15 Основные понятия вариационного исчисления. Вариационные задачи поиска безусловного экстремума. Задачи с закрепленными концами (1013423)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 15. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯНа практике существуют задачи оптимизации, в которых критерий качества зависит от функции, определить которую необходимо так, чтобы критерий принял минимальное или максимальное значение.Вариационными задачами называются задачи о поиске экстремума функционалов, т.е. величин, численное значение которых определяется выбором одной или нескольких функций.Пример.

На плоскости t, x  заданы две точки t 0 , x 0  , T , xT  . Требуется соединить эти две точки гладкой кривой, имеющей наименьшую длину (рис. 1).xxTx * (t )x (t )x00t0TtРис. 1 Длина кривой, соединяющей две заданные точки, находится по формулеI x (t ) T1  x  2 (t ) dt .t0Таким образом, решение задачи сводится к определению такой непрерывнойфункции x  t  , имеющей на отрезке t 0 ,T  непрерывную производную и удовлетворяющей заданным граничным условиям x t 0   x 0 , x T   xT , на которой критерийI x (t ) примет минимальное значение. Критерий зависит от функции x (t ) и представляет собой функционал.

Очевидно, решением является прямая x  t  , соединяющая двезаданные точки. Переменная I [ x (t )] называется функционалом, зависящим от функции x (t ) , есликаждой кривой из заданного класса функций M соответствует вполне определенноедействительное значение I , т.е. функции x (t ) соответствует число.Класс M функций (кривых), на которых определен функционал, называется егообластью определения.11Пример 2. Найти значения функционала I x (t )   x (t ) dt на следующих кривых,0образующих класс M : x1 t   t , x 2 t   t , x 3 t    t  12  1 (рис. 2).2x1x3 (t )x1 (t )x 2 (t )0t1Рис. 2 Заметим, что все кривые проходят через две точки 0; 0  , 1; 1 , т.е.

удовлетворяют граничным условиям x 0   0 , x 1  1 . Найдем значения функционала, соответствующие каждой кривой из класса M :I x1 (t ) 10t2t dt 210I x 3 (t ) 1 ;210I x 2 (t ) 10[  t  12  1 ] dt t3t dt 31201;32.3В данном примере функционал имеет простой физический смысл – площадь подкривой x (t ) . Каждой кривой из класса M поставлено в соответствие число, равное площади.

Очевидно, может быть сформулирована задача о нахождении такой кривой изкласса M , площадь под которой была бы минимальна (максимальна). Функционал I [ x (t )] называется непрерывным, если малому приращению функции x (t ) соответствует малое изменение функционала. Уточним, какие измененияфункции называются малыми или, что то же самое, какие кривые называются близкими.Будем полагать, что функционал I [ x (t )] определен на элементах x (t ) линейногонормированного пространства функций, в котором каждому элементу x t  поставлено всоответствие действительное число x , называемое нормой элемента, при этом выполняются следующие условия:1) x  0 и x  0 тогда и только тогда, когда x  0 (0 – нулевой элемент);2) x    x ;3) x  y  x  yдля любых элементов x, y , принадлежащих пространству, и любого действительногочисла  .Предметом нашего рассмотрения будут, как правило, пространства C 0 ,C 1 .2Пространство C 0 ([t 0 ,T ]) состоит из непрерывных функций (кривых) x t  , опре-деленных на отрезке t 0 ,T  .

В пространстве C 0 ([t 0 ,T ]) норма вводится следующим образом: x 0  max x (t ) .t [t0 ,T ]Пусть x  t   C 0 ([t 0 ,T ]) и   0 – произвольное число. -окрестностью нулевого порядка кривой x  t  называется совокупность кри-вых x t   C 0 ([t 0 ,T ]) , такая, чтоx  x0 maxt [t0 ,T ]x t   x  t    .(1)Это означает, что расстояние от кривой x * t  до кривых x t  мало (рис. 3), т.е. графикикривых x t  целиком лежат внутри полосы шириной 2 , окружающей график функцииx * t  . В данном случае можно считать близкими кривые, близкие по ординатам.xxTx (t )x00x * (t )t0TtРис. 3Пространство C 1 ([t 0 ,T ]) состоит из непрерывных функций (кривых) x t  , определенных на отрезке t 0 ,T  и имеющих на этом отрезке непрерывную производную.

Впространстве C 1 ([t 0 ,T ]) норма вводится следующим образом:x1 maxt [t0 ,T ]x (t )  maxt [t0 ,T ]x (t ) .Пусть x  t   C 1 ([t 0 ,T ]) и   0 – произвольное число. -окрестностью первого порядка кривой x  t  называется совокупность кри-вых x (t )  C 1 ([t 0 ,T ]) , такая, что3x  x1 maxt [t0 ,T ]x (t )  x  (t )  maxt [t0 ,T ]x (t )  x *' (t )   .(2)Это означает, что у кривых x t  и кривой x * t  близки не только ординаты, но и значенияпроизводных (рис. 4).

Действительно, если x  x ливы неравенства1  , то для всех t  [t 0 ,T ] справед-x (t )  x *' (t )   . Отсюда следует, что кривая,x (t )  x  (t )   ипринадлежащая  -окрестности первого порядка, принадлежит и  -окрестности нулевогопорядка (см. рис. 3).Аналогично вводится норма в пространстве C m ([t 0 ,T ]) функций, имеющих непрерывные производные до порядка m включительно, т.е.xmmmaxp  0 t [t0 ,T ]x ( p ) (t ) .xxTx (t )x * (t )x00t0TtРис. 4Кривые x t  , на которых сравниваются значения функционала, называются допустимыми кривыми или кривыми сравнения.Обозначим через x  t  допустимую кривую, на которой функционал достигаетэкстремума, а через x t  произвольную допустимую кривую.

Разность x t   x  t   x t называется вариацией кривой x  t  .Вариация x t  есть функция t и принадлежит тому же функциональному пространству, что и функция x t  . Используя вариацию x t  , можно представить любуюдопустимую кривую x t  в видеx t   x  t   x t  .Однако нами используется и другая запись4(3)x t   x  t    x t  .(4)В выражении (4) x t  – фиксированная функция, а  – числовой параметр.

Очевидно, что при   0 справедливо x t   x  t  .Назовем приращением функционала I разностьI  I [ x (t )]  I [ x * (t )] .(5)Линейным функционалом называется функционал I x t  , удовлетворяющий следующим условиям: I  c  x t    c  I x t  , I x1 t   x 2 t   I x1 t   I x 2 t , где c – произвольная постоянная.Дадим определение первой вариации функционала с использованием (3).Если приращение функционала I  I x * (t )  x (t )  I x * (t ) можно представитьв видеI  I x * t  , x   x * t  , x  max x ,  где I x * t  , x – линейный по отношению к x (t ) функционал, max x – максималь-ное значение x и  x * t  , x  0 при max x  0 , то главная, линейная по отноше-нию к x часть приращения функционала, т.е.

I x * t  , x , называется первой вариацией функционала.Можно дать другое определение первой вариации, используя (4).Так как I [ x  t    x (t )] есть функция () числового параметра  , то, разложив эту функцию в ряд Тейлора в окрестности точки   0 по степеням  , найдем2 2I  I [ x t    x (t )]  I [ x (t )]   I  I  ,(6)2гдеd ()d I [ x  t    x (t )]I (7) 0 0ddи называется первой вариацией функционала,2I d 2 I [ x  t    x (t )]d 2 0и называется второй вариацией функционала и т.д.З а м е ч а н и я.1.

Мы привели два определения вариации функционала. Если существует вариацияв смысле главной линейной части приращения функционала, то существует вариация всмысле производной по параметру и эти определения эквивалентны.2. В литературе вместо I [ x (t )] часто используется обозначение I [ x ()] , чтобы явноразличить элемент x () соответствующего функционального пространства и значениефункции x (t ) при фиксированном t .3.

Каждую функцию, принадлежащую классу M , можно рассматривать как точкунекоторого пространства.5Говорят, что функционал I [ x (t )] , определенный на классе M кривых x t  , достигает на кривой x  t  глобального минимума (максимума), еслиI [ x * (t )]  I [ x (t )] I [x (t )]  I [x(t )] *x t   M .Пример 3. Найти глобальные максимум и минимум функционала из примера 2. Очевидно, на заданном классе M допустимых кривых функции x 2 t   t 2 соответствует наименьшее значение функционала (ей соответствует наименьшая площадь подкривой на рис.

2), а кривой x 3 t   наибольшее значение (ей соответствует наибольшаяплощадь под кривой на рис. 2). Понятие локального минимума (максимума) связано с исследованием поведенияфункционала на близких кривых. Различают сильный и слабый локальный минимум(максимум).Говорят, что функционал I x t  достигает на кривой x  t  сильного минимума(максимума), если I [ x * (t )]  I [ x (t )]порядка кривой x t  . I [x (t )]  I [x(t )] *в  -окрестности нулевогоГоворят, что функционал I x t  достигает на кривой x  t  слабого минимума(максимума), если I [ x * (t )]  I [ x (t )]рядка кривой x  t  . I [x (t )]  I [x(t )]  в  -окрестности первого по*Локальные минимумы и максимумы функционала называются его локальнымиэкстремумами.З а м е ч а н и е.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций