13 Методы численного дифференцирования и интегрирования (1013419)
Текст из файла
Лекция 136. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть на множестве [a, b] заданы:а) сетка n x i , i 0, n , определяемая n 1 точкой x 0 , x1 ,..., x n , а на сетке задана сеточная функция yi f ( x i ), i 0, n :y 0 f ( x 0 ), y1 f ( x1 ),..., y n f ( x n ) ,где x i a, b x 0 , x n - в общем случае неравноотстоящие узлы (неравномерная сетка),определяемые шагами hi 1 x i 1 x i ( hi 1 var ), i 0, n 1 .
При hi 1 h const узлыявляются равноотстоящими (равномерная сетка). Как и ранее будем использовать обозначение f i f ( x i ) ;б) точки x j сетки n , в которых требуется найти значения производных;в) желаемый порядок t точности (аппроксимации) относительно h .Требуется с заданным порядком точности (аппроксимации) вычислить значенияв точках x сетки, где p – порядок производной.производных fˆ ( p ) ( x )x xjjИначе требуется получить аппроксимационный оператор fˆ ( p ) ( x j ) , удовлетворяющий условию f ( p ) ( x j ) fˆ ( p ) ( x j ) C h t , где C const , не зависящая от величинышага h .Заметим, что символом «^» здесь и далее обозначаются операторы дифференцирования.З а м е ч а н и я.1.
Если задана точка x* [a, b] , не совпадающая ни с одним из узлов сетки, то решается либо задача интерполяции заданной сеточной функции, либо задача сглаживанияметодом наименьших квадратов. Полученная функция дифференцируется необходимоечисло раз и затем вычисляется значение производной в точке x * .2. Процедура численного дифференцирования является некорректной, посколькупогрешность округления, возникающая при вычислении разностных отношений, как правило, намного превосходит погрешность в задании значений функции и может даже неограниченно возрастать при стремлении шага сетки к нулю, однако методы численногодифференцирования широко применяются на практике.МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯА.
ПРИМЕНЕНИЕ ДВУХТОЧЕЧНОГО ШАБЛОНАВыберем двухточечный шаблон Ш 2,i x i , x i 1 на неравномерной сетке n .119Формулы для вычисления первой производной имеют вид:- в левой точке шаблонаf fifˆi,v i 1hi 1 hi 1M 2,i ; 2- в правой точке шаблонаf fifˆi1,v i 1hi 1 hi 1M 2,i , 2где hi 1 x i 1 x i , M 2,i max f ( x) .xШ 2,iЗ а м е ч а н и я.1. С помощью разложения функций по формуле Тейлора можно показать, чтоf i f i 1 f ihi 1hi 12f ,где ( x i , x i 1 ) .Таккаксправедливаоценкаhi 1 M 2,ihi 1 h, то отсюда следует формула в левойf i 1 max f ( x ) 22 [ xi , xi 1 ]2точке шаблона.
В скобках справа от аппроксимационных операторов здесь и далее указываются правые части оценок их погрешностей.2. Формулы справедливы и для равномерной, и для неравномерной сеток. Они аппроксимируют производную с первым порядком аппроксимации.2. Нижние индексы v и c , относящиеся к аппроксимационным операторам, указывают на тип шаблона – нерегулярный ( hi 1 var ), характеризующий неравномернуюсетку, и регулярный ( hi 1 const )), характеризующий равномерную сетку.4. Далее в тексте оценочная константа M p ,i max fxШ p ,i( p) xдля краткости будет,как правило, использоваться без дополнительного ее описания.
В нижнем индексе этойконстанты всюду указывается p – порядок производной.Б. ПРИМЕНЕНИЕ ТРЕХТОЧЕЧНОГО ШАБЛОНАШ 3,iНа равномерной сетке n выбираем трехточечный (двухшаговый) шаблон x i 1 , x i , x i 1 , характеризующийся шагом h const .Формулы для подсчета первой производной:- в левой крайней точке1 3 f i 1 4 f i f i 1 fˆi1,c 2h120 h2M 3,i ; 3- в центральной точке h2M 3,i ; 61fˆi,c f i 1 f i 1 2h- в правой крайней точке1 f i 1 4 f i 3 f i 1 fˆi1,c 2hгде M 3,i max f x . h2M 3,i , 3x Ш3,iФормула для подсчета второй производной имеет вид:1fˆi,c 2 f i 1 2 f i f i 1 h h2M 4,i . 12Пример 1. Дана сеточная функция (табл.
1), являющаяся сеточным представлени1ем формульной функции y x .xixifi011,00000011,20,8333333321,40,714285731,60,6250000Таблица 1451,82,00,55555550,500000Заданы также порядок t 2 относительно шага h , который необходимо обеспечить при решении задачи, и точка x j 1,4 .Требуется вычислить значение первой производной f 1,4 и второй производнойf 1,4 с помощью различных шаблонов и соответствующих формул. Воспользуемся вышеприведенной методикой.1. Так как шаг задания сеточной функции постоянный h xi 1 xi 0,2 , точкаx j 1,4 находится внутри сетки n , то для вычисления производной в этой точке выбирается формула, имеющая второй порядок аппроксимации относительно шага h .
Приэтом центральная точка шаблона совпадает с точкой x j 1,4 .2. Выберем трехточечный шаблон x 3,i xi 1, xi , xi 1 (1,2; 1,4; 1,6) , в которомxi 1, 4 ( i 2 ); x i 1 1, 2 ( i 1 1) ; x i 1 1, 6 ( i 1 3) . В данном шаблоне центральная точка xi 1, 4 , что соответствует центральному типу аппроксимационной формулы.3. Подсчитаем искомое значение производной по формуле:f f i 1 0,6250000 0,8333333.fˆi,c i 12h2 0, 2Для вычисления первой производной можно было использовать и другие формулы.При выборе шаблона Ш 3,i x i 1 , x i , x i 1 (1, 4; 1, 6; 1,8) имеем1211 3 fi 1 4 f i fi 1 1 3 f (1,4) 4 f (1,6) f (1,8)f (1,4) fˆi1,c 2h2h1 3 0,7142857 4 0,625 0,5555 0,496017.2 0,2Фактическая абсолютная погрешность составляет 0,496017 0,510204 0,0142 ,относительная погрешность равна 2,78%.Если выбрать шаблон Ш 3,i x i 1 , x i , x i 1 (1; 1, 2; 1, 4) , то получаем1 f i 1 4 f i 3 f i 1 1 f (1) 4 f (1,2) 3 f (1,4) f (1,4) fˆi1,c 2h2 0,211,0 4 0,83333 3 0,7142857 0,476187.0,4Фактическая абсолютная погрешность равна 0,476187 0,510204 0,03401 , относительная погрешность составляет 6,66%.Для вычисления второй производной можно взять формулуна шаблонеШ 3,i x i 1 , x i , x i 1 (1, 2; 1, 4; 1, 6) :1 f i 1 2 f i f i 1 1 2 f (1,2) 2 f (1,4) f (1,6) fˆi,c 2h0,210,8333 2 0,7142857 0,625 0,743965.0,04Точное значение f (1,4) 2 0,7288629 .
Фактическая абсолютная погреш1,43ность равна 0,0151, относительная погрешность 2,07%. В. ПРИМЕНЕНИЕ ЧЕТЫРЕХТОЧЕЧНОГО ШАБЛОНАНа равномерной сетке n выбираем четырехточечный (трехшаговый) шаблонШ 4,i xi 2 , x i 1 , xi , x i 1 с шагом h .Формулы для вычисления первой производной с третьим порядком аппроксимацииимеют вид:1 11 fi 2 18 f i 1 9 f i 2 f i 1 fˆi 2,c 6h1 2 f i 2 3 fi 1 6 fi f i 1 fˆi1,c 6h1 f i 2 6 f i 1 3 fi 2 fi 1 fˆi,c 6h1 2 fi 2 9 fi 1 18 fi 11 fi 1 fˆi1,c 6h122 h3 M 4,i , 43h M 4,i , 12 h3 M 4,i , 12 h3 M 4,i . 4Формулы для вычисления вторых производных со вторым порядком аппроксимации имеют вид: 11h 2M 4,i , 121fˆi 2,c 2 2 f i 2 5 f i 1 4 f i f i 1 h h2M 4,i , 12 h2M 4,i , 121fˆi1,c 2 f i 2 2 f i 1 f i h1fˆi,c 2 f i 1 2 f i f i 1 h 11h 2M 4,i . 121fˆi 1,c 2 f i 2 4 f i 1 5 f i 2 f i 1 hГ.
ПРИМЕНЕНИЕ ПЯТИТОЧЕЧНОГО ШАБЛОНАНа равномерной сетке n выбираем пятиточечный (четырехшаговый) шаблонШ 5,i x i 2 , x i 1 , xi , x i 1 , x i 2 с шагом h .Формулы для вычисления первых производных с четвертым порядком имеют вид: 4 h M 5,i , 51 25 f i 2 48 f i 1 36 f i 16 f i 1 3 f i 2 fˆi 2,c 12h1 3 fi 2 10 f i 1 18 fi 6 f i 1 fi 2 fˆi1,c 12h h4M 5,i , 201 f i 2 8 fi 1 8 fi 1 f i 2 fˆi,c 12h h4M 5,i , 301 f i 2 6 f i 1 18 fi 10 f i 1 3 f i 2 fˆi1,c 12h h4M 5,i , 2013 fi 2 16 f i 1 36 fi 48 fi 1 25 fi 2 fˆi 2,c 12h h4M 5,i . 5Формулы для вычисления вторых производных с третьим порядком имеют вид:fˆi 2,c fˆi1,c 112h 2112h 235 fi 2 104 fi 1 114 fi11 fi 2 20 fi 1 6 fi123 56 f i 1 11 f i 2 , 4 f i 1 f i 2 ,fˆi,c 112h 2fˆi 1,c fˆi 2,c 112h 2112h 2f i 2 16 f i 1 30 f i 16 f i 1 f i 2 ,f i 2 4 f i 1 6 f i 20 f i 1 11 f i 2 ,11 fi 2 56 fi 1 114 fi 104 f i 1 35 f i 2 .Формулы для вычисления третьих производных в точке x i имеют вид:1fˆi,c 3 f i 2 3 f i 1 3 f i f i 1 ,h1fˆi,c 3 f i 1 3 f i 3 f i 1 f i 2 ,h1fˆi f i 2 2 f i 1 2 f i 1 f i 2 .,c 2h 3Первые две формулы аппроксимируют третьи производные с первым порядком,а третья # со вторым.7.
МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯПОСТАНОВКА ЗАДАЧИЕсли функция f ( x) непрерывна на отрезке [a, b] и известна ее первообразнаяF ( x) , то определенный интеграл от этой функции может быть вычислен по формулеНьютона–Лейбницаba f ( x)dx F (b) F (a) ,где F ( x) f ( x) .Однако во многих случаях возникают большие трудности, связанные с нахождением первообразной, или эта задача не может быть решена элементарными способами. На2пример, в элементарных функциях не выражается интегралdx ln x .1Кроме того, в вычислительной практике часто требуется находить значения определенных интегралов от сеточных функций, заданных в общем случае на неравномернойсетке n {x 0 , x1 ,..., x n }, xi 1 xi hi 1 , i 0, n 1, hi 1 xi 1 xi .В связи с этим в численном анализе имеется специальный математический аппаратчисленного интегрирования, отличный от соответствующего аппарата математическогоанализа.Пусть на отрезке [a, b] на равномерной сетке n ( hi 1 h const ) или на неравномерной сетке n {x 0 , x1 ,..., x n } ( hi 1 x i 1 x i var ) заданы:124а) сеточная функция y i f ( xi ), i 0, n , своими значениями f i f ( xi ) или сеточноепредставление формульной функции y f ( x) ;б) желаемый порядок t точности (аппроксимации) относительно величины шагаh.Требуется с заданным порядком точности вычислить значение интегралаIˆab I ab b f ( x) dx .aИначе требуется получить аппроксимационный оператор интегрирования Iˆab ,удовлетворяющий условию Iˆb I b C h t , где C const , не зависящая от h .aaОтметим, что символом «^» здесь и далее обозначаются операторы интегрирования.Одним из классических методов вычисления определенных интегралов являетсяприменение функциональных квадратурных формулI abbf ( x)dx N q j f ( x j ) Iˆab ,j 1aгде q j – весовые коэффициенты; x j , j 1, N ,– некоторые точки отрезка [a, b] ; N – числоточек (узлов квадратурной формулы).Квадратурная формула называется точной для многочленов степени m , если призамене функции f ( x) на произвольный алгебраический многочлен степени не выше mприближенное равенство становится точным.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.