Следовательно, первым граничным условием будет С,Ф,6+ С,Ф,6 = О, где для сокращения записи введены обозначения Ф 6 = ф,'6 + аф,з (У = 1, 2).
На стенке, где в соответствии с граничными условиями (16.15) ф и ф' равны нулю, должно быть принято во внимание решение фз (решение с учетом вязкости). Следовательно, на стенке (индекс ш) С«фыр+ Сг«Ргш+ Сзфзш = О, С,«Р«ш + Сг«Ргш+ Сзфзш = О. Для того чтобы эти три однородных относительно С«, Сю Сз уравнения имели решения, не равные нулю, должно выполнятья условие «Р1ш ф2ш «Рзш «Р1ш «Р2ш фзш Ф16 Фгз =О или, в раавернутом виде, фгш фгшФЫ вЂ” ф«шФ26 фарш «Р2шш16 'Р1шФ26 (16.26р где Нчз есть функция Ханкеля первого рода. Эта функция была затабули- «1З рована сначала О. Титьенсом Р'], а затем более точно Г. Хольштейном Рз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
