14 Численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Явные методы. Неявные методы (1013421), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Методы Рунге-КуттыФормулы семейства методов Рунге–Кутты имеют следующую структуру:yˆi 1  yˆi  hi 1  b1K 1,i  b2 K 2,i    bs K s ,i ,139yˆ0  y 0 ,i  0, n  1 ,K 1,i  f ( x i , yˆi ) ;гдеK 2,i  f ( x i  c 2 hi 1 , yˆi  hi 1 a2,1K 1,i ) ;K 3,i  f ( x i  c3 hi 1 , yˆi  hi 1 (a3,1K 1,i  a3,2 K 2,i ) ;K s ,i  f ( xi  c s hi 1 , yˆi  hi 1 (as ,1K 1,i  as ,2 K 2,i    as , s 1K s 1,i ) ,где s – число стадий (этапов), K s ,i – значения коэффициентов схемы Рунге–Кутты, вычисленныенаосновеправойчастидифференциальногоуравнения,c j , j  2, s; al , m , l  2, s ; m  1, s  1; bk , k  1, s . Первый индекс в обозначениях коэффициентов является порядковым номером, а второй соответствует индексу точки x i –началу отрезка [ x i , x i 1 ] , на котором производится расчет.В некоторых методах кроме вычисления приближенного решения ŷi 1 определяyi 1 по формулеется еще дополнительное значение ~~yi 1  yˆi  hi 1  b~1K 1,i  b~2 K 2,i    b~s K s ,i,порядок которого, как правило, на единицу больше или меньше обеспечиваемого выраyi 1 служит для учета погрешности и управления вежением для ŷi 1 .

Величина yˆi 1  ~личиной шага.Наибольшее распространение в вычислительной практике нашел метод Рунге–Кутты четвертого порядка:ŷi 1  yˆi гдеhi 16K 1,i  2K 2,i  2K 3,i  K 4,i ,yˆ0  y 0 , i  0, n  1 ,hhK 2,i  f  x i  i 1 , yˆi  i 1 K 1,i  ,22hhK 3,i  f  x i  i 1 , yˆi  i 1 K 2,i  , K 4,i  f x i  hi 1 , yˆi  hi 1  K 3,i .22Схема является четырехчленной, первый коэффициент K 1,i относится к точке x i ,K 1,i  f i  f ( x i , yˆi ),второй и третий – к средней точке x i выбираютсяследующиеhi 12, четвертый – к точке x i 1 .

Для этой схемыпараметры:s  4,c 2  c3 1; c4  1 ;211; a3,1  a4,1  a4,2  0 ; a3,2  ; a4,3  1 .22Метод Рунге–Кутты, как и методы Эйлера, является одношаговым, так как значение yˆ i 1 вычисляется на основе текущего значения yˆ i . По сравнению с явным методомЭйлера здесь на одной итерации требуется вычислять значение правой части решаемогоуравнения четыре раза. Как и явный метод Эйлера, метод Рунге–Кутты не требует дополнительных разгонных точек, что позволяет легко менять шаг в процессе вычислений.В методе Рунге–Кутты пятого порядка точности для расчета точки yˆ i 1 используются следующие соотношения:a2,1 140yˆ i 1  yˆ i гдеhi 16 K 1,i  4K 3,i  K 6,i  ,yˆ0  y 0 , i  0, n  1 ,hhK 2,i  f  x i  i 1 , yˆ i  i 1 K 1,i  ,22K 1,i  f ( x i , yˆ i ),hhK 3,i  f  x i  i 1 , yˆ i  i 1 ( K 1,i  K 2,i )  , K 4,i  f  x i  hi 1 , yˆ i  hi 1 K 2,i  2hi 1  K 3,i  ;242hhK 5,i  f  x i  i 1 , yˆ i  i 1 (7 K 1,i  10 K 2,i  K 4,i )  ,327hhK 6,i  f  x i  i 1 , yˆ i  i 1 (28K 1,i  15K 2,i  546 K 3,i  54 K 4,i  378K 5,i  .25625А5.

Методы Адамса–БэшфортаМногошаговые схемы Адамса–Бэшфорта:– второго порядка:hyˆi 1  yˆi  [3 f i  f i 1 ] , i  1, n  1 ;2– третьего порядка:hyˆi 1  yˆi  [23 f i  16 f i 1  5 f i  2 ] , i  2, n  1 ;12– четвертого порядка:hyˆi 1  yˆi [55 f i  59 f i 1  37 f i  2  9 f i  3 ] , i  3, n  1 ;24– пятого порядка:yˆ i 1  yˆ i h[1901 f i  2774 f i 1  2616 f i 2  1274 f i 3  251 f i 4 ] , i  4, n  1 ,720где f i  f ( x i , yˆ i ) .Для начала расчетов по первой формуле требуются две «разгонные» точки: yˆ0 , yˆ1 ,по второй формуле – три «разгонные» точки: yˆ0 , yˆ1 , yˆ2 , по третьей формуле – четыре«разгонные» точки: yˆ0 , yˆ1 , yˆ2 , yˆ3 , по четвертой формуле – пять «разгонных» точек:yˆ 0 , yˆ 1 , yˆ 2 , yˆ 3 , yˆ 4 . Их необходимо вычислить с порядком точности не меньше порядка точности схемы.Методы Адамса–Бэшфорта не позволяют изменять шаг в процессе расчетов.

В отличие от метода Рунге–Кутты четвертого порядка в этих методах требуется вычислятьтолько одно новое значение правой части решаемого уравнения (системы) вместо четы-141рех. Высокая точность методов достигается при этом за счет учета информации о предыдущих точках. Напротив, в методе Рунге–Кутты, как и в других одношаговых методах,недостающую информацию о поведении правых частей системы получают в результатевычислений в специальным образом выбранных дополнительных точках.А6.

Явные методы ХеммингаМногошаговый метод Хемминга четвертого порядка точности может быть реализован тремя различными способами, в каждом из которых для нахождения точки yˆ i  1используются четыре предыдущие точки:yˆ i 1 илиyˆ i 1 илиyˆ i 1 yˆ i  yˆ i 122 yˆ i 1  yˆ i 23h[191 f i  107 f i 1  109 f i  2  25 f i 3 ] , i  3, n  1 ;72yˆ i  yˆ i 1  yˆ i  23h[119 f i  99 f i 1  69 f i 2  17 f i 3 ] , i  3, n  1 ;48h[ 91 f i  63 f i 1  57 f i 2  13 f i 3 ] , i  3, n  1 ;36где f i  f ( x i , yˆ i ) .

Для начала расчетов по любой из приведенных формул требуетсячетыре «разгонные» точки yˆ0 , yˆ1 , yˆ2 , yˆ3 .А7. Методы прогноза и коррекцииРассматриваемые здесь методы (схемы), называемые составными, известны подобщим названием методов прогноза и коррекции. Из названия следует, что сначала«предсказывается» значение ŷi 1 , а затем используется тот или иной метод для «корректировки» этого значения.Таким образом, составные схемы включают в себя два шага (этапа) расчета очередного значения ŷi 1 :1. Шаг «предиктор» (предсказание), на котором рассчитывается предсказанное(предварительное) значение yˆi(П1) .2. Шаг «корректор» (коррекция), на котором предсказанное значение уточняется.В результате находится значение yˆi(К)1 , которое принимается за ŷi 1 .

Если промежутокинтегрирования не исчерпан, оно далее используется при реализации очередного шага«предиктор» для нахождения следующего предсказанного значения yˆi(П2) .Первый шаг реализуется с помощью явных методов, а второй шаг основан на применении формул неявных методов, в правую часть которых вместо неизвестного значения ŷi 1 подставляется результат предсказания.

Схемы такого типа называются такжесхемами «предиктор-корректор» и в итоге относятся к явным методам.142Приведем наиболее часто встречающиеся составные схемы. Предсказание с помощью явного метода Эйлера или метода Эйлера–Коши, коррекция по методу трапеций.Шаг «предиктор»:yˆi(П1)  yˆi  hi 1 f ( x i , yˆi ) ,или при условии hi 1  h  constyˆi(П1)  yˆi 1  2h  f ( x i , yˆi ),где ŷ i и ŷi 1 рассчитаны на предыдущих шагах.Шаг «корректор»:)ˆi yˆ i 1  yˆ i(К1  yhi 12[ f ( x i , yˆ i )  f ( x i  hi 1 , yˆ i(П)1 )] . Предсказание по методу Адамса–Бэшфорта третьего или четвертого порядка,коррекция по методу Адамса–Мултона четвертого порядка (см.

неявные методы)(при hi 1  h  const ).Шаг «предиктор»:hyˆi(П1)  yˆi  [23 f i  16 f i 1  5 f i  2 ] ,12илиhyˆi(П1)  yˆi [55 f i  59 f i 1  37 f i  2  9 f i  3 ] .24Шаг «корректор»:hyˆi 1  yˆi(К1)  yˆi [ f i  2  5 f i 1  19 f i  9 f ( x i 1 , yˆi(П1) )] .24 Метод Хемминга четвертого порядка (при hi 1  h  const ).Шаг «предиктор»:4hyˆi(П1)  yˆi  3 [2 f i  f i 1  2 f i  2 ] .3Шаг «корректор»:13hyˆi 1  yˆi(К1)  (9 yˆi  yˆi  2 ) [ f i 1  2 f i  f ( x i 1 , yˆi(П1) )] .88З а м е ч а н и е. Среди явных нашли также широкое применение методы Фельберга, Ингленда, Нюстрема, Милна, интерполяционные методы [3].143Б.

НЕЯВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙБ1. Неявный метод ЭйлераФормула неявного метода Эйлера первого порядка точности:yˆi 1  yˆi  hi 1 f ( x i 1 , yˆi 1 )  ( x i , x i 1 , yˆi 1 ) , i  0, n  1 .Подчеркнем, что свойство неявности схемы обусловлено наличием искомой величины ŷi 1 в левой и правой частях в общем случае нелинейного уравнения. Можно показать, что неявный метод Эйлера обладает свойством А-устойчивости. При реализации алгоритма решения задачи Коши неизвестное значение ŷi 1 вычисляется одним из методоврешения нелинейных уравнений.

Применение метода Ньютона связано с записью уравнения в формеyˆi 1  ( x i , x i 1 , yˆi 1 )  F ( yˆi 1 )  0и с дифференцированием функции F ( yˆi 1 ) , что увеличивает время расчетов из-за возможной сложности вычисления производных.Как правило, используется метод простых итераций:yˆi(k11)  ( x i , x i 1 , yˆi(k1) ) , k  0,1,....При применении методов Ньютона и простых итераций вначале задается или находится нулевое приближение решения по формуле yi(01)  yˆi (так называемый «постоянный» прогноз) или явным методом Эйлера:yˆi(01)  yˆi  hi 1 f ( x i , yˆi ) .Итерации завершаются при выполнении условия окончанияyˆ i(k11)  yˆ i(k1)   ,где  – малое положительное число.Б2.

Метод трапецийФормула метода трапеций - неявная одношаговая схема второго порядка точности:yˆi 1  yˆi hi 12 f i  f (xi 1 , yˆi 1 )  (xi , xi 1 , yˆi 1 ) , i  0, n  1 ,144где f i  f ( x i , yˆi ) . Подчеркнем, что свойство неявности схемы обусловлено наличиемискомой величины ŷi 1 в левой и правой частях в общем случае нелинейного уравнения.Неизвестное значение ŷi 1 вычисляется одним из методов решения нелинейных уравнений.

Характеристики

Список файлов лекций