Главная » Просмотр файлов » 17 Вариационные задачи поиска условного экстремума

17 Вариационные задачи поиска условного экстремума (1013426)

Файл №1013426 17 Вариационные задачи поиска условного экстремума (Лекции по теории оптимизации и численным методам)17 Вариационные задачи поиска условного экстремума (1013426)2017-06-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 17(3).3. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА3.1. ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМС КОНЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассмотрим множество M допустимых вектор-функций x(t )  (x1(t ),...,xn (t ))T ,удовлетворяющих следующим условиям:а) функции x i (t ) определены и непрерывно дифференцируемы на отрезке [t 0 ,T ] ,где t 0 ,T заданы, т.е. x i (t )  C 1 ([t 0 ,T ]), i  1,..., n ;б) функции x i (t ) удовлетворяют граничным условиям:x i (t 0 )  x i 0 , x i (T )  x iT ,i  1,..., n ,(1)где x i 0 , x iT , i  1,..., n , заданы, т.е.

каждая из кривых x i (t ) проходит через две закрепленные граничные точки;в) функции x i (t ) при всех t  [t 0 ,T ] удовлетворяют конечным связям: j (t , x1 (t ),..., x n (t ))  0,j  1,..., m,m  n,(2)где функции  j (t , x1 ,..., x n ), j  1,..., m, непрерывно дифференцируемы по всем переменным.Предполагается, что уравнения (2) независимы, т.е.  1  x1rang  ...  m  x1 1 xn...... m... xn...  m,а также связи (2) согласованы с граничными условиями (1).Последнее означает, что граничные точки должны удовлетворять уравнениям (2)при t  t 0 и t  T .На множестве M задан функционалTI [ x1 (t ),..., x n (t )] F (t , x1 (t ),..., x n (t ), x1 (t ),..., x n (t )) dt ,(3)t01где функция F (t , x1 ,..., x n , x1 ,..., x n ) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем переменным.Среди допустимых вектор-функций x (t ) , принадлежащих множеству M , требуется найти вектор-функцию x * (t )  ( x1* (t ),..., x n * (t ))T , на которой функционал (3) достигает экстремума, т.е.*T*I [ x1 (t ),..., x n (t )]  extrx (t ) MF (t , x1 (t ),..., x n (t ), x1 (t ),..., x n (t )) dt .(*)t0Поставленная задача относится к задачам поиска условного экстремума функционалов, так как кроме граничных условий на искомые функции наложены дополнительныеусловия, в данном случае конечные.

В третьей главе рассматриваются еще задачи с интегральными и дифференциальными условиями (связями).НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМАТеорема 1 (необходимые условия экстремума в задаче (*)).Если на вектор-функциии x * (t )  ( x1* (t ),..., x n * (t ))T , где x i * (t )  C 1 ([t 0 ,T ]) , удовлетворяющей граничным условиям (1) и конечным связям (2), функционал (3) достигаетэкстремума, то функции x1* (t ),..., x n * (t ) удовлетворяют системе уравнений ЭйлераdF x*i  F x*  0 , i  1,..., n ,dt iсоставленной для функционалаI * [ x1 (t ),..., x n (t )] TF * (t , x1 (t ),..., x n (t ), x1 (t ),..., x n (t )) dt t0Tt0F (t , x1 (t ),..., x n (t ), x1 (t ),..., x n (t )) Здесь F * (t , x, x  )  F (t , x, x  ) mmj 1  j (t )   j (t, x1 (t ),..., x n (t )) dt .  j (t )   j (t, x )называется функцией Лагранжа,j 1а функции  j (t ), j  1,..., m , – множителями Лагранжа.В общем случае используется обобщенная функция ЛагранжаF * (t , x, x  )   0 (t )  F (t , x, x  ) m  j (t )   j (t, x ) .j 1При этом рассматриваются два случая:  0 (t )  0 и  0 (t ) $ 0 .

Такая методика аналогичнаприменяемой при условной минимизации функций.2АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ЭКСТРЕМУМАВ ЗАДАЧЕ (*)1. Составить функцию ЛагранжаF * (t , x, x  )  F (t , x, x  ) m  j (t )   j (t, x ) ,j 1где функции  j (t ), j  1,..., m , – множители Лагранжа.2. Записать систему уравнений Эйлера и условия связи:F x*i d *F   0,dt xii  1,..., n , j (t , x1 (t ),..., x n (t ))  0,j  1,..., m .3.

Найти общее решение системыx i (t )  x i (t ,C1 ,...,C 2n ),i  1,..., n ,и выражения для множителей Лагранжа  1(t ),...,  m (t ) .4. Определить постоянные C1 ,...,C 2n из граничных условий:x i (t 0 ,C1 ,...,C 2n )  x i 0 ,i  1,..., n ,x i (T ,C1 ,...,C 2n )  x iT ,i  1,..., n ,и выписать выражение для экстремали x * (t )  ( x1* (t ),..., x n * (t ))T .Пример. Найти экстремаль функционалаI [ x1 (t ), x 2 (t )] 2 [ x12(t )  x 2 2 (t )  x1 2 (t )  x 2 2 (t ) ] dt ,0удовлетворяющую граничным условиям:x1 (0)  1, x 2 (0)  1, x1    1, x 2    122и уравнению связи x1  x 2  2 cos t  0 . 1.

Составим функцию Лагранжа. Так какF  x1 2  x 2 2  x1 2  x 2 2 ,1 (t , x )  x1  x 2  2 cos t ,m  1,то3F *  F  1 (t )  1 (t , x )  x1 2  x 2 2  x1 2  x 2 2  1 (t )  [ x1  x 2  2 cos t ] .2. Запишем систему уравнений Эйлера и уравнение связи. Так какF x*1  2 x1  1 (t ),F x*  2 x1 ,d *F   2 x1 ,dt x1F x*2  2 x 2  1 (t ),F x*  2 x 2 ,d *F   2 x 2 ,dt x212то справедливы следующие соотношения:F x*1 d *F   2 x1  1 (t )  2 x1  0 ,dt x1F x*2 d *F   2 x 2  1 (t )  2 x 2  0 ,dt x2x1  x 2  2 cos t  0 .3. Найдем общее решение системы.Складывая первые два уравнения системы, получаем2( x1  x 2)  2( x1  x 2 )  0или, вводя обозначение x1  x 2  y, имеемy   y  0 .Так как характеристическое уравнение 2  1  0 имеет корни 1,2   i , тоy (t )  C1 cos t  C 2 sin t  x1  x 2 .С другой стороны, из третьего уравнения системы следует 2 cos t  x1  x 2 .

Скла2 x1  C1 cos t  C 2 sin t  2 cos t илидывая два последних уравнения, получаемCCx1 (t )  1 cos t  2 sin t  cos t .22Тогдаx 2 (t )  x1 (t )  2 cos t ,1 (t )  2 x 2 (t )  2 x 2(t ) .4. Определим произвольные постоянные из граничных условий:4x1 (0) C121  1, Cx1    2  1 .22Отсюда C1  0, C 2  2 и x1* (t )  sin t  cos t , x 2 * (t )  x1* (t )  2 cos t  sin t  cos t ,1 (t )  2 sin t  2 cos t  2 sin t  2 cos t  0 .Заметим, что граничные условия и уравнения связи в задаче, очевидно, согласованы, так как x1 (0)  x 2 (0)  2 cos 0  0, x1    x 2    2 cos  0 .222Этот факт следует проверять перед решением задачи.Таким образом, в задаче найдена экстремаль x * (t )  ( x1* (t ), x 2 * (t ))T :x1* (t )  sin t  cos t ,x 2 * (t )  sin t  cos t .3.2.

ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ СВЯЗЯМИПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассмотрим множество M допустимых вектор-функций x (t )   (x1 (t ),...,x n (t ))T ,удовлетворяющих следующим условиям:а) функции x i (t ) определены и непрерывно дифференцируемы на отрезке [t 0 ,T ] ,где t 0 ,T заданы, т.е. x i (t )  C 1 ([t 0 ,T ]), i  1,..., n;б) функции x i (t ) удовлетворяют граничным условиямx i (t 0 )  x i 0 ,x i (T )  x iT , i  1,..., n ,(1)где x i 0 , x iT , i  1,..., n , заданы, т.е. каждая из кривых проходит через две закрепленныеграничные точки;в) функции x i (t ) при всех t  [t 0 ,T ] удовлетворяют дифференциальным связям j (t ,x1 (t ),..., x n (t ),x1 (t ),..., x n (t ))  0,j  1,..., m,m  n,(2)где функции  j (t , x1 ,...,x n ,x1 ,...,x n ), j  1,..., m , непрерывно дифференцируемы по всемпеременным.Предполагается, что уравнения (2) независимы, т.е.5 1   1... x n   x1rang  :::   m.  m m ...  x1 x n На множестве M задан функционалTI [ x1 (t ),...,x n (t )] F (t ,x1 (t ),...,x n (t ),x1 (t ),...,x n (t )) dt ,(3)t0где функция F (t ,x1 ,...,x n ,x1 ,...,x n ) имеет непрерывные частные производные до второгопорядка включительно по всем переменным.Среди допустимых вектор-функций x (t ) , принадлежащих множеству M , требуется найти вектор-функцию x * (t )  ( x1* (t ),..., x n * (t ))T , на которой функционал (3) достигает экстремума, т.е.*T*I [ x1 (t ),...,x n (t )]  extrx (t ) MF (t ,x1 (t ),...,x n (t ),x1 (t ),...,x n (t )) dt ,(**)t0Поставленная задача называется задачей Лагранжа.НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМАТеорема 2 (необходимые условия экстремума в задаче (**)).Если на вектор-функции x * (t )  ( x1* (t ),..., x n * (t ))T , где x i * (t )  C 1 ([t 0 ,T ]) , удовлетворяющей граничным условиям (1) и дифференциальным связям (2), функционал (3)достигает экстремума, то функции x1* (t ),..., x n * (t ) удовлетворяют системе уравненийЭйлераF x*i d *F   0,dt xii  1,..., n ,составленной для функционала*TI [ x1 (t ),..., x n (t )] F * (t ,x1 (t ),...,x n (t ),x1 (t ),...,x n (t )) dt t0T[ F (t ,x1 (t ),...,x n (t ),x1 (t ),...,x n (t )) t0Здесь F * (t , x, x  )  F (t , x, x  ) m  j (t )   j (t,x1 (t ),...,x n (t ),x1 (t ),...,x n (t )) ] dt .j 1m  j (t )   j (t, x, x  )называется функцией Лагранжа, аj 1 j (t ), j  1,..., m, – множителями Лагранжа.В общем случае применяется обобщенная функция Лагранжа.6АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ЭКСТРЕМУМАВ ЗАДАЧЕ (**)1.

Составить функцию ЛагранжаF * (t , x, x  )  F (t , x, x  ) m  j (t )   j (t, x, x  ),j 1где  j (t ), j  1,..., m , – множители Лагранжа.2. Записать систему уравнений Эйлера и уравнения связи:F x*i d *F   0,dt xii  1,..., n , j (t , x1 (t ),..., x n (t ),x1 (t ),..., x n (t ))  0, j  1,..., m .3. Найти общее решение системы x i  x i (t ,C1 ,...,C 2n ), i  1,..., n и выражения длямножителей Лагранжа 1 (t ),...,  m (t ).4. Определить постоянные C1 ,...,C 2n из граничных условий:x i (t 0 ,C1 ,...,C 2n )  x i 0 , i  1,..., n,x i (T ,C1 ,...,C 2n )  x iT , i  1,..., n,и выписать выражение для экстремали x * (t )  ( x1* (t ),..., x n * (t ))T .Пример. Найти экстремаль функционала1I [ x1 (t ), x 2 (t )]  [ x12(t )  x 2 2 (t ) ] dt ,0удовлетворяющую граничным условиям:x1 (0)  2, x 2 (0)  0, x1 (1)  2 ch1, x 2 (1)  2 sh1и дифференциальной связи x1  x 2  0 . 1.

Составим функцию Лагранжа. Так как1 (t , x, x  )  x1  x 2 ,F (t , x, x  )  x1 2  x 2 2 ,m  1,тоF * (t , x, x  )  x1 2  x 2 2  1 (t )  [ x1  x 2 ] .2. Запишем систему уравнений Эйлера и уравнение связи. Так какF x*1  0,F x*  2 x1  1 (t ),1F x*2   1 (t ),F x*  2 x 2 ,2d *F   2 x1  1 (t ) ,dt x1d *F   2 x 2 ,dt x27тоF x*1 d *F    2 x1  1 (t )  0 ,dt x1F x*2 d *F    1 (t )  2 x 2  0 ,dt x2x1  x 2  0 .3.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
260,68 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций

Лекции по теории оптимизации и численным методам
Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6353
Авторов
на СтудИзбе
311
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее