В. П. Исаченко, В.А. Осипова, А. С. Сукомел - Теплопередача (1013600), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Начальная амплитуда первого члена ряда Рг=1, а раг=ЗВ!. При этих условиях соотношение (3-68) запишется так: Я(в (г'зп! и! 3,. Г ) (3-72! ,ъаи "р( — ' ' ' Из анализа уравнения (3-68) следует, что прн значениях Го)~0,28 ряд становится настолько быстросходящимся, что для выражения температурного полн можно ограничиться первым члеиом ряда: 6= 2(! р ! сг ! 1 ! (! и! — Го\ 3.73) !» — з(в! ссз! (,и Так как р в уравнении (3-68) зависят только от числа 81, то уравнение температурного поля может быть записано в виде В=Г()(, Вг, Го). (3-74) Для центра шара Е =Р (В), Ро).
(3-74") Для поверкности шаре О,а г Рис з-13. Зввисииост» н щрц В1) ява центов шаРа о„ш го го Оа сю о,г ог Оаг Рис 3-14 Зв исписать И Г,(Ртв В!1 ввв вввершш гв ш рв со ао О Ю О,О го Л О'то'л О Шшя о гл'Л и тр'г Рис Зча Зввивииветь ч37 Р(гц ВЗ Вв ~ =Рв(В( Го). (3-74в) Функции, определяемые выражениями (3-74') и (3-74") для раалнчных аначений чисел В) н Ро, представлены на рис. 3-13 и 3-14.
Аналогично, как для пластины н цнлншцра, количество теплоты, котоРое отлвется илн воспринимается шаром аа промежуток времени Ш-и от т=О до т, нейдеь! по формуле 0 йч !' (! !.— !.с Р)*(1 Р лм' Р' Р— з!а! „ссзп„ ! В улавнении (3-75) (1 =- з кг',Рс(6 — Р„) — начальная избыточная внутренняя зиергиы пира. Из рассмотрения (3.76) следует, что О =р(В!. ро). (3-76) Значенин функции (3-76) для различных значений чисел го и В( представлены на рис.
3-16. 3 в. Охиаищенне (нагревАнне) теи кОнечных РйзмеРОВ а) Охл азкденне пар алл слепни еда рассиотрнм охлшкдение Параллелепипеда в среде с псстояиной температурой н с постоянным козффициентом теплоотдачн а иа всех его гранях. В начальный момент времени (г=0) все точки параллелепипеда имеют одинаковую температуру (з Параллелепипед с разыерами 26„Х26гз(26, является однородным и изотропным. Требуется найти распределение температуры в параллелепипеде для любого моиеита )„ ) времени. а также срелнюю темпера- -Г туру, необходимую для определения 1-- количества подведенной (отведенной) теплоты.
Рзс. 3.!з. к озззжхомм пегаззезепн- Поместим начало координат в ' центре параллелепипеда (рис 3-16). Прн атом дифФеренциальное уравнение запишется следуюшим образом: — — =ОУЧ(х, р, а, с). дг(. з. «,т! д! (3-7Л Начальные условия (т=О) ((х, д, з) =(з=сопз(. (3-76) Прн заданных условиях задача симметрична относительно центра параллелепипеда.
Если ввести обозначение О= ! — (кч то граничные усповия запишутся так: а) лля поверхности при т>0 -!-х — =аб дВ ! (- ) д»/ аз„ (ЗР уз=а!З " зз! ~ т Х(~~) аа; $ ! — и б) в центре параллелепипеда прис)0 Параллелепипеды, цилинлры конечных размеров и прямоугольпые стержни можно расснатривать как тела, образованные пересечением соответственно трех взаимно перпендикулярных неограниченных пластин конечной толщины, цилиндра и пластины и двух пластин.
Можно показать, что решение таких задач представляется произведением безразмерных температур для тел неограниченных размеров, в результате пересечении которых образовалось рассыатриваемое тело. Как было сказано, параллелепнпел образован в результате пересечения трех взаимно перпендикулярных безграничных пластин конечной толщины.
Следовательно, длв него и регпение можно представить, как произведение безразмерных температур для трех безграничных пластин: В=В,Е,Вь где Е. г[" )-'-. 8 '1'")-г-, .8, '(* 1-4. Общее решение (3-81) в развернутом виде запишется слелуюшим образом: г(х, т, з, ) — г г(х, 1 — г г(з, 1 — г„г(», 1 — г Приведенное решение удовлетворяет как дифференциальному уравнению, так и граничнын условиям, описывающих~ процесс тенлопроводиостп в параллелепипеде.
Таким образом, решение задачи для рассматриваемою тела конечных размеров свелось к решению задачи для безграяичной пластины конечной пашины. Уравнение (3-8!) можно представить в виде: В=Г„(К, В) Го )Г„(У. В)т, Гот)Г,(2, В)„Го,). (3-81 ) Множители в уравнении (3-81) вычисляются по формуле (3-24). Рассмотренный метод известен в теории теплопроводйости под названием теоремы о перемножевни решений. Полученное решение справеддиво и Лля нахождения средней температуры. Средняя безразмерная температура параллелепипела выражаетсз следующих~ образом: 8 П ) — '- Г( — П(ем — П(.1, — . й — г 8=68,К.=Г. (И„Го,) Г„'(В)„, Го,) Г,(Ю„Го ).
(88~ В уравнении (3-82) множители находятся по формуле (3-39). Заметим, что теорема о перемножении решений справедлива н в более обшем случае, когда коэффициенты теплопроводности различны для рааличных направлений, коэффициенты теплоотдачн иа гранях разные. б) Охлаждевде длинного прямоугольного стержня у Однородный стержень охлажлается в нф среде с постоянной температурой 1 и при постоянном коэффициенте теплоотдачи иа его поверхности.
В вачальный момент вре- з ысви (т.=б) все тоша> стержня имеют одинаковую температуру. Поперечное сечение стержня предстану ляет собой приьюуп>льиик размерами 2б м Угйбт (РНС. 3-!7). ТаКОЕ ТЕЛО ЬшжНО РаС- ою>ЩВЫ~ВОО ВГЯНО>>алЬВВГО сматривать как результат пересечения двух стержня пластин толшивой 2б, и 2дя, условия однозначности для которых таяне же, как и для образовавшегося сте1икня. Безразмерное температурное поле для поставленной задачи есть (3-82') где В,=Г„(Х, В>, Го ) и Вг=рг(У, В(м Ро,). Множители в уравнении (3-82) вычисляются по формуле (3-24).
в) Охлаждение цилиндра конечной длины Однородный цилиндр охлаждается в среде с постоянной температурой 1 . Коэффициент теплоотдачи и на основанинх цилиндра и его поверхности одяна«ов. В на >альный моыент (т=б) все точки цилиндра имеют опинаковую температуру 1>, Дна>>етр имл>пдра равен 2гь длина 1-23> (рис. 3-18). Необходимо найти распределение температуры в цилиндре для любого момента вреыевн и среднюю температуру как функци>о времени для заданных условий однозначности. Рвс. ч->з.коымв- Конечный цилиндр можно рассматривать как реаульгат пересечения безграничных цнлнядра днаметроь> 2>, и пластины толш>п>ой 2б„следоватевьно, и безразмерную температуру длн такого тела можно записать как >1* '1 — »1» '1-> (8.83) нлн ((3 83') В уравнении (3-83) множители правой части ваходятся по формулам (3-24) и (3-53), причем в качестве определяюшмх линейных размеров в уравнении (3-24) берется половина высоты цилиндра б>, > 99 а в уравнении (3-53) — радиус пнливлра ге.
Средняя температура в пнлнндре длялюбого момента времени Г( > — г Г(е)„— г Г( ),— г„ 6=-9лб =Ел(В) „Го,)Р,(В) Гог). (3-34) В уравнении (3-54) множители вычисляются по формулам (3-39) и (3-65). З.о. ЕаенсимОсть ЛРОцесса Охлаждмеил )нАгреаАние) От ФОРМЫ И РАЗМЕРОВ ТЕЛА Скорость процесса распространенна теплоты в телах вавнснт от огвошеяня поверхности тел к вх объему. Исслелования процессов охлаждения тел указывают на то, что чем больше отнопгеняе поверхности тела к его объему, тем н скорость протекания процесса будет больше.
Сказанное справедливо для любых значений числа В1 и может быть наглядно продемонстрировано на примере охлаждения пластины, г,о о ог ог лз оо лз го=отлете Роц Заз. Скорость оллежхелее в центре лло рылеевых тел о оаж еловым «аректереыы лолы еык рюыерок Г г — ее; г — ло е е л е олвеел — л же ем же длинного цилиндра н шара.
При В1= — 0 для пластины, цилиндра и шара уравнения температурного поля занвшугся соответственно Вж ехр ( — В(ро); Вц „=ехр ( — 2ВТГо); В =ехр ( — 30)Го). Из прнведенных уравнеенй следует, что при одннаковом определякнцеы размере н прочих разных условиях наибОльшая скорость нзменення температуры во временн будет наблюдатесн для шара. Есле сравнивать отиошення поверхности к объему для пластины, ннлнндра я шара, то нх можно представать как 1: 2 г 3.
На рес. 3-19 приведены кривые нзменення температуры во времени на оси в в центре тел различной геометрической формы прн одинаковом значения числа Вг. Из рис. 3-19 следует, что для шара скорость охлаждения болыце, чем для любого другого тела Съ дует со..о ~го что все сказанное справедливо длн твз с одннаковым карактерным лниейным размером го 100 З.та. Уегуняэный эежиы Охлыкдания (нагзаваиия) тяя Анализ полученных решений для тел различной геометрической формы показывает, что они имеют одинаковую структуру, т е. представляют собой сумыу бесконечного ряда, члены которого расположены по быстро убывающим экспоненциальным фупнцням.
Например, для безграничной пластины прн охлаждении ее в среде с постоянной теппературой 1 и постоянныы коэффициентом теплоотдачи а на ее поверхностях получено: 6= ~ Амссп (вм — ) а В этом уравнении А — постоянный коэффициент, свой для каждого члена рида (не зависящий ни от координат, ин от времени), ои найден из начальных условий. Множитель соз (рмк/6) является функцией только координаты х и его можно обозначить (1 .
Экспонента будет убывать пропорционально вреыени т. Комплекс пз а(бь представляет собой постоянное вещественное положительное число, которое можно обозначить т, причем т будет изменяться в зависимости от номера индекса так же, как и р, т. е. пп<шз<пъ« ... ш, (3-86) где н=1. 2, 3 ... С учетом сказанного выражение для пластины можно представить как 6= ~ А,()„з (3-86) =1 Для тел других геометрических форы температурное поле также будет описываться уравнением вила (3-86).
Специфика геометрической формы учитывается различным видом множителей А„и (1„. Для тел одной и той же формы разлнчныы начальиыы распределениям температуры будут соответствовать разные совокуп- ---'. лепна — ч, Гь акт ности чисел А . При малых значениях т от т=О да т=ть распределение температуры внутри тела н скорость изменении во времени температуры в отдельных топ~гак Ыф - =г тела зависят ат особенностей началь- 1 , ызмт ного распределения температур. В этих ыф ††т †) — —— условиях поле температур в теле бу- ', ', нэ'1-р дет определяться не только первым, но и поснедующвми членами ряда (3-86).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
