Второе начало термодинамики Сади Карно, В.Томпсон, Р. Клаузиус, Д. Больцман, М. Смолуховский (1013602), страница 31
Текст из файла (страница 31)
2 8. Интнггигованин тгавннннй, вьпажьющих пигвок ычало для гевов Установленные в 3 3 и 4 днференциальные-уравнения, которые в различных формах выражают первое началс механической теории теплоты для газов, не могут быть, как это легко видеть на каждом' - иэ них в отдельности, непосредственно интегрированы.
Нозтому с ними нужно обращаться так, как было объяснено в 3 3 Введения. Интеграция может быть осуществлена, когда входящие в соответствующее уравнение переменные подчинейы условию, которым опр6. дйляется-путЬ изменению. Этот способ мы применим здесь лишь к двум цр~умерам; результаты, которые мы'получим; будут иметь значение для далвнейцих исследований. 1. Пусть газ изменяет свой объем при постоянном даеленнн; опре-.
делим,иужцое для этого количество теплоты. В этом случае выбираем из наших уравнений такое, которое,содержйт р и о в качестве независимых переменных, например последнее из уравнений (1б), а именно: д9~' ~ оеар+ — е рбо. В В Так как давление р должно быть постоянным, то мы полагаем р ="р, и бр = О,'вследствие чего уравйение,переходит в йд "обо. Если мы обозначим напальное значение о,через о„ то интегрирование этого уравнейня дает: Ю--фр1(о — ). С (4О) 2.
Пусть газ изменяет свой объем при псспьояннсй еяемпераеяурв; определим необходимое для этого количества теплоты. Для этого случая выбираем уравнение, которое в качестве независимых переменных содержит Т и о, например уравнение (11): Щ= С,ЙТ+ — до. Так как Т должно быть постоянным, то полагаем Т Т, н ЙТ = О, вследствие чего получается: Щ=ВТ,— '". мнханнчнйкля тногня тнплА Интегрируя зто уравнение, находим: Я= ЕУ,)я — "' ч (Ц) 9= р(о(1й— Фу ..
' - Если при истолковании этого уравнения считать, что оно относится ие к одной весовой единице газа, но к такому его количеству, которое при. давлении р, занимает данный объем о„а затем изменяет: этот объем до б при постоянной температуре, то в наше уравнвние . не будет входить ничего, что бы имело отношение к природе рассматриваемого газа. 'Хаким образом поглощенное количество теплоты. ие гаеиеит от ирирсды гага.
Она не зависит также и от температуры, но только от давления, будучи иропориионольио начальному даеленит. Другое применение установленных в с л и+ уравнении заключается в. том, что делается известное допущение относительно теплоты; которая должна быть сообщена газу во время изменения его состояния, а затем исследуется, каков будет ход изменения состряния при Этна обстоятельствах.
Простейшее, и в то же время важнейшее,-допущение' этого рода заключается в том, что го время изменения гагу теалозиг ие еообм1аетса и от него теалота ие отиимаежел. Можно себе зто представить так,-что газ заключен в непроницаемую для -теплоты оболочкунни же, что изменение происходит так быотро, что за зто корит кое-время не может притечь или утечь значительное количество теплоты. В соответствии с этим допущением мы должны положить д(1 = Ю„ что мы и сделаем в трех уравнениях (16). Первое из этих уравнений будет' иметь тогда внд: Сфд ( + (Ср Сф) до 0 Это уравнение мы разделим на-Т и С,: Дробь же -г мн обоз- Э начин, как и выше, через а. Наше уравнение перейдет в йТ вЂ” Ф (й — 1) — „= о. ее Т Знак 1й обозначает в этом уравнении натуральный логарифм.
Результат наш, прежде всего, приводит к предложению: Лели гаг, ие иеиытыеаа темиературиыя изменений, таи изменяет свой обеем, что еледуюи)ие 'друг га другом значения обьема-еоотаеллют геомеаричесаий ряд, то гиачеиил иоглоирииыя или отданным ири етом количеете тевлотвы образугрт ряд арйфметйчееиий; Если,- далее, положить В равным дроби ~ — '', то получим: Т Р. КЛАУЗИУС Отсюда, интегрируя, получаем:.
)й Т+(Й вЂ” 1)1яе = сопвс Те" = сопвэ. Если мы обозначим начальные значения Т и о через Т, и и, и, затем, исключим произвольную постоянную, то получим: (43) Если это равенство применить, например, к атмосферному воздуху и положить при этом Й = 1,410, то можно легко вычислить изменение температуры, соответствующее какому-нибудь изменению объема. Если, например, предположить, что взято некоторое количество воздуха при температуре точки замерзания и любом давлении и помещено в непроницаемую для теплоты оболочку или быстро сжато до половины своего первоначального объема, то надо положить Т, = 273 и — '- = 2.
Иы получим: — =2 ' = 1,329, Т саво 273 откуда следует, что Т = 273 ° 1,329 = 363, Если провести те же вычисления для сжатия до;- или — „, первона- 1 1 чального объема, то получатся результаты, которые, совместно с полученными раньше, сопоставлены в следующей маленькой таблице: Если во оовором нз уравнений (16) положить 4ф= О, то будем иметь: 2 С,МТ+(С,— С,) — бр = О.
1,2329 ~ 1,765 2,570 Это уравнение имеет ту же форму, 363 ~ 482 ~ 702 что и рассмотренное раньше, с той эо 299 ~ 429 только разницей, что место э заняло р, а величины С„и С обменялись мес- В соответствии с этим мы должны получить 1 — — 4 т 273 тами откуда следует: '1Т,1 =( р,) (44) или, если 4 обозначает температуру, отсчитываемую ет точки замерзания: 4 = Т вЂ” 273 = 90'. миханичеакая теовия типлА 1ЙЗ Наконец, воаавдкаа из уравнений ~16) переходит, доли положить ИЯ = О, В примененное уже в Э 5 уравнение С, С едр+ — ' — '' рде О, С С„- С вЂ” С, которое можно, преобразовать в — + Й вЂ” = О. аР Юа р а Интегрирование дает: (45) ОПРЕДЕЛЕННЕ ВНЕШПЕЙ РАВОТЫ ПРН ИЗМЕПЕПНР ОВЪЕМА, ГАЗА Величиной, которая заслуживает специального внимания,.при расширении 'газа, является совершаемая при этом акаксссаа рабсоеса', элемент которой определяется уравнением (6) предьпщцей главы, а именно: бй~ = рМР.
Эту работу можно представить»в весьма наглядной форме граФически. Введем для этого прямоугольную систему кпординат, абсцисссм которой обозначают объем е, а ординаты — давление р. Если мы теперь себе представим, что р выражено через некоторую функцию' от е р= де), то это уравнение будет уразнением кривой, ординаты которой дают. значения р, соответствующие различным значениям Р. кривую эту.
мы коротко назовем кривой даваания. Пусть га на рис. 3 есть эта Кривая, так что если ое обозначает занимае'мый газом в определенный момент объем с, то восставленная из е орди- ~А Пата вГ представляет одновременно имеющее место давление р. Если, да- р лес, бесконечно малый отрезок ед, Р обозначает. элемент объема ае и мы опять восстании из д ординату да, то получится бесконечно малая 'трапе- а цня 4йд, плОщадь которой даст со- а - ---,.--.---- у г вершениую при бесконечно мелом рас- 'д ширении' внешнюю работу и отли- Рас. 0. чается от Произведения р бе только на беоконечно малую второго порядка, которой можно пренебречь. Ао ще самое справедливо и относительно любого другого бесконечно малоге.
раеширения. 'Отсюда видно, что прм.конечном расШирении от объема а, Р. клаузнус представленного абсциссой оа, до объема св, представленного абсциссой вс, внешняя работа, даваемая равенством т И'= / рдс, (46) йудет выражаться площадью четырехугольника аЫс, ограниченного атреэком оси абсцисс ас, двумя ординатами аЬ и сд и дугой кривой Ы. Чтобы иметь воэможность действительно произвести интеграцию, указанную в предыдущем.' равенстве, нужно, чтобы была из-. вестна функция от с, которой определяется давление р. Под этим уг- лом зрения мы рассмотрим примеры, которыми мы занимались выше. Мы начнем с того, что пред. положим псстсяккевм давлспие р'. Тогда кривая.
давления арть прямая, параллельная оси абсцнсе7, гас. 4. ачетырехугольиикаЬсдпредставляет прямоугольник(рис. 4), площздь кеторого равна произведению отрезков ос и аЬ. Соответственйо этсму, ебозначая постоянное давление через р „мы получаем.из равенства(46) '. И' = Р1(св — сх). (47) Переходя ко второму случаю, допустнм,что при расширвими газа температура остается постоянной. Тогда для зависимости мелдлу обьемом и давлением имеет силу закон Ма-. риотта, выражаемый уравнением = рс = сопзФ. Это уравнение показывает, что кривая давления-в этом случае есть равносторонняя гипербола (рис.
б), асимптотами ко;горой являются осн координат. Кривую давления, отвечающую специальному условию псстсякства температуры, называют с а с изстсрмическсй кривой. Для того чтобы произвести ин- тегрирование, мы, пользуясь предыдущим уравнением (в котором мы вместо постоянной подставим произведение р сг), выразим р через ~ — '' и тогда получим из'уравнения (46)= ее = Р1с1 / - = р1с~)6 7 ве ю~ (4В) Ю Ю~ Р, мжхзничжокзя тжогяя тжплз Мы видим, что это значение й' совпадает с значением Я в уравнении (42), что имеет свое основание в том, что газ, расширяясь прп постоянной температуре, поглощает лишь столько теплоты, сколько требуется для совершения внешней работы. Уравнение (48) было применено Джоулем в его опытах по опредс йепию механического эквивалента теплоты.
Он накачивал в твердый сосуд атмосферный воздух вплоть до его десятикратного или двадцатикратного уплотнения, При этом насос и сосуд-находились в воде, так что теплота, получавшаяся прн накачивании, могла быть измерена в воде. Примененный при этом аппарат изображен на рис, 6, на котором В представляет сосуд, а С вЂ” насос.
Сосуд 6 служил, как это легко вндеть, для высушивания воздуха, а снабженный спиральной трубкбй сосуд Ю должен был сообщать воздуху, перед его вступлением в нас сос, точно известную температуру. Иэ измеренного в калориметре количества тел- олоты Джоуль вычитал ту часть его, которая производилась трением насоса и которую оп определял, заставляя насос работать столько же вре- з мени и при том же среднем давлении, но в беэ доступа внешнего воздуха и наблюдая получающуюся при этом теплоту.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
