17 Вариационные задачи поиска условного экстремума (1013426)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 17(3).3. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА3.1. ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМС КОНЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассмотрим множество M допустимых вектор-функций x(t )  (x1(t ),...,xn (t ))T ,удовлетворяющих следующим условиям:а) функции x i (t ) определены и непрерывно дифференцируемы на отрезке [t 0 ,T ] ,где t 0 ,T заданы, т.е. x i (t )  C 1 ([t 0 ,T ]), i  1,..., n ;б) функции x i (t ) удовлетворяют граничным условиям:x i (t 0 )  x i 0 , x i (T )  x iT ,i  1,..., n ,(1)где x i 0 , x iT , i  1,..., n , заданы, т.е.

каждая из кривых x i (t ) проходит через две закрепленные граничные точки;в) функции x i (t ) при всех t  [t 0 ,T ] удовлетворяют конечным связям: j (t , x1 (t ),..., x n (t ))  0,j  1,..., m,m  n,(2)где функции  j (t , x1 ,..., x n ), j  1,..., m, непрерывно дифференцируемы по всем переменным.Предполагается, что уравнения (2) независимы, т.е.  1  x1rang  ...  m  x1 1 xn...... m... xn...  m,а также связи (2) согласованы с граничными условиями (1).Последнее означает, что граничные точки должны удовлетворять уравнениям (2)при t  t 0 и t  T .На множестве M задан функционалTI [ x1 (t ),..., x n (t )] F (t , x1 (t ),..., x n (t ), x1 (t ),..., x n (t )) dt ,(3)t01где функция F (t , x1 ,..., x n , x1 ,..., x n ) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем переменным.Среди допустимых вектор-функций x (t ) , принадлежащих множеству M , требуется найти вектор-функцию x * (t )  ( x1* (t ),..., x n * (t ))T , на которой функционал (3) достигает экстремума, т.е.*T*I [ x1 (t ),..., x n (t )]  extrx (t ) MF (t , x1 (t ),..., x n (t ), x1 (t ),..., x n (t )) dt .(*)t0Поставленная задача относится к задачам поиска условного экстремума функционалов, так как кроме граничных условий на искомые функции наложены дополнительныеусловия, в данном случае конечные.

В третьей главе рассматриваются еще задачи с интегральными и дифференциальными условиями (связями).НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМАТеорема 1 (необходимые условия экстремума в задаче (*)).Если на вектор-функциии x * (t )  ( x1* (t ),..., x n * (t ))T , где x i * (t )  C 1 ([t 0 ,T ]) , удовлетворяющей граничным условиям (1) и конечным связям (2), функционал (3) достигаетэкстремума, то функции x1* (t ),..., x n * (t ) удовлетворяют системе уравнений ЭйлераdF x*i  F x*  0 , i  1,..., n ,dt iсоставленной для функционалаI * [ x1 (t ),..., x n (t )] TF * (t , x1 (t ),..., x n (t ), x1 (t ),..., x n (t )) dt t0Tt0F (t , x1 (t ),..., x n (t ), x1 (t ),..., x n (t )) Здесь F * (t , x, x  )  F (t , x, x  ) mmj 1  j (t )   j (t, x1 (t ),..., x n (t )) dt .  j (t )   j (t, x )называется функцией Лагранжа,j 1а функции  j (t ), j  1,..., m , – множителями Лагранжа.В общем случае используется обобщенная функция ЛагранжаF * (t , x, x  )   0 (t )  F (t , x, x  ) m  j (t )   j (t, x ) .j 1При этом рассматриваются два случая:  0 (t )  0 и  0 (t ) $ 0 .

Такая методика аналогичнаприменяемой при условной минимизации функций.2АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ЭКСТРЕМУМАВ ЗАДАЧЕ (*)1. Составить функцию ЛагранжаF * (t , x, x  )  F (t , x, x  ) m  j (t )   j (t, x ) ,j 1где функции  j (t ), j  1,..., m , – множители Лагранжа.2. Записать систему уравнений Эйлера и условия связи:F x*i d *F   0,dt xii  1,..., n , j (t , x1 (t ),..., x n (t ))  0,j  1,..., m .3.

Найти общее решение системыx i (t )  x i (t ,C1 ,...,C 2n ),i  1,..., n ,и выражения для множителей Лагранжа  1(t ),...,  m (t ) .4. Определить постоянные C1 ,...,C 2n из граничных условий:x i (t 0 ,C1 ,...,C 2n )  x i 0 ,i  1,..., n ,x i (T ,C1 ,...,C 2n )  x iT ,i  1,..., n ,и выписать выражение для экстремали x * (t )  ( x1* (t ),..., x n * (t ))T .Пример. Найти экстремаль функционалаI [ x1 (t ), x 2 (t )] 2 [ x12(t )  x 2 2 (t )  x1 2 (t )  x 2 2 (t ) ] dt ,0удовлетворяющую граничным условиям:x1 (0)  1, x 2 (0)  1, x1    1, x 2    122и уравнению связи x1  x 2  2 cos t  0 . 1.

Составим функцию Лагранжа. Так какF  x1 2  x 2 2  x1 2  x 2 2 ,1 (t , x )  x1  x 2  2 cos t ,m  1,то3F *  F  1 (t )  1 (t , x )  x1 2  x 2 2  x1 2  x 2 2  1 (t )  [ x1  x 2  2 cos t ] .2. Запишем систему уравнений Эйлера и уравнение связи. Так какF x*1  2 x1  1 (t ),F x*  2 x1 ,d *F   2 x1 ,dt x1F x*2  2 x 2  1 (t ),F x*  2 x 2 ,d *F   2 x 2 ,dt x212то справедливы следующие соотношения:F x*1 d *F   2 x1  1 (t )  2 x1  0 ,dt x1F x*2 d *F   2 x 2  1 (t )  2 x 2  0 ,dt x2x1  x 2  2 cos t  0 .3. Найдем общее решение системы.Складывая первые два уравнения системы, получаем2( x1  x 2)  2( x1  x 2 )  0или, вводя обозначение x1  x 2  y, имеемy   y  0 .Так как характеристическое уравнение 2  1  0 имеет корни 1,2   i , тоy (t )  C1 cos t  C 2 sin t  x1  x 2 .С другой стороны, из третьего уравнения системы следует 2 cos t  x1  x 2 .

Скла2 x1  C1 cos t  C 2 sin t  2 cos t илидывая два последних уравнения, получаемCCx1 (t )  1 cos t  2 sin t  cos t .22Тогдаx 2 (t )  x1 (t )  2 cos t ,1 (t )  2 x 2 (t )  2 x 2(t ) .4. Определим произвольные постоянные из граничных условий:4x1 (0) C121  1, Cx1    2  1 .22Отсюда C1  0, C 2  2 и x1* (t )  sin t  cos t , x 2 * (t )  x1* (t )  2 cos t  sin t  cos t ,1 (t )  2 sin t  2 cos t  2 sin t  2 cos t  0 .Заметим, что граничные условия и уравнения связи в задаче, очевидно, согласованы, так как x1 (0)  x 2 (0)  2 cos 0  0, x1    x 2    2 cos  0 .222Этот факт следует проверять перед решением задачи.Таким образом, в задаче найдена экстремаль x * (t )  ( x1* (t ), x 2 * (t ))T :x1* (t )  sin t  cos t ,x 2 * (t )  sin t  cos t .3.2.

ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ СВЯЗЯМИПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассмотрим множество M допустимых вектор-функций x (t )   (x1 (t ),...,x n (t ))T ,удовлетворяющих следующим условиям:а) функции x i (t ) определены и непрерывно дифференцируемы на отрезке [t 0 ,T ] ,где t 0 ,T заданы, т.е. x i (t )  C 1 ([t 0 ,T ]), i  1,..., n;б) функции x i (t ) удовлетворяют граничным условиямx i (t 0 )  x i 0 ,x i (T )  x iT , i  1,..., n ,(1)где x i 0 , x iT , i  1,..., n , заданы, т.е. каждая из кривых проходит через две закрепленныеграничные точки;в) функции x i (t ) при всех t  [t 0 ,T ] удовлетворяют дифференциальным связям j (t ,x1 (t ),..., x n (t ),x1 (t ),..., x n (t ))  0,j  1,..., m,m  n,(2)где функции  j (t , x1 ,...,x n ,x1 ,...,x n ), j  1,..., m , непрерывно дифференцируемы по всемпеременным.Предполагается, что уравнения (2) независимы, т.е.5 1   1... x n   x1rang  :::   m.  m m ...  x1 x n На множестве M задан функционалTI [ x1 (t ),...,x n (t )] F (t ,x1 (t ),...,x n (t ),x1 (t ),...,x n (t )) dt ,(3)t0где функция F (t ,x1 ,...,x n ,x1 ,...,x n ) имеет непрерывные частные производные до второгопорядка включительно по всем переменным.Среди допустимых вектор-функций x (t ) , принадлежащих множеству M , требуется найти вектор-функцию x * (t )  ( x1* (t ),..., x n * (t ))T , на которой функционал (3) достигает экстремума, т.е.*T*I [ x1 (t ),...,x n (t )]  extrx (t ) MF (t ,x1 (t ),...,x n (t ),x1 (t ),...,x n (t )) dt ,(**)t0Поставленная задача называется задачей Лагранжа.НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМАТеорема 2 (необходимые условия экстремума в задаче (**)).Если на вектор-функции x * (t )  ( x1* (t ),..., x n * (t ))T , где x i * (t )  C 1 ([t 0 ,T ]) , удовлетворяющей граничным условиям (1) и дифференциальным связям (2), функционал (3)достигает экстремума, то функции x1* (t ),..., x n * (t ) удовлетворяют системе уравненийЭйлераF x*i d *F   0,dt xii  1,..., n ,составленной для функционала*TI [ x1 (t ),..., x n (t )] F * (t ,x1 (t ),...,x n (t ),x1 (t ),...,x n (t )) dt t0T[ F (t ,x1 (t ),...,x n (t ),x1 (t ),...,x n (t )) t0Здесь F * (t , x, x  )  F (t , x, x  ) m  j (t )   j (t,x1 (t ),...,x n (t ),x1 (t ),...,x n (t )) ] dt .j 1m  j (t )   j (t, x, x  )называется функцией Лагранжа, аj 1 j (t ), j  1,..., m, – множителями Лагранжа.В общем случае применяется обобщенная функция Лагранжа.6АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ЭКСТРЕМУМАВ ЗАДАЧЕ (**)1.

Составить функцию ЛагранжаF * (t , x, x  )  F (t , x, x  ) m  j (t )   j (t, x, x  ),j 1где  j (t ), j  1,..., m , – множители Лагранжа.2. Записать систему уравнений Эйлера и уравнения связи:F x*i d *F   0,dt xii  1,..., n , j (t , x1 (t ),..., x n (t ),x1 (t ),..., x n (t ))  0, j  1,..., m .3. Найти общее решение системы x i  x i (t ,C1 ,...,C 2n ), i  1,..., n и выражения длямножителей Лагранжа 1 (t ),...,  m (t ).4. Определить постоянные C1 ,...,C 2n из граничных условий:x i (t 0 ,C1 ,...,C 2n )  x i 0 , i  1,..., n,x i (T ,C1 ,...,C 2n )  x iT , i  1,..., n,и выписать выражение для экстремали x * (t )  ( x1* (t ),..., x n * (t ))T .Пример. Найти экстремаль функционала1I [ x1 (t ), x 2 (t )]  [ x12(t )  x 2 2 (t ) ] dt ,0удовлетворяющую граничным условиям:x1 (0)  2, x 2 (0)  0, x1 (1)  2 ch1, x 2 (1)  2 sh1и дифференциальной связи x1  x 2  0 . 1.

Составим функцию Лагранжа. Так как1 (t , x, x  )  x1  x 2 ,F (t , x, x  )  x1 2  x 2 2 ,m  1,тоF * (t , x, x  )  x1 2  x 2 2  1 (t )  [ x1  x 2 ] .2. Запишем систему уравнений Эйлера и уравнение связи. Так какF x*1  0,F x*  2 x1  1 (t ),1F x*2   1 (t ),F x*  2 x 2 ,2d *F   2 x1  1 (t ) ,dt x1d *F   2 x 2 ,dt x27тоF x*1 d *F    2 x1  1 (t )  0 ,dt x1F x*2 d *F    1 (t )  2 x 2  0 ,dt x2x1  x 2  0 .3.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций