13 Методы численного дифференцирования и интегрирования (1013419), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В этом случае говорят, что квадратурнаяформула обладает m-свойством.При приближенном вычислении интеграла, как правило, отрезок [a, b] представляется в виде объединения l непересекающихся частичных отрезков вида [ xi r , xi s ] , ко-торым соответствует шаблон Ш k , i xi r , , x i ,..., x i s , где i – номер базового узласетки; r и s – количество узлов левее и правее узла с номером i ; k r s 1 – общеечисло узлов (точек) в шаблоне (рис. 1). На каждом частичном отрезке с номеромj 1,..., l вычисляется интеграл по соответствующей квадратурной формулеI iirs , j xi sf ( x)dx Iˆiirs, j Iˆ j ,j 1,..., l ,xi rа затем полученные значения суммируются по всем частичным отрезкам, т.е.Iˆab lIˆ j j 0l Iˆiirs, j .j 0125yfi rfi sfiy f ( x)I ii rs , jI10aIlxi rxib xxi sРис.
1Далее в силу использования описанного представления проблеме вычисления интеграла на частичном отрезке уделяется основное внимание. По заданной сеточной функции или сеточному представлению формульной функции на частичном отрезке строитсяинтерполяционный многочлен некоторой степени. Значение Iˆi s определяется величиi rной интеграла от этого многочлена.Как следует из замечаний, для вычисления интеграла могут использоваться различные частичные отрезки и соответствующие им шаблоны.А. ПРИМЕНЕНИЕ ДВУХТОЧЕЧНОГО ШАБЛОНАПусть задана сеточная функцияf ( x i ), i 0, n , на регулярном шаблоне приh const . На частичном отрезке x i , x i 1 , которому соответствует двухточечный шаб-лон Ш 2, i ( xi , xi 1 ) , где r 0, s 1 , функция f ( x) заменяется тремя способами, порождающими соответствующие методы интегрирования. В каждом методе значение интегралаI ii 1x i 1xf ( x)dx аппроксимируется величиной Iˆii 1 , равной площади между графи-iком интерполяционного многочлена и осью абсцисс и получаемой по одноинтервальнойформуле.
Нижние индексы соответствуют названию квадратурной формулы, рядом сформулами приводятся оценки порядка (точности) аппроксимации.Подчеркнем, что данные формулы справедливы как для регулярного, так и для нерегулярного шаблона, хотя последующее их суммирование по всем частичным отрезкам xi , xi 1 традиционно выполняется при h const .Искомые интегралы определяются не на частичных отрезках, а на всем отрезкеa, b , и поэтому путем суммирования левых и правых частей одноинтервальных формулполучаются так называемые составные квадратурные формулы.А1.
Метод прямоугольников (немодифицированный). Функция f ( x) заменяется интерполяционным многочленом нулевой степени L0 ( x) f x i , построенным по126значению функции f i f ( x i ) в левой точке частичного отрезка (рис. 2,а). Величина интеграла на частичном отрезке принимается равной площади между графиком интерполяционного многочлена и осью абсцисс - площади прямоугольника. В результате получимпростейшую одноинтервальную квадратурную формулу второго порядка точности:1Iˆii,прx i 1x L0 ( x) dx hi1 f i .O(h 2 )iСоставная квадратурная формула метода прямоугольников (немодифицированного) на регулярном шаблоне с h const имеет видIˆab,пр h f 0 f 1 ...
f n 1 hn 1fi .i 0Формула метода прямоугольников (немодифицированного) является точной длямногочленов нулевой степени и обладает первым порядком аппроксимации. Для неесправедлива оценка:MI ab Iˆab,пр 1 b a h ,2где M 1 max f ( x) .[ a ,b ]А2. Метод прямоугольников (модифицированный). Функция f ( x) заменяется x x i 1 интерполяционным многочленом нулевой степени L0 ( x) f i , построенным по2x x i 1значению функции f 1 f ( x 1 ) в середине частичного отрезка x 1 i(рис.iii22222,б). Величина интеграла на частичном отрезке принимается равной площади между графиком интерполяционного многочлена и осью абсцисс - площади прямоугольника.
В результате получим простейшую одноинтервальную квадратурную формулу третьего порядка точности:Iˆii+,пр1 (мод) x i 1x i 1 L0 ( x) dx xxii x x i 1 f i dx hi 1 f i 1 .22O(h 3 )Составная квадратурная формула метода прямоугольников (модифицированного)на регулярном шаблоне с h const имеет видn 1Iˆab,пр (мод) h f 1/2 f 3/2 ... f 1 hf 1.n ii02 2Формула метода прямоугольников (модифицированного) является точной длямногочленов первой степени и обладает вторым порядком аппроксимации. Для нее справедлива оценка:MI ab Iˆab,пр (мод) 2 b a h 2 ,24где M 2 max f ( x) .[ a ,b ]127yf i 1f ( x)fiyyfL0 ( x )L0 ( x )if i 112L1 ( x)fixxi 1f i 1fixxif ( x)x 1ixixixi 12hi 1xx i 1hi 1hi 1бваРис.
2А3. Метод трапеций. Функция f ( x) заменяется интерполяционным многочленом первой степени L1 ( x) с узловыми значениями xi , xi 1 (рис. 2,в). Величина интегралана частичном отрезке принимается равной площади между графиком интерполяционногомногочлена и осью абсцисс – площади трапеции (произведению полусуммы основанийна высоту). В результате получим простейшую одноинтервальную квадратурную формулу третьего порядка точности:Iˆii+,тр1x i 1xL1 ( x) dx hi 1f i f i 1i2.O(h 3 )Составная квадратурная формула метода трапеций на регулярном шаблоне сh const имеет видf fn h f f1 f1 f 2Iˆab,тр h 0 ... n 1 f 0 2 f 1 f 2 .. f n 1 f n 22 2 2n 1hf i f n . f 0 22i 1Формула метода трапеций является точной для многочленов первой степени и обладает вторым порядком аппроксимации.
Для нее справедлива оценка:где M 2 max f ( x) .MI ab Iˆab, тр 2 b a h 2 ,12[ a ,b ]Заметим, что порядок аппроксимации составных квадратурных формул прямоугольников и трапеций на единицу меньше порядка аппроксимации одноинтервальнойформулы.128Б. ПРИМЕНЕНИЕ ТРЕХТОЧЕЧНОГО ШАБЛОНАПусть отрезок [a, b] разбит на четное количество одинаковых частичных отрезков,т.е.
n 2k , где k число пар. На частичном отрезке x i 1 , x i 1 , которому соответствуеттрехточечный шаблон Ш 3,i xi 1 , x i , x i 1 (по одной паре отрезков при r 1, s 1 ),функция f ( x) заменяется параболой (интерполяционным многочленом L2 ( x) второйстепени), проходящей через три заданные на шаблоне точки. В каждом методе значениеинтегралаI ii11x i 1f ( x)dx аппроксимируется величиной Iˆii11 , равной площади междуx i 1графиком интерполяционного многочлена и осью абсцисс и получаемой по двухинтервальной формуле.Метод парабол. На регулярном шаблоне при h const , подсчитывая площадь подпараболой (рис.
3), можно получить двухинтервальную квадратурную формулу парабол,или формулу Симпсона:1Iˆii+1,парx i 1Lx i 12 ( x ) dxh f i 1 4 f i f i 1 .3O(h 5 )Составная квадратурная формула метода парабол имеет видhIˆab, пар f 0 4 f1 f 3 ... f 2k 1 2 f 2 f 4 ... f 2k 2 f n 3kk 1h f 0 4 f 2i 1 2 f 2i f 2k .3 i 1i 1Подчеркнем, что в составной квадратурной формуле парабол индекс « k » указывает на число пар отрезков разбиения, которое предполагается четным ( n 2k ). Если этоусловие не выполняется, то интеграл вычисляется для четного количества отрезков и кполученному значению добавляется величина I nn1 , рассчитанная с порядком O (h 5 ) поформулам, приведенным далее.Формула метода парабол является точной для многочленов третьей степени и имеет четвертый порядок аппроксимации.
Для нее справедлива оценка:MI ab Iˆab, пар 4 b a h 4 ,180где M 4 max f (4) ( x) .[ a, b]129yf i 1f ( x)L 2 ( x)fifi 1xxi 1 hxihxi 12hРис. 3В. ПРИМЕНЕНИЕ МНОГОТОЧЕЧНЫХ ШАБЛОНОВРассмотрим применение четырех-, пяти-, семиточечных шаблонов.Ш 5,iВ1. Метод Боде. Четырехинтервальная формула Боде на пятиточечном шаблоне x i 2 , x i 1 , xi , x i 1 , x i 2 , где r 2, s 2 (рис.
4,б):O (h ) .2hIˆii22,c (7 f i 2 32 f i 1 12 f i 32 f i 1 7 f i 2 )457В2. Метод Уэддля. Шестиинтервальная формула Уэддля на семиточечном шаблоне Ш7,i xi3, xi2, xi1, xi , xi1, xi2, xi3 , где r 3, s 3 (рис. 4,в):3hIˆii33,c ( f i 3 5 f i 2 f i 1 6 f i f i 1 5 f i 2 f i 3 )10O (h ) .7В3. Методы Ньютона–Котеса.
Приведем два частных случая:Ш 4,i–трехинтервальнаяформуланачетырехточечномшаблоне xi 2 , x i 1 , xi , x i 1 , где r 2, s 1 (формула «трех восьмых», рис. 4,а):3hIˆii21,c ( f i 2 3 f i 1 3 f i f i 1 )8Ш7,iO (h );5–шестиинтервальнаяформуланасемиточечном xi3 , xi2 , xi1, xi , xi1, xi2 , xi3 , где r 3, s 3 (рис. 4,в):hIˆii33,c (41 f i 3 216 f i 2 27 f i 1 272 f i 27 f i 1 216 f i 2 41 f i 3 )140шаблонеO (h ) .9Искомое приближенное значение интеграла Iˆab получается суммированием повсем частичным отрезка130yf i 1 yL3 ( x ) f iL4 ( x) f if i 1f i 1f i 2 yf i 1f i 2f i 2f i 2hxi 2hhxixi 1аxxi 1f i 3hxi 2 xi 1L6 ( x ) fi 1f i 2 f i 3f i f i 1hxxix i 1 x i 2бxxi 3 xi 2xi 1 xi xi 1xi 2 xi 3вРис.
4Методика вычисления определенного интеграла с заданной точностьюи априорным нахождением шага интегрированияШаг 1. Для правой части формулы оценки погрешностей вычислить константуpM p max f x . С этой целью необходимо продифференцировать функцию p раз[ a, b]и вычислить ее максимальное значение на отрезке a, b , где p – порядок аппроксимацииквадратурной формулы.Шаг 2.