В. П. Исаченко, В.А. Осипова, А. С. Сукомел - Теплопередача (1013600), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В условиях передачи теплоты через стенку при внезапном изменении >емпсратуры одного из теплопаситслей не вся теплота будет передаваться через стенку: часть ее уйдет на нзл>енеиие вн)трекней энергии самой стенки Э 3 (ее температуры), и только при наступлении стационарною пропесса вся теплота будет передаваться через стенку от олной жидкости к другой. Золя Приведенные примеры укааывают яа то, пп нестацианаркые тепловые процессы з=ггш всегпа связаны с изменением внутренней энергии или энтальпии вещества.
з В настоящей главе будет рассмотрена рхс з->. хлроктор яляеяеяяя лишь несколько наиболае важных задач, ат- оиоературя тша во ореяехя. носящихся к процессам, в которых телостремится к тег>ловамуравг>овеси>а.Цель такогорассмотрения заключается в тои, чтобы ноказятьобвп>ефизическиеасобеиноститакаю рода процессов, познакомиться с методом решения задачи нестапионарной теплопровадности и получить математические соотношения для практических расчетов.
Для более широкого ознакомления с решениями большого круга задач нестационарнай теплопронодности как в случае стремления температуры тела к состоянию равновесии, так и ее периадического изменения следует обратитьси к монографни А. В. Лыкона (Л. !!!] и другой специальной литературе(Л. 37, !32, 204]. 3-З. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА Аналитическое описание процесса теплопроводносгя включает в себя диффереяциальное уравнение и условия однозначности. Диффереяциальное уравнение теплопроводнасти при отсутствии внутренних источников теплоты имеет вид> (3-!] Условии однозначности зада>отея в виде: физическнх параметров 1., с, р; формы и геометрических размеров объекта 1„(32) 1„1„..., ]ы температуры тела в начальный момент времени 1=1л=> (л Е з).
Граничные условия могут быть заданы в виде граничных условий третьего рода; Дифференциальное уравнение теплопроводности (3-!) совместно я условиямн однозначности (3-2) дает законченную математическую формулировку рассматриваемой задачи. Решение ее заключается в Отыскании функции 1 ((х, у, а,т, и. а, гь гы, 1ь, 1ь,..., 1„), (З-З) которая удовлетворяла бы уравнению (3-!) и условиям (3-2).
Рассмотрим подробно решение задачи об охлаждении плоской однородной степки и получим для этого случая конкретный внд функции (3-3). Изучив метод решения задачи лля пластины, можно понять принцип решения задач и для тел другой геометрической конфигурации. Т-З. ОХИАТКДЕНИЕ !НАГРЕИАНИЕ\ НЕОГРАНИЧЕННОИ ПЛАСТИНЫ Рзс 3-2. К охээмдеззю пэсскоа иезгьюиьгичзэа вззйрз О ь «з» Гь сапа! в Вь сззп, Постановка задачи. Дэна пластина толщиной 25.
Если толщина пластины мала по сравнению с длиной и ьпирнной, то такую пластину обычно считают неограниченной. При эшганиых граничных условиях коэффициент теплоотдачи о одинаков для всех точек поверхности пластины. Изменение температу- ры происходит только в одном направлении х, в двух Ы других направленинх температура не изменяется (ь)1(ду=дг(ди=б), следовательно, в пропранстве задача является одномерной. Начальное распределение температуры задано некоторой функцией 1(х, 0]= =((х).
Охлаждение происходит в среде с постоянной температурой гм=сопз|. На обеих поверхностях от! вод теплоты осуществляется прн постоянном во времени козффнциепте теплоотдачи. Отсчет температуры пластины'для любого момента времени будем вести от температуры окружающей среды„т. е. 1 — Аз=О.
Так как задача в пространстве одномерная, то -гд- дифференциальное уравнение (3-!) принимает вид: да дчь — =а — „. д д»" ' (34) Начальные условия: при т 0 б=бь=)(х) — 1 у Р(х). (3.5) При заданных условиях охлаждения задача ста- новится симметричной и начало координа'г удобно поместить на оси пластины, ьвк показано на рис. 3-2. При этом граничные условия Иа оси и на поверхности пластины запишутся такь а! иа оси пластины при к=О ~ — „г! =.0; гдэ ь (дху„ (З-б) б) иа поверхньюти пластины при .х=й ! — ! = — — Э ьдхь„ь х ь 1 Дифференциальное уравнение (3-4) совместно с начальными (3-5) и граничными (3-6) условиями однозначно форььируют поставленную задачу.
Решение дифференциального уравнения (3-4) с учетом начальнмх н граничных условий н дает искомое распределение температуры в плоской олаетиие. Решение дифференциального уравнения (3-4) ищем в виде произведения двух функций, из которых одна является функцией только т, 76 а другая — только х (метсд раэделеннн переменных): 6=8(т,х) 8 ф(т)ф(х). (3-7) После подставовки последнего выражения в лифференцналыгое уравнение (3-4) получим: Эт у(х)=а ах' р(т) дт (т) дьйх) а'(т)ф(х) =аф"(х)9(т).
В этом уравнении легко разделяются персис!иге!с, и его можно записать следукацим образом: т'() Ф" (х) (3-8) т() Ф(х) Левая часть уравнения (3-8) есть функция только т, а правая функции только х Если зафиксировать аргумент х и менять только т, то при любом его значении левая часть уравнения (3-8) равна постоянной величине, стоящей в правой части, т. е.
9'(т)!9(т) =сопз1. Лналогично при фиксации т и изменении х правая часть уравнения (3-8) длп любого значения х должна равнятьгя постоянной левой часта, которая зависит только от т, т, е, ф" (х)/ф(х) =сопз1. Так как равенство (3-8) должно иметь место прн любыь значениях х н т, то обе его части должны быть равны одной и той же постоинной величине. Обозначим шкледнюю через е и перепишем соотношение (3-8): ч т» Ф(х! Заметим, чю нетривиальное решение для 1руикции ф(х) получаем не при эсел значениях г, а только при з(О. Так как з пока произвольная посюянная по численному значению.
то полагаем е= — йэ. Подставляя это значение для г, получим: "~х ! э т(:.1 Ф( ) откуда Э ()+Пдр(т)=-О! (3-9) Ф" (х) + йч) (х) =О. (3.!О) Постоянная й определяется яэ граничных условий, а знак минус выбирается из физических соображений. Для тсгловых процессов, стремящихся к тепловому равновесиго, знак может быть только минус. В результате мы получилн систему обыкновенных дифференциальных уравнений (3-9) н (3-!О), которые легко интегрпруготся. Уравнению (3-9) уповлетворяет функция р(г) =Сгэ Уравнению (3-!0) удовлетворяет функция вида: ф (х) =-Сэ з! п (йх) -1 Сз соэ (Ах) . Подставляя полученные выражения для г)(т) и ф(х) в уравнение (3-7), получаем частное решение: 8=(с,з)п(йх)+Сзсов(йх)) С,э (3-П) 77 Выражение (3-11) удовлетворяет исходному уравнению (3-4) при любых значениях постоянных Сь Сз, Сз и А. Для того чтобы уравнение (3-1!) было решением поставленной задачи, его нужно подчинить начальным н грани шым условиям. Г!сданная уравнение (3-11) граничным условиям прн х=б (ф) =О, находим: (Й.— З— „) =С,с й [С, сов(йх) — С;зш(йх)) ~ =.О, Сзсоз (0) =Сзшп (О) откуда Се=О.
Это значит, что частное решение ф(х)=Сзз!и (йх) должна быть отброшено ка«не удовлетворяющее заданным граничным условиям. Если учесть, что Се=О, в обозначить С~Се=А, то уравнение (3-!1) можно записать в виде 3 =Аз 'соэ(йх). Подчинив частное решение (3.!2) граничному условию (3-12) получим йАаез!п(й!) = — — ', Ае~соь(йэ), (3-13) откуда после простейших преобразований получаем: аз с!3(йз)= —,з .
Л где пб/Л=-В1. Если обозначить йб=р, то последнее выражение можно записать следующим образом: с!и р=р/В!. (3-!4) Из анализа этого тригонометрического уравнения следует, что при каждом значении В! существует бесконечное множество решений. Наиболее просто уравнение (3-!4) мол!но решить графическим способом. Обозначим левую часть уравнения (3-14) через И=с!ар, з правую в через ш=р/В!. Пересечение котаигенсонды уг с прямой уз дает иам значение корней характеристического уравнения, т.
е. р (рнс. 3-3). с Иэ рис. 3-3 следует, что мы инеем бесконечное множество значений величины р, причем каждое последующее больше предыдущего: !м<рз(рэ( ° ° - (~ Важно отметить, что хаждому зна- чению числа В! отвечает своя совокупРас зш к розенам уряввезав !з-!4!. ность корней уравнения (3-!4). 78 Тэвлвкэ 3-1 Значения 1„ для пласгнни В! Первые четыре карин уравнения (3-14) рг, ра, ре и р, приведены в табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
