13 Методы численного дифференцирования и интегрирования (1013419), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Из условияMpb a h p ,AMpгде– константа, входящая в правую часть оценки погрешностей, определяется веAA личина h : h p.M p b a Шаг 3. По значению h вычислить n – количество разбиений отрезка a, b исформировать сеточное представление функции y f x , т.е. y i f x i , x 0 a ;x1 a h ; x 2 a 2h ; . . . ; x n a n h ( i 0,1, , n ).Шаг 4. Полученную сеточную функцию подставить в правую часть соответствующей квадратурной формулы и вычислить искомое значение Iˆb . При этом значениеaинтеграла в силу справедливости оценки удовлетворяет заданной точности .З а м е ч а н и я.Рассмотренный способ вычисления интегралов, когда с использованием оценок иточности предварительно вычисляется шаг интегрирования h , является способом с априорным определением шага h .131Пример 2.
Вычислить интегралы22I 1 x dx ,22I 2 x dx ,02I 4 x 4 dx3I 3 x dx ,000по формулам прямоугольников (модифицированной), трапеций, парабол с шагом h 1 .Найти оценки погрешностей. Точные значения интегралов:22x3 2 8 ,I 2 x dx 3 0 3x2 2 2,I 1 x dx 2 00202x4 24,I 3 x dx 4 02I 4 x 4 dx 300x 5 2 32 6, 4 .5 0 5Для формул прямоугольников и трапеций порядок аппроксимации p 2 , а дляформулы парабол p 4 .
В поставленной задаче a 0, b 2 . Сначала получим оценкипогрешностей априорным способом.Найдем M 2 max f ( x) :[0;2]M 2 0 для функции f ( x) x ;M 2 2 для функции f ( x) x 2 ;M 2 12 для функции f ( x) x 3 ; M 2 48 для функции f ( x) x 4 .Найдем M 4 max f (4) ( x) :[0;2]M 4 0 для функций f ( x) x ; f ( x) x 2 ; f ( x) x 3 ;M 4 24 для функции f ( x) x 4 .Справедливы оценки: пр (мод) M224(b a ) h 2 ; тр M2(b a) h 2 ;12 пар M4180(b a) h 4 .Оценки погрешностей формулы прямоугольников (модифицированной): пр(мод) 0 для f ( x) x ; пр(мод) 12 2 12 124 пр(мод) для f ( x) x 3 ;2 2 12 0,16(6) для f ( x) x 2 ;24 пр(мод) 48 2 12 824для f ( x) x 4 .Оценки погрешностей формулы трапеций: тр 0 для f ( x) x ; тр тр 12 2 12 2 для f ( x) x 3 ;122 2 12 0,3(3) для f ( x) x 2 ;12 тр 13248 2 12 812для f ( x) x 4 .Оценки погрешностей формулы парабол: пар 0 для f ( x) x ; f ( x) x 2 ; пар 24 2 12 0,26(6)180f ( x) x 3 ;для f ( x) x 4 .Таким образом, подтверждается факт, что формулы прямоугольников (модифицированная) и трапеций должны быть точными для многочленов первой степени, а формулапарабол – для многочленов не выше третьей степени.Теперь рассчитаем значения интегралов по соответствующим квадратурным формулам.При h 1 сеточное представление функций имеет видf 0 f (0),1f 1 f ,22f1 f (1),3f 3 f ,22f 2 f (2) .По формуле прямоугольников получаем Iˆпр(мод) h f 1 f 3 , в частности: 22 1 3 Iˆ1 1 2 (0);2 21 9Iˆ2 1 2,5 (0,16(6));4 4 1 27 7Iˆ3 1 3,5 (0,5);8 8 2 1 81 82Iˆ4 1 5,125 (1,275).16 16 16Здесь в скобках указана величина фактической ошибки.hПо формуле трапеций находим Iˆтр f 0 2 f1 f 2 , в частности:21Iˆ1 0 2 2 2 (0);21Iˆ2 0 2 4 3 ( 0,3(3) );21Iˆ3 0 2 8 5 (1);2Iˆпар1Iˆ4 0 2 16 9 (2,6).2По формуле парабол, учитывая, что n 2k 2 и, следовательно, k 1 , получаемh f 0 4 f1 f 2 , в частности:381Iˆ2 0 4 4 331Iˆ1 0 4 2 2 (0);31Iˆ3 0 4 8 4 (0);3(0);120Iˆ4 0 4 16 6,6(6) (0,26(6)).33Очевидно, полученные фактические погрешности соответствуют вычисленным ранее оценкам.
133.