13 Методы численного дифференцирования и интегрирования (1013419), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Из условияMpb  a   h p   ,AMpгде– константа, входящая в правую часть оценки погрешностей, определяется веAA личина h : h  p.M p b  a Шаг 3. По значению h вычислить n – количество разбиений отрезка a, b  исформировать сеточное представление функции y  f  x  , т.е. y i  f  x i  , x 0  a ;x1  a  h ; x 2  a  2h ; . . . ; x n  a  n  h ( i  0,1,  , n ).Шаг 4. Полученную сеточную функцию подставить в правую часть соответствующей квадратурной формулы и вычислить искомое значение Iˆb . При этом значениеaинтеграла в силу справедливости оценки удовлетворяет заданной точности  .З а м е ч а н и я.Рассмотренный способ вычисления интегралов, когда с использованием оценок иточности  предварительно вычисляется шаг интегрирования h , является способом с априорным определением шага h .131Пример 2.

Вычислить интегралы22I 1  x dx ,22I 2  x dx ,02I 4  x 4 dx3I 3  x dx ,000по формулам прямоугольников (модифицированной), трапеций, парабол с шагом h  1 .Найти оценки погрешностей. Точные значения интегралов:22x3 2 8 ,I 2  x dx 3 0 3x2 2 2,I 1  x dx 2 00202x4 24,I 3  x dx 4 02I 4  x 4 dx 300x 5 2 32 6, 4 .5 0 5Для формул прямоугольников и трапеций порядок аппроксимации p  2 , а дляформулы парабол p  4 .

В поставленной задаче a  0, b  2 . Сначала получим оценкипогрешностей априорным способом.Найдем M 2  max f ( x) :[0;2]M 2  0 для функции f ( x)  x ;M 2  2 для функции f ( x)  x 2 ;M 2  12 для функции f ( x)  x 3 ; M 2  48 для функции f ( x)  x 4 .Найдем M 4  max f (4) ( x) :[0;2]M 4  0 для функций f ( x)  x ; f ( x)  x 2 ; f ( x)  x 3 ;M 4  24 для функции f ( x)  x 4 .Справедливы оценки: пр (мод) M224(b  a ) h 2 ; тр M2(b  a) h 2 ;12 пар M4180(b  a) h 4 .Оценки погрешностей формулы прямоугольников (модифицированной): пр(мод)  0 для f ( x)  x ; пр(мод) 12 2  12  124 пр(мод) для f ( x)  x 3 ;2 2  12  0,16(6) для f ( x)  x 2 ;24 пр(мод) 48 2  12  824для f ( x)  x 4 .Оценки погрешностей формулы трапеций: тр  0 для f ( x)  x ; тр  тр 12 2  12  2 для f ( x)  x 3 ;122 2  12  0,3(3) для f ( x)  x 2 ;12 тр 13248 2  12  812для f ( x)  x 4 .Оценки погрешностей формулы парабол: пар  0 для f ( x)  x ; f ( x)  x 2 ; пар 24 2  12  0,26(6)180f ( x)  x 3 ;для f ( x)  x 4 .Таким образом, подтверждается факт, что формулы прямоугольников (модифицированная) и трапеций должны быть точными для многочленов первой степени, а формулапарабол – для многочленов не выше третьей степени.Теперь рассчитаем значения интегралов по соответствующим квадратурным формулам.При h  1 сеточное представление функций имеет видf 0  f (0),1f 1  f  ,22f1  f (1),3f 3  f  ,22f 2  f (2) .По формуле прямоугольников получаем Iˆпр(мод)  h   f 1  f 3  , в частности: 22 1 3 Iˆ1  1      2 (0);2 21 9Iˆ2  1      2,5 (0,16(6));4 4 1 27  7Iˆ3  1      3,5 (0,5);8 8  2 1 81  82Iˆ4  1      5,125 (1,275).16 16  16Здесь в скобках указана величина фактической ошибки.hПо формуле трапеций находим Iˆтр    f 0  2 f1  f 2  , в частности:21Iˆ1   0  2  2  2 (0);21Iˆ2   0  2  4  3 ( 0,3(3) );21Iˆ3   0  2  8  5 (1);2Iˆпар1Iˆ4   0  2  16  9 (2,6).2По формуле парабол, учитывая, что n  2k  2 и, следовательно, k  1 , получаемh   f 0  4 f1  f 2  , в частности:381Iˆ2   0  4  4 331Iˆ1   0  4  2  2 (0);31Iˆ3   0  4  8  4 (0);3(0);120Iˆ4   0  4  16  6,6(6) (0,26(6)).33Очевидно, полученные фактические погрешности соответствуют вычисленным ранее оценкам.

133.

Характеристики

Список файлов лекций