Главная » Просмотр файлов » 13 Методы численного дифференцирования и интегрирования

13 Методы численного дифференцирования и интегрирования (1013419), страница 3

Файл №1013419 13 Методы численного дифференцирования и интегрирования (Лекции по теории оптимизации и численным методам) 3 страница13 Методы численного дифференцирования и интегрирования (1013419) страница 32017-06-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Из условияMpb  a   h p   ,AMpгде– константа, входящая в правую часть оценки погрешностей, определяется веAA личина h : h  p.M p b  a Шаг 3. По значению h вычислить n – количество разбиений отрезка a, b  исформировать сеточное представление функции y  f  x  , т.е. y i  f  x i  , x 0  a ;x1  a  h ; x 2  a  2h ; . . . ; x n  a  n  h ( i  0,1,  , n ).Шаг 4. Полученную сеточную функцию подставить в правую часть соответствующей квадратурной формулы и вычислить искомое значение Iˆb . При этом значениеaинтеграла в силу справедливости оценки удовлетворяет заданной точности  .З а м е ч а н и я.Рассмотренный способ вычисления интегралов, когда с использованием оценок иточности  предварительно вычисляется шаг интегрирования h , является способом с априорным определением шага h .131Пример 2.

Вычислить интегралы22I 1  x dx ,22I 2  x dx ,02I 4  x 4 dx3I 3  x dx ,000по формулам прямоугольников (модифицированной), трапеций, парабол с шагом h  1 .Найти оценки погрешностей. Точные значения интегралов:22x3 2 8 ,I 2  x dx 3 0 3x2 2 2,I 1  x dx 2 00202x4 24,I 3  x dx 4 02I 4  x 4 dx 300x 5 2 32 6, 4 .5 0 5Для формул прямоугольников и трапеций порядок аппроксимации p  2 , а дляформулы парабол p  4 .

В поставленной задаче a  0, b  2 . Сначала получим оценкипогрешностей априорным способом.Найдем M 2  max f ( x) :[0;2]M 2  0 для функции f ( x)  x ;M 2  2 для функции f ( x)  x 2 ;M 2  12 для функции f ( x)  x 3 ; M 2  48 для функции f ( x)  x 4 .Найдем M 4  max f (4) ( x) :[0;2]M 4  0 для функций f ( x)  x ; f ( x)  x 2 ; f ( x)  x 3 ;M 4  24 для функции f ( x)  x 4 .Справедливы оценки: пр (мод) M224(b  a ) h 2 ; тр M2(b  a) h 2 ;12 пар M4180(b  a) h 4 .Оценки погрешностей формулы прямоугольников (модифицированной): пр(мод)  0 для f ( x)  x ; пр(мод) 12 2  12  124 пр(мод) для f ( x)  x 3 ;2 2  12  0,16(6) для f ( x)  x 2 ;24 пр(мод) 48 2  12  824для f ( x)  x 4 .Оценки погрешностей формулы трапеций: тр  0 для f ( x)  x ; тр  тр 12 2  12  2 для f ( x)  x 3 ;122 2  12  0,3(3) для f ( x)  x 2 ;12 тр 13248 2  12  812для f ( x)  x 4 .Оценки погрешностей формулы парабол: пар  0 для f ( x)  x ; f ( x)  x 2 ; пар 24 2  12  0,26(6)180f ( x)  x 3 ;для f ( x)  x 4 .Таким образом, подтверждается факт, что формулы прямоугольников (модифицированная) и трапеций должны быть точными для многочленов первой степени, а формулапарабол – для многочленов не выше третьей степени.Теперь рассчитаем значения интегралов по соответствующим квадратурным формулам.При h  1 сеточное представление функций имеет видf 0  f (0),1f 1  f  ,22f1  f (1),3f 3  f  ,22f 2  f (2) .По формуле прямоугольников получаем Iˆпр(мод)  h   f 1  f 3  , в частности: 22 1 3 Iˆ1  1      2 (0);2 21 9Iˆ2  1      2,5 (0,16(6));4 4 1 27  7Iˆ3  1      3,5 (0,5);8 8  2 1 81  82Iˆ4  1      5,125 (1,275).16 16  16Здесь в скобках указана величина фактической ошибки.hПо формуле трапеций находим Iˆтр    f 0  2 f1  f 2  , в частности:21Iˆ1   0  2  2  2 (0);21Iˆ2   0  2  4  3 ( 0,3(3) );21Iˆ3   0  2  8  5 (1);2Iˆпар1Iˆ4   0  2  16  9 (2,6).2По формуле парабол, учитывая, что n  2k  2 и, следовательно, k  1 , получаемh   f 0  4 f1  f 2  , в частности:381Iˆ2   0  4  4 331Iˆ1   0  4  2  2 (0);31Iˆ3   0  4  8  4 (0);3(0);120Iˆ4   0  4  16  6,6(6) (0,26(6)).33Очевидно, полученные фактические погрешности соответствуют вычисленным ранее оценкам.

133.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
360,81 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Лекции по теории оптимизации и численным методам
Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее