Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 114
Текст из файла (страница 114)
См. в связи со сказанным подробное изложение теории Толмина в книге Д. Мексина Р'). Задача на собственные значения. Найдя решения ф«, фг, фз, мы можем сформулировать задачу на собственные значения следующим образом. Пусть основным течением Н (у) является течение в пограничном слое, которое при у = 6 смыкается с постоянным внешним течением. Следовательно, решение дифференциального уравнения возмущающего движения без учета трения при у ) 6 имеет вид (16.19), поэтому при у )~ 6 должно выполняться условие 435 РБЗУЛЬТАТЫ ТБОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ Положив фзш сг) („ фзм далее, прнняв во внимание, что в соответствии с равенством (16.21) Уир з)ш з и введя для сокращения записи обозначение 1 фвшФы — ф1 шФтб УкР фэ ФЫ ф1 ФЫ мы приведем уравнение (16.26), определяющее собственные значения, к виду — "'" =Е(а, с).
Чш (16.27) Ркс. 16.16. Полярная диаграмма для решения уравненкя (16.26Ь к которому сводится задача на рааасканке собственных вначенкй. Днаграмма построена для профиля скоростей в пограккчном слое на плоской пластяне, обтекаемой в продольном нанравленкн. содержащая лишь вязкое решение фз, является функцией только от т)ш. Для решения комплексного уравнения (16.27) построим сначала полярную диаграмму функции — хг (т) ш)/т) ш.
Для этой цели будем откладывать по оси абсцисс вещественную часть комплексной величины — Р (т)ш)lт)ш, а по оси ординат — мнимую часть этой величины. Таким путем мы получим кривую — 17 (т) ш)/т) ш (рис. 16.10). Затем на той же диаграмме построим семейство кривых Е(а, с„), изображающих величину Е как функцию от а при фиксированных значениях с„. Две точки пересечения каждой кривой Е (а, с„) с кривой — Ю ()) )/т)ш определяют значения а и з) , необходимые для построения нейтральной кривой.
В самом деле, имея значение$))ш и зная расстояние от стенки укр, соответствующее выбранному значению с„, мы можем 28е Из этого уравнения и должны быть определены для нейтрального колебания собственные значения, а именно: длина волны возмущения Х = 2я!а, скорость распространения волн с, и число Рейнольдса КН = сг б)ч. Это определение производится либо численным, лрбо графическим способом. Правая часть этого уравнения содержит лишь оба невязких решения и, следовательно, является функцией только от а и с„. Левая же часть, 436 ВОЗНИКНОВВЫИВ ТУРВУЛВНТНОСТИ 1 (ГЛ.
ХУ( ,Рг, =ба (/ (~~ Рис. 1б.11. Нейтральная кривая,свяаываюп1ая длину аб~ волны воаыуп(ения с числом Рейнольдса яе, для пограничного слоя на продольно обтенаемой пластине (ивменение снорости в погранвчном слое определяется профилем Влавиуса). По В. Толминт (ы). //с найти е, а затем из равенства (16.21) — значение параметра ЯО. Одной из точек пересечения соответствует точка на верхней ветви нейтральной кривой, а другой — точка на нижней ветви (см.
рис. 16.11). Впоследствии В. Толмин Ра) подробно исследовал точность асимптотических оценок приближенных решений, полученных в работе 1929 г., и выяснил полную приемлемость йб() этих решений. См. в связи с этим 4м также работу Д. Гроне Ра). 3. Результаты для погранич/(о(7 ного слоя на пластине. Использо'фф"~ вав изложенный выше метод, В. Толмин Ре) впервые теоретиче- 4Ж ,тра/ля ски исследовал устойчивость по- граничного слоя на продольно (//~ обтекаемой плоской пластине.
За арлтлт(а основу было взято распределение /(/() скоростей, вычисленное Г. Блази- усом и изображенное на рис. 7.7. (7(ат Профили скоростей в различных () точках вдоль пластины при таком /ргз е б,дар бааз б ю/х б/()а распределении подобны между собой, т. е. они совпадают один с другим, если скорости откладывать не для значений у, а для значений у/б (х), где б (х) есть толщина пограничного слоя, определяемая формулой (7.35): /~гб) У // д/б Цт й/б Профиль скоростей Блазиуса име- ет точку перегиба на стенке, т. е.
// (т'т принадлежит к типу е профилей, 4/Г изображенных на рис. 16.9. Следовательно, этот профиль, согласно теореме о роли точки перегиба д()(/ л 5; (см. и. 5 з 2 настоящей главы), -у„- (7у 'с)ю л/ лежит как раз на границе между профилями без точки перегиба, устойчивыми при расчете без уче((л сваю ~~нксг — Р та трения, и профилями с точкой перегиба, неустойчивыми при рас/(/с/ е б/()аг / /()аг б лег б йм чете без учета трения. тл() ,Р '-~ Нейтральные кривые, полу- ченные в результате расчета на рнс. ылз.
недтраль ые кривые нля частоты б„устойчивость, поясненного в преп скорости сг РаспространевнЯ воли воамгп(ений дьщущем пункте изобра)иены на в пограничном слое на продольно обтекаемой плоской пластине (иаменение скорости в пограничном рис. 16.11 и 16.12.
Точки, лежа- слое определкеюл профилем ьйлавигса). по в. то"- щие в областях внутри нейтраль- ных кривых, определяют состояния движения, соответствующие неустойчивым колебаниям; точки, лежащие в областях вне нейтральных кривых, определяют состояния, соответствующие устойчивым колебаниям, а точки, лежащие на самих нейтральных кривых,— состояния, соответствующие нейтральным колебаниям. При очень больших числах Рейнольдса обе ветви каждой нейтральной кривой неограниченно 437 РЕЗУЛьтатЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ 5 з1 приближаются к оси абсцисс, т.
е. к нулевым значениям соответствующих ординат. Для наименьшего числа Рейнольдса, при котором еще возможно нейтральное возмущение, получается зна4ение ~и 6,1 = )хе„р —— 420 (нейтральная точка). , )зэ Точка на пластине, в которой достигается это число Рейнольдса, и является нейтральной точкой пограничного слоя. Примечательно, что для ламинарного течения «опасны» только очень узкие интервалы как длин возмущающих волн так и возмущающих частот (рис. 16.11 и 16.12).
Подобно тому, как для числа Рейнольдса имеется нижняя граница, до достижения которой ламинарное течение всегда остается устойчивым, так и для каждого из возмущающих параметров существует верхняя граница, после перехода через которую неустойчивость не возникает. Как показывают рис. 16.11 и 16.12, эти границы определяются следующими числами: — '" =0,42, або=0,36, — "' =0,15. Обращает на себя внимание довольно большая длина волн неустойчивых возмущений по сравнению с толщиной пограничного слоя. В самом деле, наименьшая длина волны для неустойчивых возмущений равна Рэ ООзз 61=17,56, 66.
Подробное сравнение этих теоретических результатов с опытами будет сделано в з 4 настоящей главы. Здесь мы ограничимся только следующим замечанием. При расчете на устойчивость всегда следует ожидать, что точка, в которой ламинарный пограничный слой становится неустойчивым (нейтральная точка), будет лежать выше по течению, чем наблюдаемая в эксперименте точка перехода ламинарной формы течения в турбулентную, так как турбулентность, возникающая вследствие нарастания возмущений, развивается именно на пути от нейтральной точки к точке перехода. В рассматриваемом случае такое расположение точки перехода подтверждается опытом. В самом деле, в п.
2 з 1 настоящей главы было указано, что, согласно старым измерениям, положение точки перехода определяется числом Рейнольдса ( ~) =3,5 10' до 10'. Этому числу Рейнольдса, составленному для текущей длины х, соответствует число Рейнольдса ( ' ) = 950 (точка перехода), составленное для толщины вытеснения бм связанной с текущей длиной а соотношением 6,=1,72~/ ™ [формула (7.37)). Это число значительно болыпе числа Рейнольдса Янзр —— = 420, полученного для нейтральной точки. Расстояние между нейтральной точкой и точкой перехода определяется в основном интенсивностью нарастания неустойчивых возмущений. Для того чтобы получить представление об интенсивности этого нарастания, достаточно вычислить для возмущающих параметров, лежащих внутри нейтральной кривой, коэффициент нарастания р; ) О.
Для пограничного слоя на пластине впервые это сделал Г. Шлихтинг (м), а впоследствии повторил ВОЗНИКНОВБНИБ ТУРВУЛБНТНОСТИ 1 (ГЛ. ХУ1 С. Ф. Шэнь [ое[. На рис. 16.13 изображен результат расчета Шэня. Кроме того, расстояние от нейтральной точки до точки перехода в значительной мере зависит от степени турку 1 / услаауауал)га булентности внешнего течес =0 10ее!/Оал ния(см. $4 настоящей главы). а С целью более точного 020 выяснения механизма возмук щающего движения Г.
Шлих,бгевл! ке ""'~ ее тннг [оа[ опРеДелил ДлЯ неко- 020 С- -у (е торых нейтральных коле! ! ы "е) баний также собственную функцию ф (у). Знание этой функции позволяет построить картину линий тока возмущенного движения прн нейтральных колебаниях. Пример такого построения дан на рис. 16.14. Недавно Дж. Т. Стюарт [еЧ пытался рассчитать процесс нарастания неустойчивых возмущений с учетом нелинейных членов. Выяснилось следующее существенное обстоятельство: нарастание возмущений искажает основное течение.
Это вызывает изменение переноса энергии от главного движения (основное течение) к побочному движению (возмущающее тече- ! 0(0 ! аукасле г ! Ре ='г20 услалеауаапа г 0 000 1000 )000 2000 2000 крал лад' 0:сг Рнс. !6,11. Нартяна лнвнй тока н распределения скоростей для нейтрального колебання в пограннчном слое на продольно обтекаемой плоской пластине (для воамущевня, одределяемого точкой 1 на и вс. 16.11). и (р) — основное течение; и (в) (-и' (х, в, !) — вовмущевное 'распределевне скоростей; бг/т = 893 — число Рейнольдса; Х Оббг — длина волны воемущення; сг = О,збно, — скорость н распрсстранення волн; ) )г к'* бу = 0,172 и б — ннтенсявность вовмущеннй.
о ние), так как изменение переноса энергии пропорционально ((ЕИу. В свою очередь изменение переноса энергии приводит к тому, что неустойчивые возмущения на более поздней стадии не нарастают пропорционально еб', а стремятся к конечному значению, которое к тому же не зависит от начальной интенсивности возмущения. См. по этому поводу также исследования Г. Шаде [ьоа[ Экспериментальное подтверждение изложенной выше теории устойчивости заставило себя ждать свьппе десяти лет. Но зато впоследствии эта теория была блестяще подтверждена измерениями Г. В.
Шубауэра з ы сгьвнкник гкзкльтатов тьогии с экспкгимкнтальными данными 439 и Г. К. Скрзмстеда, о чем будет подробно сказано в следующем параграфе. После того, как это подтверждение стало известно, Ц. Ц. Линь [зз[ еще раз проверил все расчеты и получил во всех существенных пунктах совпадение с результатами Толмина и Шлихтинга. В связи с этой проверкой Ц. Ц; Линь рассчитал на устойчивость также плоское ламинарное течение в канале с параболическим распределением скоростей (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
