В. П. Исаченко, В.А. Осипова, А. С. Сукомел - Теплопередача (1013600), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Из соотношения (3-99) следует, что сиорость нагревании тела в стадии регулярного теплового режима 31/г(т прапорцнояальпа раэшцти температур срелы и средней по объему тела, причем козффициент пропорциональности ш определяется ие только харнктернымн раамервми тсла, физическими свойствами и условнями теплообмена иа поверхности, но 193 и характером изменения температуры среды. С подобныи изложением приведенного обобщенного метода можно познакомиться в указанной монографии А. В.
Лыкова. Теория регулярного режима может быть применена при решении таких практических задач, как определение времени прогреиа (охлаждения) тел, определение теплофизических параметров вещества, коэффициента теплаотпачн а, коэффициента излучеяия о и термических сопротивлений. Достоинство метода заключается в простоте техники эксперимента, достаточной точности получаемых результатов и малой пропалжительностн эксперимента.
з-тт. пвпзиижзиныкыатады эжпниия задач шппопвпводиостп В настоящее время существует много различных приближенных методов расчета теплопровадпостн; которые приводят к уловлетворительным для инженерной практика результатам. Приближенные методы решения задач чаще всего применяются в шжчае, когда точные аналитические методы расчета затруднительны.
Рассмотрим некоторые из этих методов. а) Чпсленныд метод Анкввтяческие решения, полученные путем непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений, дают возможность вычислить температуру в любой точхе данной системы.
В противоположность этому в основу численного метода положено уравнение в форме конечных разностей, с помощью которого вычисляем температуру в некоторых, заранее выбранных точках данной системы. Зто равнонекно ьштематичесиим приемам приближенного интегрирования. Следует отметить, по если получение точного аналитического решения связано с трудностью удовлетворения граничных условий, которые ие всегда ос)чцествиьгы. то при помощи числениога метода всегда возможно, па крайней мере приближенно, удовлетворить граничным условиям конкретной задачи.
Из численных методов решения задач теплопроволяости в настоящее времн наиболее ценным и широко используемым являетсв иетад конечных разяОстей. Сущность метода заключается в том, что в дифференциальном уравнении производные искомой функции заменшотсн приближенными соотношениями между конечнымн разносгяии в отдельных узловых точках температурного поля. В результате такой замеяы получаем уравзение в конечных разностяц решение которого сводится к выполнени1о простых алгебраических операций. Расчетное соотношение приводится к виду, где будущая температ)ра в рассл1атриваемой узловой точке являегс» функцией »ремени,настоящей температуры в рассматриваемой точке и настоящей температуры в соседних точках. Такие уравнения составляю'шя для всех узловых точек рассматриваемой области, включая и граничные.
В результате волучаем азмкиутую систему алгебраических уравнений. Введу однотипности вычислений при решении такой системы представляется широкая возмояшость для использования современной вычИслительной техники. Для получения расчетных формул при численном интегрировании в настоящее время широко пользуются методом тепловых балансов я математическими Операциями при замене в дифференциальных уравнениях производных функции конечными разностями.
В качестве конкретного примера получим расчетную формулу лля численного интегрирования одномерной нестациоиаркай задачи методам тепловых балансов. Пусть в этом случае процесс теплопроводности описывается уравнением Рнс. 3-24. Рллбнчпно чнолсвлл сени Ллн нс сглаз нарвой силомер вой лнлачл. гле для одномерной системы проводящая плащаль Р=ЛХ!, мт. Изменение внутренней энергии в рассматриваемой узловой точке ва время Ьт и=ср)га =грр(д — 1), (3-П)2) где 1 — температура в данной узловой точке в момент времени г; (в температура в лшмеит времени т+Лт; с — удельная теплоемкость; р— плотность вещества; )г †элементарн объем.
Нв основании сказанного уравнение теплового баланса для увловой точки 1 (рис. 3-24) будет имип видо Первым шагом численного метода расчета является разбиение данной системы нв соответсгвуипцее количества яебольших объемов а'присвоение вомера центральпыл1 тачиам каждого из этих объемов. Прел- полагается, что термическне свойства каждого такого объема сосредото. чены в центральной узловой тонге. Передача'теплоты межлу узловылои точками осуществляется через условные теплопроводящис стержни. В пестапионарном состоянии в каждой узловой точке не только пронскодат подвод плн отвод теплоты, но и изменяется инугреиняя энергия.
Изменеяие внутренней энергии зависит от изме- 1 Л пения телопературы в узловой точке во времени, ! от теплоемкости элемеятарного объема, который т+Х44Х она представляет, и пчотности вещества. Такай подход к вычислению температуры носит назвав ( Рчл( пие ме ода ПРибли ' иной !явленной итеРации- Рассмотрим применение метода к расчету температурного поля в плоской стенке [уравнение (3-100)).
Для знакомства с применением и и численного метода к другим задачам теплаправодности следует обратиться к специальной литературо (Л. !9, 31, П 1, 204, 209). Раабиваем стенку иа элементарные объемы (г=бХЛХ1=41 (рис. 3-24). Полагаем, чтоудельная теплоемкость с и коэффициент теплопроводности Л в пределах элементарного у~ветка постоянны.
Очевидно, количество теплоты, подвадпмае стержнем к узловой точке, определится по закону Фурье: 4= †(41/бх]. Вели расстояние Л достаточно мало, то можае выразить д через конечные разности, т. е. 11= = — (Л)б)б(, где Ы вЂ” разаость температур между смежными узловыми точками. Общее количества теплоты, проводимое стержнем за конечное приращение времени Лт.
равно: й (3-101) л ф !)3.1+ л (! с)а,! — 1Ры(! !) Решая последнее уравнение относительно неизвестной температуры !'ь получаем: 1 ! (к+1 + д 1 2( ) аы / 1 ер\' (3.!03) Если учесть, что л)ср=п — коэффициент температуропроводности вашества, у=ба и Ьто/бе=Го — число Фурье, то уравнение (3-103) принимает нид: (3-104) уравнение (3-104) нвляется основой численного метода расчета нестацнопарной теплопровадности. Дли расчета температуры !', по (3-!04) необходимо выбрать определенное значение Ро. При зтам нежно помнить, чта выбор Го ограничен условием Го ш —. 1 а ' (3.105) Еак показывает анализ, только при зтол1 обеспечиввшся устойчивость УРавиевик (3-104). Если жс пРинать !то>'!ь г. е.
наРУшить Условие (3-!05), то изменение температуры в прапессе расчета приобретает беспорядочный скачкообразный характер и расчет перестаег р быть верным. Пазтоыу при выборе. промежутков б и Ьт необходимо заботиться а том, чтобы условие р (3-!0Б) выполнялось. Если выбрать б и йт па условий Ро=с)ь то урав- и пенне (3.104) принимает вид1 Формула (3-106) широко используется при графИческом решении неетапионариых задач теплоправадностн.
Пря атом будушан Рис. 3-Ж Сразвенив числе мх раомтоз температура двиной узловой точки с тачамм реме ем рзепрсселе~аз температур (Го=1/41 а зассшз сгекке, лине завнсйт от ее настаяжей. кии ссатвеюстзткт акаактичсскаму решеПри дРУгих значениЯх Го УРав. зкм. тачка — чмсзезкаму рзс ету.
пение (3-104) приводит к более Сложным рЕзультатам: Ро= — „'. гм=м —,' (г,+г,+1,) (3-107) и Го = —, Р,= — (! +1,+2и. (3-108) Рво. 3-2В, Со»ло уэооэвх то»ох Пля Плухвервой влс»овзопарвой эапачв. (3-!!0) (3-(! (у Из уравнений (3-(00) — (3-!08) следует, что ул»еньшение значений Ро увеличивает чиспо вычислений и густоту сетки, однако при зтоы повышается точность вь»чнспений. Для случаи, когда одна из поверхностей пластины изапирована и на ней не происходит теплоабмена, а на другой казффициевт теплаотдачи а — л» уже при выборе Го=О» приблнжевный численный метод практически ие отлив -- чается от точного расчета.
Сравнение таких расчетов приведено на рис. 3-25 (Л. 204]. Пользунсь изложенным методом, можно получить исходное уравнение для численнога расчета и для других задач несташюнарной теплоправадности. В ча. стнасти, длв двухмерной залйчи после разбиении тела на элементарные объемы с размерами ячеек Ьх=Ьу б схема узловых точек будет выглядеть, как показано на рис. 3-2б. Саставлпи уравнение теплового баланса для пентрвпьной точки, получаем: "="1'+'+'+'+'( — ' — ')1 где (о, й (ь (ь (л — температура в соответствующей узловой точке в момент времени ж ! о — температура в центральной точке в момент времени т+Ьт. Длн этой двухмерной задачи промежутка б и Ьт должнм выбиратьсп вз условия (та ~в ! 4 аналогично условию (3-!Об) длн одномерной задачи.
При значении Ра='/» уравнение (3-(00) нривнмает вид: и+г +» '+г (о= —" При этом будущая температура узловой точки не зависит от ее настоящей. Для замены производных функции в дифференпиапьноы уравнении разиостными отношениями ножка иаспольэоваться математическими операциями. Такай полход не является более строгим, ио он дает вазможнос~ь решать задачи при рази»юбразных ирзевых условиях, опеннть погрешность перехода от дифференциального уравнения к уравнению в конечных разнастих н более просто провести анализ условий устойчивости п сходнмости решения.
Получим приближенную аамену первой и второй пронэвод- ПО э (и-рг у Омуль Рнс 2-2У. К оввопу (юрпух и запева сорной п второй прооэоовпой ровно»тонии о»»юшо и и ной черсз разностные отношения некоторой функции 1=((х), где под х можно понимать любую независимую переменнуео. Прежде всего интервал изменения функции разобьем на одинаковые участки б„. Каждая точка будет иметь свою абсциссу, отличающую. ся на величину Ь, иначе говоря, ноординату точии х„, заменим тб (т=), 2, 3, ...). Отметим на кривой 1=!"(х) точки А (1, тб ), В (!к-ь (ш — !')Л„') и С(1„+ь ( ч-!)бе). Касательная в точке А (у„„тб„) образует угол а с положительным направлщщеи оси абсцисц тогда производная функции дли рассматриваемой точки А (1, елбл) В =1Ка (3-1!2) Если интервал разбиения б — величина малая, то с достатпчныы приближением угол а можно заменить углами Р или у (см. рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
