16 Вариационные задачи поиска безусловного экстремума. Задачи с подвижными концами (1013425)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 16(2).2.2. МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХС ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИT2.2.1. ФункционалыF (t , x (t ), x (t ))dt , зависящие от одной функции.t0Случай гладких экстремалейПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассмотрим множество M допустимых функций (кривых) x (t ) , удовлетворяющих следующим условиям (см. рис.1):а) функции x (t ) непрерывно дифференцируемые, т.е. x (t ) C 1 () , где  – некоторый конечный отрезок, внутренними точками которого являются значения t 0 и T ,которые заранее не заданы;б) значения t 0 , x 0  x (t 0 ) и T , xT  x (T ) , определяющие концы допустимых кривых, удовлетворяют граничным условиям:(t 0 , x 0 )  0 ,(T , xT )  0 ,(1)где (t , x ) , (t , x ) – заданные непрерывно дифференцируемые функции.На множестве M задан функционалI x (t ) TF (t , x (t ), x (t )) dt ,(2)t0где функция F (t , x, x ) имеет непрерывные частные производные до второго порядкавключительно по всем переменным.Среди допустимых кривых x (t ) , принадлежащих множеству M , требуется найтикривую x * (t ) , на которой функционал (2) достигает экстремума , т.е.I  x * (t )   extrx ( t )MT F (t , x(t ), x(t )) dt .(*)t0З а м е ч а н и я.1.

Условия (1) определяют подвижные границы (рис. 1). Таким образом, экстремумв поставленной задаче ищется в классе гладких кривых, концы которых скользят по двум1заданным линиям, описываемым уравнениями(T , xT )  0 (для правого конца).(t 0 , x 0 )  0(для левого конца),x(T , xT )  0(t 0 , x 0 )  0x  (t )x * (T  )x * (t 0 )t 00TtРис. 1Можно выделить следующие частные случаи общей постановки задачи.А. Концы допустимых кривых скользят по двум заданным вертикальным прямым,описываемым уравнениями: t  t 0 , t  T (рис.

2).xt  t0t Tx  (t )0t0TtРис. 2Б. Концы допустимых кривых скользят по двум заданным кривым, описываемымуравнениями2x  (t ) ,x  (t ) .Рисунок аналогичен рис. 1.В рамках рассматриваемого частного случая выделим задачу, в которой заданныекривые являются прямыми линиями, параллельными оси абсцисс: x  x 0 , x  xT (рис.3).xx  x0x0x  (t )Tt 00tx  xTxTРис. 32. В поставленной задаче наряду с поиском кривой x * (t ) фактически производитсявыбор значений t 0 * и T * (см.

рис. 2 и рис. 3), т.е. ищется тройка ( x * (t ), t 0 * ,T * ). Приэтом ее  -окрестность первого порядка (   0 ) образуется тройками ( x (t ), t 0 ,T ), удовлетворяющими условиюx (t )  x * (t )C 1()t 0  t 0 *  , ,T T *   .Функционал (2) точнее записывается в формеI x (t ), t 0 ,T  TF (t , x (t ), x (t )) dt .t0Функционал достигает на тройке ( x * (t ), t 0 * ,T * ) слабого минимума, еслиI x (t ), t 0 ,T   I x * (t ), t 0 * ,T *в  -окрестности первого порядка.НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМАТеорема 6 (необходимые условия экстремума функционала в задаче (*)).Если на функции x * (t ) C 1 () , удовлетворяющей граничным условиям(t 0 , x 0 )  0, (T , xT )  0 , функционал (2) достигает слабого экстремума, то онаудовлетворяет:3dF   0;dt xа) уравнению Эйлера F x б) условиям трансверсальности: *  t0 * *,()txt0t 0x F xFxt**T , x (Tt T *t  t 0**T )xt0* , x * (t0* )T * , x * (T * )  xT  [F  x  F x  ]t T *  x 0  [F  x  F x  ]t  t0 * x0  0 , xT  0 , T  0 , t 0  0 .З а м е ч а н и я.1.

Если один из концов допустимых кривых закреплен, то условия трансверсальности для этого конца не выписываются.2. Если рассматривается задача, в которой концы кривых скользят по двум заданным вертикальным прямым t  t 0 , t  T (см. рис.2), поскольку t 0 и T заданы, то вариации t 0  0 , T  0 . Следовательно, условия трансверсальности имеют видFxt T * 0,Fxt  t0 * 0.3. Если концы допустимых кривых скользят по двум заданным кривым x  (t ) иx  (t ) , то условия трансверсальности можно записать в виде[F  (  x  )F x  ]t T *[F  (   x  )F x  ]t  t0 * 0, 0.Если рассматривается случай задания кривых в видеx  x 0  (t )  const ,x  xT  (t )  const ,то (t )  0,  (t )  0 , а условия упрощаются:[F  x  F x  ]4t T * 0,[F  x  F x  ]t  t 0* 0.4.

Если условия (t 0 , x 0 )  0 , (T , xT )  0 , отсутствуют, то вариации xT , T , x 0 , t 0 произвольны. ТогдаFxt T *Fxt  t0 * 0,[F  x  F x  ]t T * 0,[F  x  F x  ]t  t 0* 0, 0.АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (*)1. Записать уравнение ЭйлераFx dF   0.dt x2. Найти общее решение уравнения Эйлера: x  x (t ,C1 ,C 2 ) .3. Записать условия трансверсальности и граничные условия (t 0 , x 0 )  0 ,(T , xT )  0 . В частных случаях граничных условий выбрать требуемое условие трансверсальности.4.

Определить C1 ,C 2 ,t 0 * ,T * и получить уравнение экстремали x * (t ) .T2.2.2. ФункционалыF (t , x (t ), x (t ))dt , зависящие от одной функции.t0Случай негладких экстремалейПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассмотрим множество M допустимых функций (кривых) x (t ) , удовлетворяющих следующим условиям (рис. 4) :а) функции x (t ) определены и непрерывны на отрезке [t 0 ,T ] , где t 0 и T заданы;б) функции x (t ) удовлетворяют граничным условиям:x (t 0 )  x 0 , x (T )  xT ,где x 0 , xT заданы, т.е. проходят через две закрепленные граничные точки А и В ;в) функции x (t ) являются кусочно-гладкими, причем непрерывностьпроизводной может нарушаться в некоторой заранее неизвестной точке t1 (точке излома).

Функции x (t ) образуются двумя гладкими функциями x AC (t ) и xCB (t ) , имеющими общуюточку C , т.е. x AC (t )  C 1 ([t 0 , t1 )) и xCB (t )  C 1 ((t1 ,T ]) .На множестве M задан функционал5TI [ x (t )] F (t , x (t ), x (t )) dt ,t0где функция F (t , x, x ) имеет непрерывные частные производные до второго порядкавключительно по всем переменным.xCxCB (t )x AC (t )BxTx0At00t1TtРис.

4Среди допустимых кривых x (t ) , принадлежащих множеству M , требуется найтикривую x * (t ) , на которой функционал достигает экстремума , т.е.*TI x (t )  extrx (t ) MF (t , x (t ), x (t )) dt .(*)t0З а м е ч а н и я.1. Могут рассматриваться задачи, в которых несколько точек излома.2. Доказано, что в задаче поиска экстремума функционала излом возможен в точке,где F x x   0 .3. Во многих практических задачах требование непрерывности производной является неестественным, так как решение достигается на экстремалях, имеющих точки излома.

Поэтому рассматриваемая здесь задача актуальна.НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМАТеорема 7 (необходимые условия экстремума в задаче (*)).Если на непрерывной функции x * (t ) , непрерывно дифференцируемой на промежутках [t 0 , t1 ) и (t1 ,T ] , где t1 – точка излома производной, и удовлетворяющей граничным условиям x * (t 0 )  x 0 , x * (T )  xT , функционал достигает экстремума, то онаудовлетворяет:а) уравнению Эйлера на каждом из промежутков [t 0 , t1 ) и (t1 ,T ] ;6б) условиям Вейерштрасса–ЭрдманаFx[ F  x  Fx ]t  t1  0t  t1  0 Fxt  t1  0, [ F  x  Fx ]t  t1  0.АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ЭКСТРЕМУМАВ ЗАДАЧЕ (*)1.

Выписать условия Вейерштрасса–Эрдмана. Если из них следует условие непрерывности первой производной x (t1  0)  x (t1  0) , воспользоваться алгоритмом нахождения гладких экстремалей.2. Записать уравнение Эйлера и найти его общее решение на промежутках [t 0 , t1 )и (t1 ,T ] : x AC (t )  x AC (t ,C1 ,C 2 ), xCB (t )  xCB (t ,C 3 ,C 4 ) .3. Определить C1 ,C 2 ,C 3 ,C 4 , t1 из граничных условий x (t 0 )  x 0 , x (T )  xT , условия непрерывности x AC (t1 )  xCB (t1 ) и условий Вейерштрасса–Эрдмана.

В результатеполучить экстремаль x * (t ) .Пример. Найти экстремаль функционала4I [ x (t )] x  2 (t )  [ x (t )  2]2 dt ,0удовлетворяющую граничным условиям x (0)  0 , x (4)  4 . 1. Запишем условия Вейерштрасса–Эрдмана:Fxt  t1  0F  x F x t  t1  0 2 x ( x   2)(2 x   2)t  t1  0 2 x ( x   2)(2 x   2)t  t1  0 Fxt  t1  0 x  2 ( x   2)(2  3 x ) t  t1  0  x  2 ( x   2)(2  3x ) t  t1  0  F  x F x ,t  t1  0.Отсюда следуют варианты одновременного выполнения записанных условий:а) x (t1  0)  x (t1  0) ;б) x (t1  0)  0 , x (t1  0)  2 ;в) x (t1  0)  2 , x (t1  0)  0 .Вариант «a» соответствует случаю поиска гладких экстремалей. Так как подынтегральная функция не зависит от x и t явно, то общее решение уравнения Эйлера имеетвид x (t )  C1 t  C 2 .

Из граничных условий x (0)  C 2  0 , x (4)  4 C1  C 2  4 находим C1  1 , C 2  0 и экстремаль x * (t )  t .2. Решение уравнения Эйлера на промежутках [0 , t1 ) и (t1 , 4] имеет вид7x AC (t )  C1 t  C 2 ,xCB (t )  C 3 t  C 4 .3. Определим C1 , C 2 , C 3 , C 4 , t1 из граничных условий:x AC (0)  C 2  0 ,x CB (4)  4 C 3  C 4  4 ,из условия непрерывности:x AC (t1 )  C1  t1  C 2  C 3  t1  C 4  xCB (t1 ) ,и из условий Вейерштрасса–Эрдмана (см.п.1).Варианту «б» соответствуют условия:x (t1  0)  x AC (t1  0)  C1  0 , (t1  0)  C 3  2 .x (t1  0)  xCBТогда получаем C 4  4  4 C 3   4 , C 3 t1  C 4  0 , t1  2 .

В результате получена экс(t )  2t  4 при t  [2; 4] .тремаль x AC (t )  0 при t  [0; 2] , xCBВарианту «в» соответствуют условия:x (t1  0)  x AC (t1  0)  C1  2 , (t1  0)  C 3  0 .x  (t1  0)  xCBТогда получаем C 4  4  4C 3  4 , 2t1  C 4 , t1  2 . В результате получена экстремальx AC (t )  2t при t  [0; 2] , xCB(t )  4 при t  [2; 4] (см. рис. 5).xCB4A0C24tРис. 5Таким образом, в поставленной задаче имеются три экстремали: одна гладкая и две– негладкие.

На негладких экстремалях I x * (t )  0 , а на гладкой I  4 (очевидно, наней минимум не достигается).8T2.2.3. Функционалы F t, x1 t ,  , x n t , x1 t ,  , x n t  dt  G T , x1 T ,  , x n T  ,t0зависящие от нескольких функцийПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассмотрим множество M допустимых вектор-функций xt   x1t ,, xn t T ,удовлетворяющих следующим условиям:а) функции x i t  , i  1,..., n , непрерывно дифференцируемы, т.е. x i t   C 1   , где – некоторый конечный отрезок, значение t 0   задано, а значение T не задано и является внутренней точкой  ;б) левый конец кривых закреплен, т.е. x t 0   x 0  x10 ,..., x n0 T , где x i 0 ,i  1,..., n , заданы; правый конец удовлетворяет граничным условиям: j T , x1T ,..., x nT   0 , j  1,..., p ,p  n 1,где x iT  x i T  ;  j t , x1 ,..., x n  , j  1,..., p , – заданные непрерывно дифференцируемыефункции.На множестве M задан функционалI x1 t ,..., x n t  T F t , x1 t ,..., x n t , x1 t ,..., x n t  dt  G T , x1 T ,..., x n T  ,t0где функция F t , x1 ,..., x n , x1 ,..., x n  имеет непрерывные производные до второго порядка включительно по всем переменным, а функция G t , x1 ,..., x n  непрерывно дифференцируема по всем переменным.Среди всех вектор-функций, принадлежащих множеству M , требуется найти век-Tтор-функцию x * t   x1* t ,..., x n* t  , на которой достигается экстремум функционала,т.е.T**I x1 t ,..., x n t   extr   F t, x1 t ,..., x n t , x1 t ,..., x n t  dt  G T , x1 T ,..., x n T   .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций