В. П. Исаченко, В.А. Осипова, А. С. Сукомел - Теплопередача (1013600), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Распределение теыпературы в пластине при Ро)0 показано на рис. 3-7; здесь Рок<Рок<рак<го,« ... Ро . Как было сказано, при Ро)0,3 ряд (3-24] бистро сходится и ошибка ие превышает !с/. если отбросить есе члены ряда. кроые первого. При зтих условиях уравнение (3-31) принимает вид: О, = — 'ехр ~ — (р)*Ро~. (ЗЗД Если уравнение (3-32) прологарифмзрозать п решить отаосительно числа Ро, то получим: Р = — ',)п/ —" (3-33) !" их=к/ учитывая, что Ро=ат/бк, уравнение (3.33) !"'с з'т гкскрехеы можно записать в виде н!и шкпкркттры к пзоккса с рике прк кк рхк жкекни з тско- (3.33') апкх и! ~! рок< а /г " их=к) <Гс,<ГОЗ<ро,.' '- По формуле (3-33) можно определить время, необходимое для прогрева середины пластины до заданной температуры.
и 2. Очень малые числа В! (практически В!<О!). Есл ч ело В! мало, го асс козффициеиты членов ряда Р„О, поскольк ли теперь р,= (и — Ци, за исключеиисм Рь который ранен: у Из выражения В1=(6/Ц/(1/а) видно, что малые значения числа В! могут иь!пгь место при малых размерах толшвны пластины, при больших значениях козффициеита теплопроводиости Д и малых зиаче- н виях коэффициента теплоотдачи о. Сладует заметить, что цри малы в ачеиивх !ц функции 13 и» и юп р! можно зацепить через их аргумеир чых 35 щж Х О, = сов(р Й) ехр ( — )й Ро). (3-Зб Отношение температур на оси и поверхности пластины Вх, ехр ( — в! Ро) —.
1. Вх ! «ог(рь)ехр( В!Ро] При малых В! температура на поверхности пластины лсзначитшю~л но отличаетсв от температуры па оси. Это указывает на то, что температура по толщине паастины распределяетсн равномерно и кривая температур остается почти параллельной осн ОХ длн любого момента времени (рис. 3-8). Касательные к температурным кривым в точках пересечения их с поверхностью должны пересекаться с осью аба(иго в бесгюнечности: гр=р при В! — «О имеем Хз=)/В( — но. В рассматриваемом глучае пропесс нагрева н охлаждения тела определяется интенсивностью теплоотдачи на поверхности пластины. Иначе говоря, процесс иыравнивания температуры в теле происходит существенно интенсивнее, чем отвод теплоты с понерхности.
Задача становится внешней. 3. Число В! находится в пределах О,1 (В)< 100. В рассматриваемом случае Р„ есть функция Вь т. е. зависит от толщины пластины. Температурные кривые для любого момента времони будут выглядеть, как показано на рис. 3-9. В этом случае интенсивность процесса охлаждения (нагревания] определяется как внутренним.
так и внешним термическими сопротивлениями. Рвг. ЗЗ. Рзспреле свае еиверагур з а ской вхе пра ее рзврмхепвв р тслохвь о;Ро,< <Рог<РОЗ<ус з.ь опраделеиие количества теплотьь отдлмиого ппйстииОП В процесса Оклй(кдаиив Количество теплоты (с . Лж, которое отдает вли воспринимает пластина с обеих сторон ча время от г=б до с=, должно разниться изменению внутренней энергии пластины за период полного ее охлаждения (нагревания)! Рис а-й. Рагпрелезе«ве тзгшсратуря з парезов стезя» прв ее оззюз(явив в тс о ввяз.
«огд В!— местная вема!ива! Р!Ч<рог<рю <ВЫ 88 0р=йб(рс(!е — ! ). (3-3() ты, и тогда характеристическое уравнение (3-14) запвшетсяг ! р р в(' Учитывая сказанное, уравнение (3 24) можно переписать так: В=сов(Р,Х) ехр[ — Р*, Ро) сгл() ИЛ) схр( — 8РО). (3-34) Найдем температуры на оси и иа поверхности ш!астины! при Х=О Вл-р ехр (-В! Го) ! (3-38) Тогда за любой промежуток времени от г=О до тг или, что то же.
от Ро до Роь виутренння знергия аластнвы изменится на илн !Г=!Г,(! — Вг), (3-38) где 6~=(уг — !м)((й — ! ) — срелияя безразмерная температура по толщине пластины в момент времени ть Из соотношений (3-37) и (3-38) следует, что расчет количества теплоты, отданного нли воспринятого пластиной, саодитсн к нахпжГГению средней безразмерной температуры в интересующий нас момент времени. Средвяя безразмерная температура для слоя пластины от оси симметрии до плоскости Х найдется как х О= — 41ВДХ г — л~ з е соответствии с теоремой о среднем. Если в зто выражение подставить под чаак интеграла значение 4) из уравнения (3-24) и проинтегрировать в пределах от нуля до единицы, то получим: (3-39) ,1,! ! + В„з!аи„соги ! Подставив н уравнение (3-38) вычисленное по формуле (3-39) значение средней температуры пластины для интересуюшего нзс моыента времени, получим количество тЕплоты, отданное пластиной в окружающую среду за рассматриваемый промежуток времени. При В( †в (практически ВЕа 100) уравнение [3-39) принимает вид: О=~., „, ехр ~ — ( — 2 — ) в*Во].
=$ Есля В! — «О (практически В!<0,1], уравнение (3-39) принимает ннд: Ь=ехр ( — В(ра). (3-41) При значениях числа Го~О,З для пластины можно ограннэться первым членом ряда (3-39), тогда (3-4Ц Л!аон<нтель 2 з(пар~/(рзг)-Гч соз В~ *!п рб зависит ~олько от числа В! н может быть представлен как некоторая функция М(В!), тогда уравнение (3-42) запишется: 6=-М(В!) ехр ( — рзгГо). (342') Функция М(В!) может быть заранее рассчитана и представлена н таблицах. Тогда расчет средней температуры будет сводиться к вычислению зкспоненты. э"5.
Охлаждение (нагаевание) еесиОнечнО дзнгннОГО цилиндРА ЦГГЛИНДР РаДИУСОМ Гз ОтДавт ТЕПЛО ОКРУжаЮЩЕЙ СРЕДЕ ЧЕРЕЗ СВОЮ боконую поверхность; коэффициент теплпптдачи о во всех точках поверхности одинаков и остается постоянным на протяжении всего периода охлажденнн. Температура среды Г постоянна.
В начальный момент времени прн т=.О температура является некоторой функцией Г(г, 0) =((г). Отсчет температуры цилиндра будем вести, как и в $3-3, от температуры среды, т. е. 5 †(И. Прн этих условиях >.равнение теплопроводности принимает внд: — -'( — + — ) дв Гд'В ! дат (343) д ( дг г дг/' Граничные и начальные условия: при т-О и О(г~гз О=ба )(г) — Г =Р(г]," прн т>0 н г=О при ч)0 и г=г, ( ддв) = — „б, Сформулированную задачу решил~ с помощью разчеления переменных, т. е. 0(г, т) =О(т)ф(г). Подставляя это выражение в уравнение (3-43), получим два обыкновенных дифференциальных уравнения вида е'(т) +айзр(т) =0; (3.44) ф" (г) + — т'(г)+й'у<г)=0.
(343) Из предыдущего параграфа известно, что уравнение (3-44) имеет решение: у(ч)=С,е ~. (а) Уравнение (3-43) есть уравнение Бесселя, общий интеграл которого имеет внд: р(Г) =Сз)ч(йг)-РСзуч(йг), (б! где С, и Сз-. постоннные интегрирования, Уз и Уч — функции Бесселя первого и второго рада нулевого порядка. Так как температура на осн цилиндра (г=-0) должна быть конечной величиной, а Уз(0) — зо, то из физических соображений частное решение уравнении (3-43) не должна содержать бесселеву функцию нторога рода и Сз должно быть равно нулю.
С учетом сказанного уравнение (б) принимает вид: ф(г) = Сз)з(йг). (в) Гели обозначить Егч=р, тогда частное решение уравнения (3-43) будет иметь вид: б(„)=сс У, ~~„— ). '~;/ (3-4б) Постоянная р в уравнении (3-46) определяется нз граничнмх условий (г г,), решение которых приводят к характеристическому уравнениюю (3.47) (3 В) (3.49) здесь Хг(р) — функция Бесселя первого рода первого порялка. Уравнение .(3-47) явлнется трансцендентным, и его удобно ре- зв шать граФическим способом, обозначив: РIВ1=У!~ Хз(р)ХУ!(и)'-'-Рз. аа ! !3, ! Отметим, что р! обращается гд !! а нуль в тех точках, для которых Уз(р) =-О.
! г з гз,г,гз, и л ггии В тех точках, в которых функ- !,' !, ! г! шщ У!(р!) обращается а нуль, функ- ' ! ь!г, ци» щ претерпевает разрыв непре- Л' рывиостн и становится равной ~с . Функции Хз(р) и Уг(р) являются периодическими затУхаюпщмн фУпк- з ! циями, а кривая уг.=Ег(д)ХУг(р) на-, ! ! ', й з! поминает котангенсонду, но с убивающим пернодои. Функция уг= =РХВ! графически представлиет !, !„Х, !,„„и приму!о линию.
проходяцгую через аà — ж 'д.' а "ь! lб начало координат. Выполнив построение, как показано на рис. 3-10, в точках пересечения функции у» с прямой у, получим значения корней харщстеристического уравнения (3-47). Из рис. 3-!О слелует, что уравнение (3.47) имеет бесчислен- рнс. т-!о К ггмеазю урзвчезая (злт).
нос множества решений, а сами корни, как и для пластины, представляют ряд возрастающих чисел, т. е. р!Срз<рз( ... ~р., где п=1, 2, 3, ..., со. Перные четыре корня уравнения (3-47) 1и, рз, р! и 1ц приведены а табл. 3-2 дая различных значений числа В) (от О до оь) . Общее Решение будет суммой всех частных реп!ений (3-46): О= ~~ С Х,('р„—,' ) ехр ~ — Р„,— ",-). ! Постоянная С„в уравяении (3-46) находится нз начальных условий. При г=б О=ба Р(г) м уравнение (3.43) принимает вид: О,==у(г)=~~ С„У,~, —," ) =! Видим, что (3-49) представляет собой разложение фуннции Г(г) в Ряд Фурье по функциям Бесселя, а для такой последовательности 69 Таблана 3-2 Зца мция Пз для цилиндра а! числа С определюотса по формуле После интегрнрояания знаменателя получаем: 4 Подставляя полученное выражение для С„в уравнение (3-48), получаем! О= ~ Ы (Г, ) 1, ~~ гр(г)l, (Пч — ) Иг~)4' ! Ху. ~ . +) еар ~ — .Я (3-82) Уравнение (3-52) справедливо при любом начальном распределении температуры в цилиндре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
