Основы теплопередачи Михеев М.А, Михеева И.М. (1013622), страница 44
Текст из файла (страница 44)
7-10. Зависимость Ьс)Ь' = Ф, (В1, Ро) для шара. (О 0 0000! 2 000012 000! 2 0 0! 2 0 ! 2 0 тП Рис. 7-11. Зависимеоть Ь,/Ь' = Фь (В1, Ро) для шара. 0 !О урП 2 О~рц! 2 0 00! 0,! г 0 г Рис. 7-12. Зависимость ЯIЯ' = Фо (В1, Ро) для шара. 4. Зависимость процесса распространения теплоты от формы и размеров тела. Скорость протекания процесса для какого-либо тела тем больше, чем больше отношение его поверхности к объему. В этом легко убедиться, если для тел различной формы сравнить значение дв при одинаковых значениях Го. Такое сопоставление приведено на рис. 7-13, где для различных тел даны зависимости бв/6' = 7 (ГО) Прн В1 - со. ИЗ рИСуНКа ВИДНО, ЧтО дпя ШарООбраэных тел скорость процесса больше, чем для любых других.
Для цилиндрических и призматических тел скорость процесса в сильной мере зависит от их длины. Чем меньше длина, тем выше скорость. Короткие цилиндры, прямоугольные призмы и параллелепипеды можно рассматривать соответственно как тела, образованные пере/0 й! дг йб Рис. 7-13. Зависимость зе/а' = Ф, (В1, Ро) для тел различной формы при В! — ьсс. à — пластина; У вЂ” квадратная балка бескснечнеа длани; б — цилиндр бескснечиса длинм; 4 — куб: 5 — цилиндр. длина равна диаметру; б — шар. сечением взаимно перпендикулярных цилиндра и пластины, двух пластин и трех пластин неограниченных размеров, но конечной толщины. Для цилиндра конечной длины толщина пластины 26 берется равной длине цилиндра 1. Относительная температура Мб ' для какой-либо точки цилиндра равна произведению относительных температур этой точки, полученных для бесконечно длинного цилиндра и пластины бесконечной протяженности. Этот метод перемножения относительных температур применим также для прямоугольных призм и параллелепипедов.
Например, относительная температура на поверхности середины длины цилиндра равна произведению относительной температуры поверхности бесконечно длинного цилиндра б,/6' на относительную температуру в середине неограниченной пластины бе/д', точно так же относительная температура на оси в середине цилиндра равна произведению относительной температуры оси бе/б' бесконечного цилиндра на относительную температуру оси баЪ' неограниченной пластины. Пример 7-1. Определить температуру в центре и на поверхности стального цилиндра диаметром а = 0,3 м и длиной 1 = 0,6 и через час после по- 232 садки его в печь.
Начальная температура цилиндра /с= 20'С, температура внутри печи /ж = 1020'С, гз = 232 Вт/(мз.'С), Лс = 35 Вт/(м 'С), с = = 680 Дж/(кг. С) и р = 7800 кг/мз. Сначала проведем расчет, предполагая цилиндр бесконечно длинным. Определяя коэффициент температуропроводности металла, имеем: а= — = =6,6 10 мз/с. Лс 35 ср 680 7800 Значения чисел подобия: ай 232 0,150 Лс 35 ат 6,6 !О 3600 Из 0,15з По этим данным по рис. 7-7 и 7-8 находим значения 9 /9' = 0,16 и Ь /Ь' = 0,26.
Так как Ь' = Гж — 1' = !020 — 20 = 1000'С, то Ьс = (Гж — Ес) =0,161000= ИОС и /,=1020 — 16О=860С; 9„'=(1 — /з) Ь'= = 0,26 1000 = 260'С и /з = !020 †2 = 760'С. Теперь учтем влияние длины цилиндра по описанному выше правилу. Толщина плиты 26 = 1 = 0,6 м и б = 0,3 м. Так как физические свойства плиты те же, что и для цилиндра, то нб 232 0,3 В1= — = ' =201 35 от 6,6 10 3600 бз О 09 По этим данным по рис. 7-3 и 7-4 находим значения Ье/Ь' = 0,43 и Эе/Ь = 0 88 Путем перемножения соответствующих значений безразмерных температур находим нх значения для периметра торца Вы середины торца Э„середины боковой поверхности Эз и середины оси Э: Э,/Ь' = (Эс/Э')„(Ьс/Ь') = 0,16.0,43 = 0,069 и Э~ = 69'С; Ьз/9'=(Ьз/9')ч(Ьс/Ь') = 0,26 0,43= 0,112 и Ь = 112'С; Эз/Э = (Ьс/9 )ч(Ьз/9')п = 0 16 0 88 = 0,140 и Ьз = 140 С! Ьз/Э' = (9~/Э')„(Ь~/Ь')„= 0,26.0,88 = 0,228 и В = 228'С.
Так как Ьг = /ж — /п то 1;= 1ж — Эг, следовательно: Таким образом, в случае конечной длины цилиндра процесс его нагревания протекает значительно быстрее. 233 /г = 1020 — 69 = 95ГС /з = !020 112 = 908 С /з = 1020 — 140 = 880 С /~ = 1020 — 228 = 792'С (по первому расчету /з = /, = 860'С); (по первому расчету /з = /з — — 760'С); (по первому расчету /з=/ =860'С); (по первому расчету /з=/з — — 760 С). т-з. пРиБлиженные метОды Решения 1. Метод конечных разностей Шмидта. В случае необходимости решения задач нестационарной теплопроводности в практических расчетах часто применяется метод конечных разностей. Этот метод основан на допущении возможности замены непрерывного процесса скачкообразным как в пространстве, так и во времени.
При этом дифференциальное уравнение теплопроводности (7-1) заменяется уравнением в конечных разностях, которое для одномерного поля имеет вид: — =а —. д! д»! (7-6) Дт Дхй Практика применения этого метода к расчету плоских, цилиндрических и сферических тел, а также к расчету двумерного температурного поля впервые была разработана Э. Шмидтом. Рассмотрим этот метод в применении к плоской стенке. Разделим стенку на слои одинаковой толщины Лх (рис.
7-14), которые будем обозначать номерами (и — 1), п, (и + 1)... Время также разобьем на интервалы Лт, которые будем обозначать номерами й, (й + 1)... В таком случае 1„,» обозначает температуру в середине п-го слоя в течение всего Й-го промежутка времени; температурная кривая представляется ломаной линией. Из рис. 7-14 следует, что в пределах слоя п температурная кривая имеет два наклона. Следовательно, производная от температуры по координате должна иметь два значения, а именно: Д! ) 'х+!. й — 'х.
й ( — )=' Дх /» Дх Дг) х» х — !,» Дх Дх Соответственно для второй производной получим: — = — ~ ~ †) — ( — Ц = — (Т + !, » + 1 — !, » — 2(х, »). (а) Производная от температуры по времени для слоя и имеет вид: Д! х. »+! — «,» — ! (б) Дт Дт Подставляя уравнения (а) и (б) в уравнение (7-6), имеем: йх»+! !,» йх+!»+! !» 2гх,» — а Дт Дх» г„, »+! =2а — ' ' — (2а — 1)1„, ». (в) Дх ~и+!, »+! — !, » / Дх Дхй 2 ( Д»2 234 Рис.
7;!4. Метод конечных разностей: условные обозначения и графическая интерпретация. Рис. 7-15. Графический метод решения задач нестационарной теплопроводности. Из уравнения (г) следует, что й„а+, является среднеарифметическим значений 1„+, а и 1„, а. Поэтому техника расчета очень проста. Также просто уравнение (г) решается и графически. Значение интервала времени Лт определяется из соотношения Дт = Лхз/2а. (д) Если, например, рассматривается бетонная стенка (а = = 0,766.10 м 7с) и толщина слоя берется равной 60 мм, то интервал времени Лт получает значение аха О, 05з Лг = — = ' =2700 с. 2а 2 0,755 10 Таким образом, при решении конкретной задачи сначала надо выбрать значение Дх, удобное для графического построения, затем построить начальное распределение температур в виде, например, ломаной линии 0723 ...
(рис. 7-15). Соединяя теперь точку 1 с точкой 3, получают точку 2'; соединяя точку 2 с точкой 4, получают точку 3' и т. д. Таким образом, зная распределение температур в теле для )с-го интервала времени, на основании уравнения (в) можно найти распределение температур для последующего интервала времени (7т + 1) и т. д. Если интервалы времени Лт и размер слоев Лх выбрать так пт чтобы 2а — =1, то уравнение (в) принимает вид: 1 1, аь ~ = — (!л+ ь а + !л — ь а) . 2 (г) Для получения точек О' и 1 необходимо учесть влияние внешней среды. Согласно сказанному выше (~ 7-2) конец температурной кривой (в нашем случае 1'О') дается соответствующей направляющей точкой Я, ордината которой определяется температурой окружаю.
щей среды !, а абсцисса — подкасательной з = Л,/а. Поэтому дополнительно наносится направляющая точка /с и параллельно поверхности проводится вспомогательная линия МА/е, отстоящая от нее на расстоянии Ах/2. Если теперь точку О соединить с направляющей Я, то прямая„соединяющая эти точки, определит на линии МА/ точку а.
Линия, соединяющая точку а и точку 2, дает точку 1' новой температурной кривой. Последний отрезок 1'О' температурной кривой должен быть найден также по направляющей точке К, Выбрав распределение температур О'1'2'3' за начальное, нужно повторить описанное построение. Таким образом будут найдены кривые О"1"2"3" ... О"'1"'2'"3'" ... и т. д. Если при этом значение се в течение процесса изменяется, то это можно учесть соответствующим изменением положения направляющей точки Я. При расчете многослойной стенки температурная кривая должна строиться в масштабе термических сопротивлений, т.
е. по оси абсцисс вместо Ах должно быть отложено Ах/Х,. Таким образом, при помощи описанного метода простыми средствами можно решить многие технические задачи нестационарной теплопроводности при любом задании граничных условий. Слабое место этого метода в том, что физические свойства тела принимаются постоянными. 2. Метод элементарных балансов. Поставив перед собой задачу найти метод расчета нестационарной теплопроводности с учетом зависимости от температуры коэффициента теплопроводности и удельной теплоемкости, А. П. Ваничев [10] разработал метод элементарных балансов, сущность которого заключается в следующем.
Рассматриваемое тело разбивается на ряд элементарных геометрических форм, в пределах которых закон изменения температуры с известной степенью точности может быть принят линейным. В качестве элементарного объема целесообразно принять параллелепипед со сторонами Ах, Ау, Аг. Серией таких параллелепипедов могут быть описаны контуры любого тела. Расчетными точками при этом являются места пересечения плоскостей разбивки, т.
е. углы параллелепипедов. Температуры в расчетных точках снабдим индексами, характеризующими время и место. Температуру расчетной точки в данный момент времени обозначим просто !. Температуры в данный момент времени в соседних точках, находящихся на расстоянии Ьх, Ау, Аг, обозначаются соответственно через !,+,, !„+д„, !,+д,. Температура расчетной точки в последующий момент времени, т. е. через промежуток времени Ат, обозначается !+д,. е Линия Му необходима Нля нахождения точек !, !', !" 236 Пусть заданы изменения параметров с и Х в зависимости от температуры и краевые условия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
