Основы теплопередачи Михеев М.А, Михеева И.М. (1013622), страница 43
Текст из файла (страница 43)
223 У-Ъ. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ Дифференциальное уравнение теплопроводности для твердых тел имеет внд: Для аналитического решения этого уравнения необходимо задание следующих краевых условий: 1) начальное распределение температуры в теле; 2) действие на поверхность окружающей среды. Последнее условие может быть задано тремя способами.
а) По первому способу задается температура поверхности графически это условие выражается заданием точки А (рис. 7-2, а). Количество теплоты дЯ, проходящее через элемент поверхности аТ, при этом неизвестно; графически это выражается тем, что неизвестен наклон температурной кривой в теле около поверхности, т. е. угол ~р (1я ~р = — Ю/пи), ибо согласно закону Фурье для любого момента времени количество теплоты, притекающее изнутри тела к поверхности, равно: Щ = — Х, — 4(Р.
(а) дл б) По второму способу, наоборот, задается количество теплоты, проходящей через поверхность (т. е. в конечном счеге угол ~р), но неизвестна ее температура 1, (рис. 7-2, б), т. е. положение точки А. в) Наконец, по третьему способу задаются температура окружающей среды Т и коэффициент теплоотдачи между средой и поверхностью а. Так как для количества теплоты Щ притекающей изнутри и отдающейся от поверхности в окружающую среду, помимо выражения (а), может быть написано еще выражение, основанное иа уравнении Ньютона — Рихмана (см.
уравнение (2-1)], й~ = а (1, — 1 ) бг", (б) то из сопоставления уравнений (а) и (б) имеем: — — = — (1,,— 1 ). д1 сс да Хе (7-2) 224 Необходимость расчета теплообмена при нестационарном режиме определяется его значимостью в рабочем процессе рассчитываемого агрегата. Так, например, в работе паровых котлов и большинства аппаратов электростанций нестационарный режим возникает лишь при пуске в работу, выключении и изменении режима работы. В работе же нагревательных печей нестационарный режим является основным; при расчете приходится определять время, необходимое для нагрева металла до заданной температуры, или температуру, до которой металл нагреется в течение определенного промежутка времени.
Уравнение (7-2) является математической формулировкой граннчного условия третьего рода. Из рнс. 7-2, в имеем: АС о! ! — ! ! — Ф„, 1йф — — = — — = СО ал Ц, гг Следовательно, граничным условнем третьего рода определяется точка О, через которую должны проходить все касательные к температурной кривой в точке, лежащей на поверхности тела. Точка О называется направляющей н лежит на расстоянии з = Х,/а от по- ! ! л! ! 1 „у а/ ог Рис.
7-2. Графическая интерпретация трех способов зада- ния граничных условий. верхностн. Таким образом, з является подкасательной к температурной кривой; от формы поверхности она не 'зависит. В результате решения уравнения (7-1) должна быть найдена такая функция, которая одновременно удовлетворяла бы этому уравнению н краевым условиям. Решение уравнения производится прн помощи рядов Фурье.
Для различных краевых условий результаты получаются различными, но методология решения в основном одинакова. Для технических целей в большинстве случаев можно ограничиться рассмотрением течения процесса лишь в одном каком-лнбо направлении х. В этом случае общее решение имеет внд: для плоской стенки 00 а!нет 1 = Ьх+ с +',р! А„(сов т„х+ ри з(п т„х) е е=! В Заказ № !1тт (7-3) для цилиндрической стенки 1=61пг+с+,~~А„(/о(т„г)+р„го(т„г))а ", (7-4) а=а ак — = Ро — число Фурье.
а На основании второй теоремы теории подобия (см. $ 2-3) искомая функция в виде безразмерной температуры б/б' в различных сходственных точках к/1 = Ь может быть представлена в виде зависимо- сти — '=Э(В1, Ро, Ц. (7-5) 1. Плоская стенка. Пусть толщина неограниченной плоской стенки составляет 26 (1 = 6). Если за начало отсчета температуры принять температуру окружающей среды /а и избыточную температуру стенки обозначить б = 1 — 1, то уравнение (7-1) принимает вид: дз дка — =и— дт дкк (в) Граничные условия: при х = + 6 дз а — — = — б. дк Х~ (г) Начальное условие: при т = 0 О=О'.
(д) 226 где /, н У, — функции Бесселя первого и второго рода нулевого порядка. Постоянные 6 и с определяются из условий стационарности режима (при т = со); р„и т„— из граничных и А„— из начальных (при т = — 0) условий. Подробное изложение решений здесь не приводится; довольно полно математические описания решений имеются в П8 и 59). Здесь же в качестве примеров мы ограничимся рассмотрением лишь конечных результатов решения для плиты, цилиндра и шара в случае внезапного изменения температуры среды.
Из уравнений (7-3) и (7-4) следует, что искомая функция зависит от большого числа параметров. Однако при более глубоком анализе решений оказывается, что зти величины можно сгруппировать в две безразмерные величины: а//Х,; ат/1к. Эти величины являются числами подобия, они получаются из уравнений (7-1) и (7-2): а1 — =В) — число Био; При решении технических задач в большинстве случаев достаточно знать температуру на поверхности б, и в средней плоскости стенки 6 м В этом случае уравнение (7-6) упрощается, ибо аргумент 1, становится постоянным числом (при х = 0 Ь = 0 и при х = 6 Ь = 1). Следовательно, — ' = Ф, (В1, Ро) (е) (ж) — =Ф,(В1, Ро).
а Кроме распределения температур„ часто требуется знать количество теплоты Я„ переданное за время т. Огношение 9, к теплоте Я', которая может быть отдана (или воспринята) телом за время полного охлаждения (нагревания), также является функцией только двух чисел подобия В1 и Ро: — =Фч(В!, Ро). (з) Зависимости (е) — (з) приведены на рис.
7-3 — 7-5 в виде графиков. При определении искомых величин необходимо сначала вычислить значения чисел подобия В! = аб/),, и Ро = ат/6', по которым из графиков определяются д/д' и Я,/9'. Так как 6' и известны, то легко вычисляются и значения д„да и Я.
Величина Я' = срб'26Р, где Р— площадь боковой поверхности пластины. По этим данным приближенно можно построить всю кривую распределения температуры в теле, пользуясь тем, что направление касательных к этой кривой известно в трех точках (рис. 7-6). В самом деле, из точек х = + 6 касательные проходят через направляющие точки О и О„расположенные на расстоянии + Х,/а от стенки. В точке же х = 0 касательная горизонтальна в силу сймметрии температурной кривой (дб/дх = 0).
Таким образом, можно построить кривую распределения температуры в теле для любого момента времени т. Абсолютные значения температур тела на поверхности и в плоскости симметрии для любого момента времени определяются из следующих соотношений: (и) ~о ~ж ~о ~ж — 2 где / — температура окружающей среды; 1' — начальная температура тела; /, — температура поверхности; /э — температура в средней плоскости тела. ЦФ 221 Рис. 7-3. Зависимость Ьс)Э' = Ф, (В1, Ро) для плоской неограниченной стенки.
У 2 Ю 2 Ю 2 Ю 2 Х 2 5 2 хааа! 2 Пар) ар1 О) 1 (а Рис. 7-4. Зависимость й,!Ь' = Фе (В1, Ро) для плоской неограниченной стенки, р 2ЯР) йРР) йй 27 5 йт 2 а 2 а Рис. 7-5. Зависимость 9()' 4 Фо (В1, Ро) для плоской неограни- ченной стенки. Приведенные данные применимы для охлаждения и нагревания, а также для двустороннего и одностороннего процессов. В последнем случае 6 будет означать полную толщину стенки. 2. Цилиндр. Для бесконечно длинного цилиндра (стержня) с радиусом 11 дифференциальное уравнение теплопроводности имеет следующий вид: (к) граничное условие: при г = Я дЭ а — — = — 6; (л) дг Хс начальное условие: при т = 0 (м) Решение относительно О,IО ', Оогб и !Щ' также является функцией только двух чисел подобия: В! = а)с7)с, и Ео = = атЯз.
Эти зависимости в виде графиков представлены на рис. 7-7 — 7-9. Величина Я' для участка цилиндра длиной 1 равна: ех Рис. 7-6. Изменение температурного поля при охлаждении плоской неограниченной стенки. (с' = п)сзср(О'. (н) 3. Шар. Для шара радиусом имеет вид: Я дифференциальное уравнение (о) Граничное условие: при г = Р дз а — — =- — О. дг (п) Начальное условие: при т = 0 О=О'. (р) В данном случае решение относительно О,lб', ба!0' и Я/(1 также является функцией только двух чисел подобия: В! и Ро.
Эти зависимости в виде графиков представлены на рис. 7-10 — 7-12. Величина 9' для шара равна: Я = — яй'рсб . 4 3 (с) Рис. 7-7. Зависимость Ь,/Ь' = Фс (В!, Ео) для бесконечно длинного цилиндра. Рис. 7-8. Зависимость Ь,!Ь' = Ф, (В), Го) для бесконечнодлин- ного цилиндра. Рис. 7-9. Зависимость ЯIЯ' = Фг) (В), Ро) для бесконечно длин- ного цилиндра, али) ' барр) ю,рг г ю г г ю г ю, г г7 0,0 7(000! 2 400! 00! 0,! ! !О 0 2 0 2 0 2 0 ье Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
