Основы теплопередачи Михеев М.А, Михеева И.М. (1013622), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Требуется определить температуру во всех расчетных точках во все последующие моменты времени. Расчетные формулы получим, применяя законы Фурье и Ньютона— Рихмана к составлению тепловых балансов группы элементарных параллелепипедов, на которые разбито тело.
При этом могут встретиться разнообразные варианты расположения расчетных точек. Они могут находиться в пределах однородной среды, лежать на границе двух и более твердых тел, могут быть также расположены на границе с жидкостью или газом. При всякой конкретной задаче имеется ограниченное и обычно не очень большое число вариантов расположения точек.
Для каждого такого варианта, объединяющего одну или несколько точек, необходима своя расчетная формула. Рассмотрим случай, когда расчетная точка окружена со всех ! сторон однородной твердой средой. 1 Процесс распространения теплоты определяется численными значениями трех параметров: коэффициента теп- ~~ 1 1~ 1 лопроводности, удельной теплоем- х кхаых ~Ф 1 вк+дх кости и плотности. Плотность изменяется незначительно и во всех хэ у м дальнейших рассуждениях считается постоянной. Коэффициент теплопро- ~~ гыз водности и удельная теплоемкость принимаются линейными функциями температуры: х= А+ Д7 и с=С+ Ркс.7-16.
схемарввбввкктелв + Ж. Схема расположения расчетной точки представлена на рис. 7-16. То обстоятельство, что рассматриваемые параллелепипеды невелики в сравнении с размерами всей системы, позволяет использовать в дальнейших выводах следующие допущения: а) изотермические поверхности в пределах данного элемента представляют собой параллельные плоскости, равноотстоящие одна от другой; б) средний за время Лт тепловой поток ЛЯ через какую-либо поверхность пропорционален начальному в пределах элемента времени Лт значению температурного градиента; в) увеличение энтальпии пропорционально приращению температуры в средней точке его объема.
Для получения расчетной формулы составим тепловой баланс элемента со сторонами Лх, Лу, Лг, температура в центральной точке которого является расчетной 7 и 1,+дс. Элемент расположен в центре группы из восьми таких же элементов. Количество теплоты, вошедшее в элемент за время Лт через левую грань, параллельную плоскости УОЯ, т. е. грань, лежащую в плоскости, выражаемой уравнением х = — Лх/2, на основании закона Фурье 237 равно: ~х — Ьх Ла,= — д(г) " " Лулгл = дх ~х — Ьх = — (А+В(„дмд) " д," ЛуЬгЛт.
Ьх За то же время через противоположную грань элемента посту- пает ~к+ дк ЛЯ2 = — (А + В( +дед) " Лу Лг Лт. дх Количество теплоты, вошедшее в элемент через четыре другие грани, параллельные плоскости ХОУ и ХОХ", определяется аналогично: 2 — г„д„ ЛЯЬ вЂ” — — (А+В12 дди) " " ЛхЬХЛт; 2 — Г„+ дд ЛЦ,= — (А+В(д+дд~2) " " ЛХЛгЛт; Ьу ~к — Ьк ЛЯ,= — (А+Вдк — Дк~д) ЛХ ЛУ Лт; Дх ~+ ~х+Ьх к к+ Ьк(2 = 2 '+',-Ьд Гд дд12= И т.
2 С учетом этих равенств выражения для могут быть переписаны в виде д Л'21 Л'к2 ' Л"кд 2+2 + к — Ьк к — Ьк 2 ! Дх ЛЯ1= — А+В ЛуЛгЛт; '+'х|.Ьк '( 2 — 'х+Ьк 2 / Ьх ЛЯ2= — А+В Лу Лг Лт; ЛЯ2= — А+В д+ 2 + д-Дд д-Ьд Лх Лг Лт; 238 2 — д,+„ ЛЯд — — — (А+Вкк+Ь„2) ' * ЛхЛуЛт. Ьх В силу линейного характера изменения температуры в пределах расчетных элементов справедливы равенства к — Ьх . к-Ьх!2 = 2 В ЛЯ»= — А+В "+ь" ) "+ь" ЛхЛгЛт; (+2 '4 2 — 2 2 ) ЬУ ЛЯ А ( В г — Ь» г — Ьг Л Л Л 2 Ьг (е) Л() А+В г+Ьг г+Ьг Л Л Л 2+( 2 Ьг где (Р„(()= " (А+ — 'В(); рак» ~ 2 ж'У(()=" ,(А+ — 'Вф 'гг,(г) = (А + — Вг); )к' (4) = С+ Р(; Я(() ) 2~)" »(~)+) У(О+Гг»И) ~ М (2) Пользуясь найденной формулой, можно по известному начальному распределению температур последовательно найти значения температур во всех расчетных точках в моменты времени т + Лт, т + 2Лт, т + ЗЛт и т.
д. вплоть до интересующего нас момента. Найденная формула справедлива лишь в том случае, если среда однородна, т. е. все рассматриваемое тело состоит из одного и того 239 Алгебраическая сумма количества теплоты, вошедшего за время Лт через все грани в элемент, равна увеличению его энтальпии. Это может быть выражено в виде равенства ~Л»4 Л(44+ МУ+ А(гг+ Л(44+ Л(44+ Л(44 = С (г) Р Л г' Лг= = (С + Р() р Лх Лу Лг ((г+ ь, — (). Подставляя в это равенство вместо ЛД„Л()„..., Л(;)4 ранее найденные для них выражения (е) и решая полученное уравнение относительно интересующего нас значения температуры в следующий момент времени Г,+ь,, получаем: к ~ к-Ьк! к-Ьк» ~ к+Ьк~ к+Ьк У (,) + Ы (,) + 2 у(гу — ьу) гу ьу Угу (гу+ьу) гу+ьу Нг (2» ь ) 2 У(2) + У(2) + М(2) г ( г+ Ьг) (г+Ьг М (2) же вещества, а граничные условия заданы в виде температуры поверхности.
В случае, если отдельные участки системы состоят из различных веществ, а также в случае задания граничных условий в виде температуры окружающей среды и закона теплообмеиа, следует использовать иные зависимости, которые подробно изложены в (101. Для практического применения метода должен быть рассмотрен еще вопрос о величине промежутка времени Лт, который до сих пор считался произвольным. Расчетная формула (7-7) может быть представлена в виде + Ад!,-дл + Аггг+дг~ где Ьт(2А+ В!) ! ! 1 ) дуг дгг р(С+В!) ( дхг дт(А + — В! д ) А,= рдгг (С+ Ж) (з) Дт (А + — В! + д,) Аг= рагг (С+ Ж) Формула (ж) представляет собой полипом первой степени с коэффициентами А„зависящими от физических свойств, координатных отрезков и Лт; от температуры они зависят лишь в силу изменения физических свойств.
Такую структуру расчетные формулы имеют и в более сложных случаях. На выбор Лт пока никаких ограничений наложено не было. Увеличение его значения может значительно сократить объем вычислительных работ, а потому весьма заманчиво. Однако если придать Лт чрезмерно большое значение, погрешность, вызываемая вторым допущением, т. е. тем, что средний тепловой поток за время Лт считается пропорциональным начальному во времени градиенту температуры, может стать весьма значительной. Иначе говоря, при больших значениях Лт ошибка экстраполяции резко возрастает, что немедленно сказывается на точности вычисления последующих температурных полей.
Для определения максимально допустимой величины Лт обратимся к формуле (ж). При определенной разбивке системы на расчетные элементы и при заданном законе изменения физических свойств значения коэффициентов А, зависят лишь от Лт и температур. Среди температур, относящихся к данному моменту времени и входящих в состав формулы, имеются наименьшая и наибольшая температуры. Для того чтобы переход к последующему температур- 240 кАа(!) ВС вЂ” 2АР 1 1 1 Ьт К а(( (С+ Ш)а ( Лка Ьуа Лка ) Р (С+ РОа где величина К не зависит от температуры. Мы видим, что А, изменяется монотонно, ибо ее производная нигде не меняет свой знак.
Значит, максимальное значение А, может соответствовать лишь одному иэ концов рассматриваемого температурного интервала. Поэтому практически проще всего поступать так: найти величину Ьт„,„, из условия А ! = О при 1 = /„,„, и при ! = /„„и из двух найденных значений Лт„',„, Р (С+ ()(макс) макс (2А + В(макс)(1/яка+ 1/Ьуа+ 1/Ька) гат„'„,— Р (С + О/мам) (2А + В/м„„) (1/Лха+ 1/ауа+ 1/Ага) (и) ввести в расчет наименьшее, так как при этом условие А )~ О будет выполнено для всех температур, возможных в системе.
Даже при незначительном повышении этой величины изменения температур начинают носить беспорядочный скачкообразный характер и расчет становится неверным. Если система состоит из нескольких веществ или окружена жидкой средой, величина Лт„,„, должна быть найдена для всех случаев, встречающихся в системе, и из найденных значений в расчете должно быть принято наименьшее. 241 ному полю не представлял собой сомнительную экстраполяцию, необходимо, чтобы искомая температура не оказалась ниже первой или выше второй.
Иными словами, необходимо, чтобы температурные изменения, происходящие за время Лт„определялись температурными разностями, существующими в рассматриваемом участке, и лежали бы в тех же пределах. В случае произвольного температурного поля это условие соблюдается лишь в том случае, когда все коэффициенты А, положительны. Коэффициенты А„А,, Аа, А„А, и Ас по своей структуре могут иметь только положительное значение.
Коэффициент же А, (уравнение (з)) в зависимости от величины Лт может принимать любое значение в пределах от + 1 до — оо. Максимально допустимой величиной Лт, обозначаемой в дальнейшем /!т„,„„является такая, при которой А, обращается в нуль. При заданных Лх, Ьу, Лг, р, А, В, С и () величина А, зависит не только от Лт, но и от температуры, влияние которой может быть различно, в зависимости от величин и знаков В и О. Среди температур, встречающихся при задании начальных и граграннчных условий, имеется наименьшая и наибольшая, обозначим их (м„„и г„,„,. Температура любой точки в любой момент времени не будет выходить из границ этого интервала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
