14 Численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Явные методы. Неявные методы (1013421)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 148. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассматривается проблема решения систем обыкновенных дифференциальныхуравнений первого порядка, связывающих независимую переменную x , неизвестныефункции y1 ( x ),..., y n ( x ) и их производные y1 ( x ),..., y n ( x ) .В случае, если уравнения разрешимы относительно производных, систему можнозаписать в нормальной форме Коши:dy1 f1 ( x , y1 ,..., y n ) ,dxdy 2 f 2 ( x , y1 ,..., y n ) ,dx.................................dy n f n ( x , y1 ,..., y n ) ,dxгде f i ( x , y1 ,..., y n ) , i  1, n , – известные функции.Решением системы называется совокупность n функций y1 ( x ),..., y n ( x ) , непрерывных на некотором интервале (a, b ) , такая, что подстановка этих функций в системуобращает все уравнения в тождества.Задача Коши для системы состоит в нахождении решения системы, удовлетворяющего начальным условиям:y1 ( x 0 )  y10 , y 2 ( x 0 )  y 20 ,..., y n ( x 0 )  y n 0 ,где y10 , y 20 ,..., y n 0 – известные числа.В векторной форме задача Коши имеет видY   F ( x ,Y ),Y (x0 )  Y 0 ,где Y  ( y1 ,..., y n )T , F ( x ,Y )  ( f1 ( x ,Y ),..., f n ( x ,Y ))T , Y 0  ( y10 ,..., y n 0 )T .Теорема (о существовании и единственности решения задачи Коши).Пусть выполнены следующие условия:а) функции f i ( x , y1 ,..., y n ) , i  1, n , определены и непрерывны в некоторой замкнутой области D , а также имеют в D ограниченные частные производные по переменным y1 ,..., y n ;б) точка ( x 0 , y10 , y 20 ,..., y n0 ) лежит внутри области D .Тогда решение задачи Коши существует и единственно.134З а м е ч а н и я.1.

Во многих практических приложениях независимая переменная обозначаетсячерез t и имеет смысл времени, поэтому задача Коши называется начальной задачей.2. Чтобы решить задачу Коши для дифференциального уравнения n -го порядка:y (n )  f ( x , y ( x ),..., y (n 1) ( x )) ,y ( x 0 )  y 0 , y ( x 0 )  y 0 ,..., y (n 1) ( x 0 )  y 0(n 1) ,где x 0  (a, b ) , y 0 , y 0 ,..., y 0(n 1) – заданные числа, ее необходимо привести к системе nуравнений первого порядка. Обозначая y1 ( x )  y ( x ), y 2 ( x )  y ( x ),..., y n ( x )  y (n 1) ( x ) ,получаемdy1 y2 ,y1 ( x 0 )  y 0 ,dxdy 2 y3 ,y 2 ( x 0 )  y 0 ,dx..............................................................dy n f ( x , y1 ,..., y n ) , y n ( x 0 )  y 0(n 1) .dx3. Чтобы упростить изложение и в силу того, что численные методы легко обобщаются на системы уравнений, в дальнейшем будем рассматривать решение задачи Коши для уравнения первого порядкаy   f ( x , y ),y ( x 0 )  y 0 , x  (a, b ) .(*)Чтобы записать формулы для решения задачи Коши необходимо заменить функцию y (x ) на вектор-функцию Y (x ) , f ( x , y ) на F ( x ,Y ) , а y 0 – на Y 0 .ПРИНЦИПЫ ФОРМИРОВАНИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВЧисленное решение задачи (*) ищется в узлах сетки  n  x 0 , x1 ,..., x n , гдеhi 1  x i 1  x i , i  0, n  1 , – расстояние между соседними узлами, называемое шагоминтегрирования (параметром сетки).

Если hi 1  h  const , сетка называется равномерной (регулярной), а если hi 1  var – неравномерной (нерегулярной). В случае равномер-ной сетки узлы находятся по формуле x i  x 0  ih, i  0, n .Решение находится в виде последовательности значений yˆ0 , yˆ1 , yˆ2 ,..., yˆn , являющихся приближением значений y 0 , y ( x1 ), y ( x 2 ),..., y ( x n ) точного решения y(x ) в узлахсетки  n (рис. 1).135yŷ iy ( xi 1 )y ( x1 )y ( xi 1 )ŷ i 1y ( xi )y  y(x )ŷ i 1ŷ1ŷ 0y ( xn )y00ŷ nx0x1xi 1xixi 1xnxРис. 1Численные дискретные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющие найти решение только в узлах сетки, делятся на две группы: явные инеявные.Значение ŷi 1 на (i  1) -м шаге может определяться явно:yˆi 1  ( x i  k 1 ,..., x i 1 , x i , yˆi  k 1 ,..., yˆi 1 , yˆi ) ,где (.) – некоторая функция, зависящая от конкретного метода (кроме последней рассчитанной точки ( x i , yˆi ) могут использоваться еще (k  1) предыдущих точек), илинеявно:yˆi 1  ( x i  k 1 ,..., x i 1 , x i , x i 1 , yˆi  k 1 ,..., yˆi 1 , yˆi , yˆi 1 ) ,где искомая величина ŷi 1 входит одновременно и в левую, и в правую часть.Явные и неявные методы делятся также на одношаговые и многошаговые ( k шаговые).

В одношаговых методах для расчета очередной точки ( x i 1 , yˆi 1 ) требуетсяинформация только о последней рассчитанной точке ( x i , yˆi ) . В k -шаговых методах длянахождения точки ( x i 1 , yˆi 1 ) требуется информация о k предыдущих точках.Формулы явных или неявных методов в общем случае представляют собой нелинейные уравнения относительно ŷi 1 и называются разностными схемами.Локальной ошибкой численного метода на (i  1) -м шаге называется величина i 1 (h)  yˆi 1  y ( x i 1 ) ,где y ( x i 1 ) – значение точного решения при x  x i 1 , а ŷi 1 – приближенное решение,получаемое по формулам при условии, что вместо приближенных значенийyˆi , yˆi 1 ,..., yˆi k 1 используются значения, соответствующие точному решению, т.е.y ( x i ), y ( x i 1 ),..., y ( x i k 1 ) .136Глобальной ошибкой называется величина e n (h)  yˆn  y ( x n ) , где ŷ n – значение,получаемое по формулам при i  n  1 .Глобальная ошибка определяется:а) ошибками округления и ошибками арифметических действий, обусловленнымичислом разрядов компьютера и характером выполняемых операций для расчета значенияискомой функции в очередной точке x i 1 ;б) методическими ошибками, определяемыми выбранным алгоритмом;в) переходными ошибками, обусловленными тем, что при расчете значения ŷi 1вместо точных значений y ( x i ), y ( x i 1 ),..., y ( x i  k 1 ) берутся приближенные значенияyˆi , yˆi 1 ,..., yˆi  k 1 , полученные на предыдущих шагах.Локальные ошибки «переносятся» в точку x n и формируют глобальную ошибку.Число p называется порядком (точностью) численного метода, если его глобальная ошибка есть О большое от h p , т.е.

e n (h)  O (h p ) .Пояснение. Пусть R (h) – некоторая функция переменной h (как правило, R (h) –остаточное слагаемое некоторой аппроксимационной формулы) с конечной областью определения DR на полуоси h  0 , причем h  DR . Тогда, если при некотором h  h0справедливо неравенство R (h)  ch k , где c  const , не зависящая от h , k – целое число, h0  0 , то пишут R (h)  O (h k ) и говорят, что R (h) есть «O большое от h k » приh  0.На практике в качестве характеристики точности метода часто используется велиyˆi  y ( x i ) .чина (h)  maxi  0,1,..., nМожно показать, что если локальная ошибка имеет порядок ( p  1) , т.е. i 1 (h)  O (h p 1 ) , то глобальная погрешность имеет на единицу меньший порядок, т.е.e n (h)  O (h p ) .Перейдем теперь к рассмотрению устойчивости численных методов.

Она проверяется на «тестовом примере»y    y,y (0)  1 ,где  – в общем случае комплексная константа. Дифференциальное уравнение являетсяпростейшим линейным уравнением, и для него можно получить значимые критерии устойчивости в явной форме.Метод называется ограниченно устойчивым, если существует такое число hкр.  0 ,что при использовании метода для решения тестового примера, где Re   0 , с шагом0  h  hкр. при i   глобальная ошибка ограничена. Величина hкр. называется критическим шагом.

Если h  hкр. , глобальная ошибка может неограниченно возрастать. В ограниченно устойчивых методах при задании величины шага h необходимо учитыватьзначение критического шага hкр. . Для сложных дифференциальных уравнений и систем137нахождение hкр. является самостоятельной задачей, а свойство ограниченной устойчивости предупреждает вычислителя о возможных проблемах. Поэтому на практике становится актуальной задача конструирования таких методов, которые были бы устойчивыпри любом значении шага, а его величина выбиралась бы только исходя из желаемойточности расчетов (при этом класс решаемых задач может быть ограничен).Метод называется А-устойчивым, если при его применении с любым фиксированным положительным шагом h все численные решения тестового примера с комплекснойконстантой  ( Re   0 ) стремятся к нулю при i   .А.

ЯВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙА1. Явный метод ЭйлераРассмотрим проблему нахождения численного решения задачи Коши:dy f ( x , y ),dxy(x 0 )  y0 .Вводится в общем случае неравномерная сетка n  (x0 , x1,...,xi , xi 1,...,xn ) . Величина шага hi 1  x i 1  x i выражается через узловые точки. Для аппроксимации производной dy   dx x  xiиспользуем dy Ш 2,i  x i , x i 1  :   dx x  xiформулу,yi 1  yihi 1записанную O (hi 1 )надвухточечномшаблоне h i 1M 2,i  . 2Далее заменяется правая часть уравнения ее сеточным представлением, т.е.f ( x , y )  f ( x i , yi ) , а вместо y ( x ) рассматривается сеточная функция yˆi  y ( x i ) , которая определяется только в точках сетки.

Выполняется подстановка аппроксимаций производной и правой части в дифференциальное уравнение:y i 1  y ihi 1 O(hi 1 ) f ( xi , y i ) .После отбрасывания остаточных слагаемых получается явная схема Эйлера первого порядка (явный метод Эйлера):yˆi 1  yˆi  hi 1 f ( x i , yˆi ) ,i  0, n  1 , yˆ0  y 0 ;Порядок точности метода, как правило, определяется порядком аппроксимациисхем, явный метод Эйлера является ограниченно устойчивым с критическим шагом2hкр.

  (см. тестовый пример).138А2. Метод Эйлера-КошиДля аппроксимации производной применяется формула: dy   dx x  xi h2M 3,i  . 6y i  1  y i 1 O (h 2 )2hВыполняется подстановка аппроксимаций производной и правой части в дифференциальное уравнение:y i 1  y i 12h O(h 2 )  f ( x i , y i ) .После отбрасывания остаточных слагаемых получается явная схема метода Эйлера–Коши второго порядка:yˆi 1  yˆi 1  2h  f ( x i , yˆi ) , i  1, n  1 .Для начала расчетов требуется иметь две «разгонные» точки yˆ0 , yˆ1 . Первая определяется известным начальным условием yˆ0  y 0 , а вторая может быть найдена с помощью другого метода, например, по формуле: yˆ1  y 0  h1 f ( x 0 , y 0 ) .А3.

Модифицированный метод ЭйлераМодифицированный метод Эйлера второго порядка:yˆi12 yˆi hi 12f ( x i , yˆi ) ,i  0, n  1 ,hyˆi 1  yˆi  hi 1 f  x i  i 1 , yˆi  1  ,22 i  0, n  1 .Интервал устойчивости h   (2, 0) (здесь  – действительное число в тестовомпримере) модифицированного метода Эйлера совпадает с интервалом устойчивости явного метода Эйлера.А4.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций