В. П. Исаченко, В.А. Осипова, А. С. Сукомел - Теплопередача (1013600), страница 16
Текст из файла (страница 16)
3-1 для различных значений числа В! (ат О до оэ). При В! прямая р,=р/В! совпадает с осью абсцисс и корни уравнения булут равны: З, 6 ч 97= —: 9 = — тл 97= — «-., р =(2л — 1)-2-. При В! — 40 прямая р,=р/В1 совпадает с осью ординат и тангенс угла наклона прямой стремится к бесконечности, при этом корни урав- пения (3-14) равны: рг=й: рэ=п; рэ=2п; ...; р„=(л — 1)п, где л=!, 2, 3 Для других конечных значений числа В! Оелипп~ы р имеют промежуточные аначения (см.
табл. 3-1) . Следовательно, каждому найденному значению карня р будет саатнетствовать свое частное распределеяие температуры: В, = А, сов (р, — ") е В, = А, соа (7„— 1 е Бу (3-13) О„=А„саа(р„— ") е 79 а о,еа1 о',им О,СО4 о,мм О',ВЮ о',а! о'.ы 0,06 о,ов О'.1 0,2 а,6 0,7 о',3 0,9 о.осео 0,03!6 0,0447 0,0632 0,0774 а,оыз О'.0998 6,1410 0,19Ю О,Я25 0,2791 о'ю! ы о',жа О,Ы!8 О, Ыэг о,выз О',7051 а,ти6 о,тюа О,Ы74 з,ыю 3.1419 3, 14Л 3, 1429 3,!435 3,1441 3,1448 З, 14Ю 3,1543 3 18И з',юи З,'!Ю1 3,2039 з,пм! 3,2636 3'2ЫЗ з,зии З.3477 З,Зги 3,4ИЙ 6,2832 6. 2ЮЗ Б,ЮВБ 6,2838 5,2841 О,Ю45 О,Ю48 6,2959 Б,Ю9! 6.3148 О,ЗЗИ 6,3461 6,3616 6,3770 6,3923 6,4074 6. аз 9,4248 9,4249 9,4250 О.ЮЫ 9,4254 9,4ЕМ 9,42% 9,4%9 9,4930 9,43Ы 9,4ЮЗ 9.4354 9,4459 9,4365 9,4670 9,4776 9,4879 9, 4983 9, 5087 9,5!90 1,О 1,'5 2',а В.а 4.О Б,О в.о 7,0 В,О 9',О Ю,'О ю',а , Я!О ' зоа ю,а БО,О 1са,о о,июз а,'Озы !.отв 1,1928 1,2646 1,ЗЮВ 1,3496 !.Зты 1,ЗВ78 1,4149 1,4ЯП 1,472! 1,4961 1,5202 1,6мз 1,5400 1,5451 1,%14 1,5552 1,5708 5,42 И 3,54 Ю ЗЛЫЗБ з.в пм 3,'Ювг 4,0336 4,!116 4,17 46 4,2Ю!М 4,2Б94 4,3 ОЗВ 4,4255 4.4ЮИ 4, Б615 4,Ы 79 4, Ыаг 4,И53 4,И48 4,6658 4,7124 8,4373 О,БО97 6.5733 6,7040 6,8140 6,%06 6.9924 т',сыо 7.1263 т, 1и6 7дп81 7.39% 7,4И4 7,6067 7, И47 7,7012 7.ПЬЧО 7,7573 7.7764 7,3540 9, 5293 В,ИО1 9.'ЕЮБ 9.7240 9,8119 9,8928 9.9И7 !О.юв 10, 0949 10,1502 Ю гпи 10,3818 !о',ыю 10,6543 10,7334 10,7832 10,8172 1О,И!и 1О,ИП Ю,иил Полученные частные решения (3-15) будут удовлетворять лифференциальному уравнению при любых значениях постоянных Аь Аь ." ..., А, на ни одно из этих решений не будет соответствовать действительному распределению температуры в начальный момент времени.
Однако путем наложения бесконечного числа таких распределений при ссютзетствующзм выборе величин А можно воспроизвести любую действительную температурную зависилсость в начальный момент времени. !!а осаовании сказанного общее решение можно представить суммой бесконечного ряда: 6= ~ А сов (р„— ) е с (3-16) Известно, что если отдельные распределысия (3-!5) удовлетворяют дифференциальному уравненнсо (3-4) и граничным условиям [3-6), то и сумма их также удовлетворяет тем же условиям.
Постоянная А в уравнении (3-16) найдется нэ начальных условии. Подчинив уравнение (3-16) начальному условию, получим: 6, Д(л)=~ А„сэ( — '„). =с Уравнение (3-17) есть разложение четной функции в ряд Фурье с заданными параметрами р, определяемыми характеристическим уравнением (3-14). Для этой последовательности чисел р справедлива формула ~ сов (г„— ) ссп (и — ) с[л = ~ с помощью которой можно определять все коэффициенты А в уравнении (3-!7). Для этога умножим обе части уравнения (3-17) иа сов (р х76)сЬ и затем проинтегрируем полученяое соотношение па толпшне пластины.
Тогда (3-!7) ~Р(л)саз(Π—,) с!л= ( ) сов'(Н з )с[х, (3-!6) иба все остальные слагаемые в правой части, лля которык л~сп, обращаютси в нуль. Интеграл в правой части соотноспения (3-!6) равен э (! + — Мп2гь). Тогда ° гшз=ст [ сч (,.+)ь. (3-!91 Из уравнении (3-19) следует. по А„является функцией толька корня характеристического уравнения и начального распределеииятемпературы. 60 Попставив полученное вырагкенне длв постоянной А в уравнение (3-16), получим окончательное выражение для температурного полн при охлаждении однородной пластины: у+э В=~~ ~" ~ ) Р(х)сгн(рх —,)Ах~сон (н„з ~~с (3-Ю) й= ~1 эа""' сон(в„э)а 1 Уравнению температурного поли (3-22) целесообразно припать безраэмернуш форму.
Для этого разделим правую и левую части уравнении (3-22) на б,. Прн этом обозначим: После этих преобразований получим: э Входящие в уравныше температурного поля (3-23) величины —; Вы (3-23) — — являютси безразмерными и имеют следугошнй смысл: а: к б(бэй ф — безразмерная температура; х(Ь=Х вЂ” безразмерная координата; ат/бзй Ео — число Фурье, прелставляющее собой безразмерное время;  — безразмерный коэффицигзп. С учетом последних обозначений урввневие (3-23] запишется: 0 = ~~ ~ф н„" соэ (н„Х) ехр ( — !г'„Ро).
тна| „ 3 (3-24) Анализ полученного решения.Так какрг,рь..., р представляет собой ряд возрасгакнцнх чисел, то чем больше р, ген меныпе э-О 3! Уравнение (3-20) позволяет получить значение температуры в любой точке пластияы для любого момента временит при любом начальном распрелеленни температуры бэ Если в начальный момент времени (т=б) температура в пластине распределена равномерно (рис. 3-2), т. е, (т-4„=бэ=сопз1, то иятеграл в УРавненин (3-19) Равен (бьйб(Р ) в!п Р„. С Учетом сказанного выРажение для постоянной А принимает видг + «!» сэф (3-21) Подставлия значение А полученное лля случая равномерного распределения температуры в пластине э начальный момент времеви, в уравнение (3-20), получаем: роль последующего члена ряда по сравнени!о с предыдущим.
Кроме того, чем больше число Ро, тем члены ряда будут убывать быстрее с увеличением номера в. Многочисиенные исследования показали, что уже прн Ро)О,З ряд (3-24) становится настолько быстросхоляшимся, что распределение температуры достаточно точно описывается первым членом ряда: (3-25) Ранее обозначено 2жпрб(рг+в1п щ сов !и) =Р» С учетом этого обозначения уравнение (3-25) можно записать в следующем виде: В=()гсоа (ргХ) ехр ( — рзКо).
(3-25') Величина Вг является только функцией числа В! и заранее может быть рассчитана н табулирована. Кроме того, если рассматривать температуру для опрецеленного значения Х=х/6, то и соя (дгХ) является функписй В!. Конкретно для оси пластины Х=х(6=0 и сов(п,.б) 1, а для поверхности Х=х(6=1 и сов(рг 1)=созыв Для оси пластины произведение В~сов (О] обозначим как некоторую функцию У(В(). Тогда уравнение (3-25) можно записать в следующем виде: Ол-е Ф(В!) ехр ( — пвг Ро).
(ж26) Для поверхности пластины произведение 78 совр, обозначим каь некоторую функцию Р(В() и уравнение (3-25') запишется твк: Вл=~=Р(В!) енр ( — ьАРо). (3-27) Функции Ф(В() н Р(В() в уравнениях (3-26) н (3-27) табулированы и для расчета могут быть взяты из справочников 1Л.
82, 164, !82]. Кроме того, из уравнений (3-26) н (3-27) следует, что прн заданной ноорлииате безразмерная температура является только функцией двух безразмерных параметров В! и Ро: Вл а=)г(ВВ Ро) и Вх-г=(а(В!, Ро). Логарифмируя уравнение (3-26), получаем: 1п Вл р=1пуц(В1) рзг Ро. (3-28) Аналогичное уравнение может быть получено после логарифыироввиия уравнения (3-27). Из уравнения (3-28) следует, что при заданном значении координаты н при заданном В] натуральный логарифм безразмерной температуры линейно зависит от времени.
Последнее обстоятельство дает возможность преаставить для уравнений (3-26) и (3-27) графическое решеиае (риш 3-4 и 3.5) . Из уравнения (3-24) следует, что в условиях охлаждения (нагревания] пластины для любого момента времени при заданных граничных условиях поле температуры имеет вид симметричной кривой с максимумом на оси пластины (Х=О). Для каждого послелуюшего момента времени будет своя кривая, монотонно убывающая к поверхностям пластины. При этом для любого момента времени касательные к кривым в точках Х=ш ! проходят через дне направляющие точки о 4 и — А †расположенн на расстоянии шХч от поверхности пластины, Хч= 1/В! (рис.
3-6). 82 7 .0-7' 0 Ра рр,— - 03 ре 'е Рт 7,0 0,0 п,а 0,3 ре а,г 7. ае 0,7 Е,е ~Ю о,ге 0,03 Ре Р, Р Рог аы оае ; тры рое ОИ 7 !ь 8 3 е е а О ппютгпд7 ыТ Ра= В Рвс З-Е Заенсвыссть В 27!Ге, В7) лля середины пластины. ОЫ О т. -2-7 Р— В== ! — гщ а ;МЦ'-'г'=Р ° 71 О,,Ц ~' ,ре ф '7 Пы, ' —,— О! ' — 7 РОЕ Раг ат 70 ра о,а ог ае " «б.',„' 87 — '!7, е ) Р Рг 008 О,бб О Оа раб Ррт Рее Рнс 2-5 зависеыссть В бт(еп, В!) для ппвериантв пластины. ВЗ 2 3 е а б 7 е и пыы ыд7гггагагаи Ге= — "', ВО йля доказательства этого важного свойства рассмотрим темпера:турное поле для произвольного момента времени Ро)0. люмножив граничное условие (3-0) при х=- скб на б/бю, получим: Записывая последнее выражение в безразмерных (эл) Из рисунка следует, что Сравнивая выражении (а) и (б), получаем: Х— ю й! зелвчинах, будем (а) (б) Из уравнения (3-29) следует, что расстояние точки А от поверхности определяюся заланвыми условиями одиочначносги, которые сира~в ведливы лля любого момента времени Следовательно, касательные ко всем температурным кривым в ~очке перегч.
ю сечения с поверхностью пластины н невамевных граничных условиях всегда бьдут проходить порез точку А. Сказанное справедливо не только для ю пластины, но и для цилиндра,шара и тел других геометрических форм. -Л "' ) ' р 'йю! юл доказанное свойство температуро пых кривыт дает возможность определить характер изменения температуры в теле при заданном значении числа рюп з з и пю ~кипя тсююпсроттрпюпс В1 РассмОтрим при этОм три глу поля о лесхоз пеагрюпэпяяоа стоя- чая. яс пря сс охляыюяпп !. Случай. когда Вг- оо (практически В!>100).Есои число В! стремитсн к бесконечности, то температура поверхности пластины сразу становится равной температуре Окружающей среды, в которую помещена пластина.
Последнее видна нз уравнения (3-29):прв В! оо Хо= 1/В!=0. Это овна*гает, что точка пересечения касательных к температурным криьым находится на поверхности пластины. Из 01= =-(б/х)/(1/и) следует: В! со прн заданных физических параметрат и толщине пластины тогла, нагда п — оо, т.е.когдаимеет местоочень бочьпгаи интенсивность отвода теплоты ат поверкпости. В этих случаях процесс охлаждения определяется физическими свойствамн и размерамн тела.
При этом и„=2(п- -1) —, и тогда коэффипиент ряда (3-24) ! кю! р Э„+ сою р„ю1п р 2кря ) (тя — !) 2 1 г,! г ! (Бз — В (Ш вЂ” !) — +М» ! !2к . — р] — ~ сок ~ !2з — !) — ) г 2 ) Обшее !мление для рассматриваемого случая принимает вцд; ехр ~ ( 2 ) в Ро1. !330) ! Тогда температура иа оси пластипы (Х=О) О,,= — '~~З2-„')" —;,'- р ~ - / —,)* Ро~. (Зз)) ! При Х= 1 осе [(Зп — 1) — Х~=-О, и, следовательно, 0,=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
