Главная » Просмотр файлов » 17 Вариационные задачи поиска условного экстремума

17 Вариационные задачи поиска условного экстремума (1013426), страница 2

Файл №1013426 17 Вариационные задачи поиска условного экстремума (Лекции по теории оптимизации и численным методам) 2 страница17 Вариационные задачи поиска условного экстремума (1013426) страница 22017-06-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Найдем общее решение системы. Из первых двух уравнений получаем1 (t )   2 x 2,Из третьего уравненияx 2 x 2  0 .1 (t )   2 x 2,x1  x 2 ,2 x1   1 (t )  2 x 2 .x1  x 2 . Тогда2 x1  2 x 2  2 x 2 , или3    (2  1)  0Характеристическоеуравнение1  1,  2  1,  3  0 . Поэтомуx 2 (t )  C1e t  C 2e t  C 3 ,x1 (t ) x 2 (t ) dt  C1e t  C 2e t  C 3t  C 4 ,1 (t )   2 x 2(t ) .4. Определим постоянные C1 ,...,C 4 из граничных условий:x1 (0)  C1  C 2  C 4  2 ,x 2 (0)  C1  C 2  C 3  0 ,x1 (1)  C1e  C 2e 1  C 3  C 4  2 ch1  2 x 2 (1)  C1e  C 2e1e  e 1,2e  e 1 C 3  2 sh1  2 .2Отсюда C1  1, C 2  1, C 3  C 4  0 .В результате получаем экстремаль x * (t )  ( x1* (t ), x 2 * (t ))T :x1* (t )  e t  e t ,x 2 * (t )  e t  e t .При этом 1 (t )   2 x 2(t )   2e t  2e t .8имееткорни3.3.

ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИСВЯЗЯМИ. ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассмотриммножествоMдопустимыхвектор-функцийx (t )  ( x1 (t ),..., x n (t ))T , удовлетворяющих следующим условиям:а) функции x i (t ) определены и непрерывно дифференцируемы на отрезке t 0 ,T  ,где t 0 ,T заданы, т.е. x i (t )  C 1 ( [t 0 ,T ] ) , i  1,..., n ;б) функции x i (t ) удовлетворяют граничным условиямx i (t 0 )  x i 0 , x i (T )  x iT ,i  1,..., n ,(1)где x i 0 , x iT , i  1,..., n , заданы, т.е. каждая из кривых x i (t ) проходит через две закрепленные граничные точки;в) функции x i (t ) удовлетворяют интегральным связямT F j (t, x1(t ),..., xn (t ), x1 (t ),..., xn (t )) dt  L j ,j  1,..., m ,(2)t0где функции F j (t , x1 ,..., x n , x1 ,..., x n ) непрерывно дифференцируемы по всемпере-менным, L j – заданные числа. Количество интегральных связей m может быть меньше,равно или больше n .

Функции x (t ) не являются экстремалями интегралов в (2).На множестве M задан функционалI x1 (t ),..., x n (t ) TF (t , x1 (t ),..., x n (t ), x1 (t ),..., x n (t )) dt ,(3)t0где функция F (t , x1 ,..., x n , x1 ,..., x n ) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем переменным.Среди допустимых вектор-функций x (t ) , принадлежащих множеству M , требуется найти вектор-функцию x  (t )  ( x1 (t ),..., x n (t ))T , на которой функционал (3) достигает экстремума, т.е.Ix1 (t ),..., x n (t )Textrx (t ) MF (t , x1 (t ),..., x n (t ), x1 (t ),..., x n (t )) dt .(***)t09НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМАТеорема 3 (необходимые условия экстремума в задаче (***)).Если на вектор-функции x  (t )  ( x1 (t ),..., x n (t ))T , где x i (t )  C 1 ([t 0 ,T ]) , удовлетворяющей граничным условиям (1) и интегральным связям (2), функционал (3) достигает экстремума, то функции x1 (t ),..., x n (t ) удовлетворяют системе уравнений ЭйлераF xi d F   0, i  1,..., n ,dt xiсоставленной для функционалаI x1 (t ),..., x n (t ) TF  (t , x1 (t ),..., x n (t ), x1 (t ),..., x n (t )) dt t0T[ F (t , x1 (t ),..., x n (t ), x1 (t ),..., x n (t )) t0m  j  F j (t, x1 (t ),..., x n (t ), x1 (t ),..., x n (t ))  dt .j 1З а м е ч а н и я.1.

Интегральные связи (2) не накладывают столь жестких ограничений, как дифференциальные или конечные связи. Например, из условий типа (2), вообще говоря, нельзявыразить некоторые из функций x1 (t ),..., x n (t ) через остальные. Поэтому число интегральных связей не обязательно должно быть меньше n .2. Изопериметрическими задачами в узком смысле называются задачи об отыскании геометрической фигуры максимальной площади при заданном периметре.

В настоящее время к изопериметрическим относят значительно более общий класс задач (3).3. В общем случае применяется обобщенная функция Лагранжа.АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ЭКСТРЕМУМАВ ЗАДАЧЕ (***)1. Составить функцию ЛагранжаF (t , x, x  )  F (t , x, x  ) m  j  F j (t, x, x  ),j 1где  j , j  1,..., m , – множители Лагранжа (постоянные).2. Записать систему уравнений Эйлера и уравнения связи (3.31):F xi Tt010d F   0,dt xii  1,..., n ,F j (t , x1 (t ),..., x n (t ), x1 (t ),..., x n (t )) dt  L j ,j  1,..., m .3. Найти общее решение системы x i  x i (t ,C1 ,...,C 2n ) , i  1,..., n , и выражениядля множителей Лагранжа 1 ,...,  m .4.

Определить постоянные C1 ,...,C 2n из граничных условий:x i (t 0 ,C1 ,...,C 2n )  x i 0 , i  1,..., n ,x i (T ,C1 ,...,C 2n )  x iT , i  1,..., n .Выписать выражение для экстремали x  (t )  ( x1 (t ),..., x n (t ))T .Пример. Найти экстремаль функционалаI x (t ) 1x  2 (t ) dt ,0удовлетворяющую граничным условиям x (0)  1, x (1)  6 и интегральной связи1x (t ) dt  3 .0 1. Составим функцию Лагранжа. Так как F (t , x , x )  x  2 , количество интегральных связей m  1 , F1 (t , x , x )  x , тоF  (t , x, x  )  x  2    x ,где индекс «1» у множителя 1 для упрощения записи здесь и далее в задачах с однойинтегральной связью опущен.2.

Запишем уравнение Эйлера и уравнение связи. Поскольку F x  , F x  2x ,d F   2x , тоdt x1dF x  F x    2 x   0,  x (t ) dt  3 .dt03. Найдем общее решение уравнения и выражение для  . Имеемx (t )  ,210t2x (t )  t  C1 , x (t )  C1t  C 2 ,24 t 2t3t2 C1t  C 2  dt  C1 C 2t122 410 C1 C 2  3.1224. Определим C1 ,C 2 ,  из граничных условий и уравнения связи:x (0)  C 2  1,x (1)  C1  C 2  6,411 C1 C 2  3.122Отсюда 6  C1  C 2  5  C1 ,4C 2  1,5  C1,1235  C13C12 1  3, C1  2,В результате получаем экстремаль x  (t )  3 t 2  2 t  1. 12  12 ..

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
260,68 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Лекции по теории оптимизации и численным методам
Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее