Главная » Просмотр файлов » 15 Основные понятия вариационного исчисления. Вариационные задачи поиска безусловного экстремума. Задачи с закрепленными концами

15 Основные понятия вариационного исчисления. Вариационные задачи поиска безусловного экстремума. Задачи с закрепленными концами (1013423), страница 2

Файл №1013423 15 Основные понятия вариационного исчисления. Вариационные задачи поиска безусловного экстремума. Задачи с закрепленными концами (Лекции по теории оптимизации и численным методам) 2 страница15 Основные понятия вариационного исчисления. Вариационные задачи поиска безусловного экстремума. Задачи с закрепленными концами (1013423) страница 22017-06-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Всякий сильный экстремум функционала является и слабым, аобратное, вообще говоря, неверно. Поэтому любое условие, необходимое для слабогоэкстремума, необходимо и для сильного.Необходимые условия локального экстремума одинаковы для сильного и слабогоэкстремума и определяются следующей теоремой.Теорема 1. (необходимые условия локального экстремума).Если функционал I x (t ) , имеющий вариацию, достигает минимума или максимума на кривой x  (t ) , где x  (t ) есть внутренняя точка области определенияфункционала, то при x (t )  x  (t ) первая вариация функционала равна нулю:I  0 .(8)З а м е ч а н и я.1.

Доказательство необходимых условий экстремума функционала опирается натот факт, что при фиксированных x * t  и x (t ) функционал I [ x * (t )   x (t )]  () является функцией параметра  . При   0 функционал достигает экстремального значения I x * t  . Заметим, что  может принимать в окрестности точки   0 как положи- тельные, так и отрицательные значения (при этом x * t  является внутренней точкой в области определения функционала). Так как точка   0 является точкой локального экстремума функции   , то, применяя необходимые условия локального экстремумафункций [36], получаем6  0 0 илиdI x * (t )   x (t )d 0.(9) 02.

Различие между сильным и слабым экстремумами не имеет существенного значения при выводе необходимого условия экстремума, но весьма существенно при выводеи применении достаточных условий экстремума.При выводе необходимых условий экстремума для различных постановок вариационных задач применяется следующая важная теорема.Теорема 2 (основная лемма вариационного исчисления).Если для каждой непрерывной функции (t )T a(t ) (t ) dt  0 ,(10)t0где функция a(t ) непрерывна на отрезке t 0 ,T  , то a(t )  0 на том же отрезке.З а м е ч а н и я.1. Утверждение основной леммы вариационного исчисления и ее доказательство неизменятся, если на функцию t  наложить следующие ограничения: t  имеет непрерывную производную; t 0   T   0 .2.

Все изложенное в этом разделе без изменения переносится на функционалыI x t   I x1 t ,  , x n t  , зависящие от вектор-функции x(t )  ( x1 (t ),  , x n (t ))T однойпеременной или зависящие от функций нескольких переменных. Для таких функционалов вариация также определяется как главная линейная часть приращения функционала идоказывается, что на функциях (вектор-функциях), на которых реализуется экстремум,вариация равна нулю.2. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКАБЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА2.1. МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИГРАНИЦАМИT2.1.1. Функционалы F t, x (t ), x (t ) dt , зависящие от одной функцииt0ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассмотрим множество M допустимых функций (кривых) x (t ) , удовлетворяющих следующим условиям:a) функции x (t ) определены и непрерывно дифференцируемы на отрезкеt 0 ,T , где t 0 и Tзаданы, т.е.

x (t )  C 1 ([t 0 ,T ]) ;б) функции x (t ) удовлетворяют граничным условиямx t 0   x 0 ,x (T )  xT ,(1)7где значения x 0 , xT заданы, т.е. кривые проходят через две закрепленные граничныеточки.На множестве M задан функционалT F t, x (t ), x (t ) dt ,I [ x (t )] (2)t0где подынтегральная функция F (t , x, x  ) имеет непрерывные частные производные довторого порядка включительно по всем переменным.Среди допустимых кривых x t  , принадлежащих множеству M , требуется найтикривую x  t  , на которой функционал (2) достигает экстремума, т.е.I [ x * (t )]  extrT F t, x (t ), x (t ) dt .x (t ) M(3)t0Так как на кривые x t  , образующие множество M , не наложено дополнительныхусловий, кроме граничных, задача (3) называется задачей поиска безусловного экстремума.

Этому классу задач посвящена вторая глава. В третьей главе рассматриваются задачи поиска условного экстремума, когда на искомые функции кроме граничных условий накладываются дополнительные конечные, интегральные или дифференциальныеусловия.СТРАТЕГИЯ ПОИСКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИСтратегия поиска решения задачи (3) состоит в определении первой вариацииI функционала I [ x (t )] и приравнивании ее к нулю согласно теореме 1 о необходимомусловии экстремума функционала.

В результате получаются соотношения, позволяющиенайти кривые, “подозрительные” на наличие экстремума функционала.С помощью анализа второй вариации функционала выводятся различные достаточные условия экстремума, позволяющие сделать вывод о достижении сильного илислабого минимума или максимума.НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИОНАЛА В ЗАДАЧЕ (3)Обозначим x  t  – кривую, на которой достигается экстремум функционала.

Тогдадопустимая кривая определяется по формуле: x (t )  x  (t )   x (t ) , а ее производнаяx (t )  x ' (t )   x (t ) , где x (t ) – фиксированная вариация кривой, x (t )  x (t ) –производная вариации,  – числовойx t 0   0 , x T   0 . Тогда*I [ x (t )   x (t )]  F t, xT*параметр. Заметим, что x t   C 1 ([t 0 ,T ]) ,t0где   – функция числового параметра  .8(t )   x (t ), x ' (t )   x (t ) dt  () ,(4)Используя формулу для вычисления первой вариации функционала, имеемd ()I dTt0 0ddTF t , x * (t )   x (t ), x *' (t )   x (t )t0F t , x * (t )   x (t ), x *' (t )   x (t ) x F x  t , x * (t )   x (t ), x *' (t )   x (t )TFx (t , x* 0 0 0dt x (t ) x (t ) dt (t ), x *' (t )) x (t )  F x  (t , x * (t ), x *' (t )) x (t ) dt ,(5)t0 F t , x, x F t , x, x , Fx – соответствующие производные подынтеx xгральной функции.В выражении (5) проинтегрируем второе слагаемое по частям, учитывая, чтогде F x x (t )  x (t ) , u  F x  , dv  x (t )dt  x (t ) dt ,T u dv  u  vt0du Tt0T v du .Отсюдаt0dF  dt , v  x (t ) иdt xI  F x  x (t )TTt0t0dF x  dt F x   x (t ) dt .(6)Так как x t 0   0 , x T   0 , тоTI t0dF x  dt F x   x (t ) dt .(7)Необходимое условие экстремума (8) в данном случае имеет видTI t0dF x  dt F x   x (t ) dt  0 .(8)К выражению (8) применима основная лемма вариационного исчисления (теорема 2), так как в силу наложенных ограничений на кривой x * t  функцияdF x  F x  является непрерывной, а вариация x (t ) – произвольной непрерывноdtдифференцируемой функцией, удовлетворяющей условиям x t 0   0 , x T   0 .Следовательно, кривая x * t  , на которой достигается экстремум функционала,удовлетворяет уравнению9Fx dF   0.dt x(9)Уравнение (9) называется уравнением Эйлера.

Если функция x * t  дважды дифференцируемая, то уравнение (9) можно записать в развернутой формеF x  F x t  F x x  x   F x x   x   0(10)и при F x x   0 представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.

Его общее решение x  x t ,C1 ,C 2  зависит от двух произвольных постоянных C1 и C 2 и определяет двухпараметрическое семейство экстремалей. Дваграничных условия x t 0   x 0 и x T   xT позволяют найти постоянные C1 и C 2 и,как следствие, кривую x * t  , на которой может достигаться экстремум функционала. Только на удовлетворяющих граничным условиям экстремалях может реализовываться экстремум. Чтобы выяснить, достигается ли на экстремали экстремумфункционала, а если да, то какой (минимум или максимум), следует использоватьдостаточные условия (см.

стр. 37).Теорема 2.1 (необходимые условия экстремума в задаче (3)).Если на кривой x * t   C 1 ([t 0 ,T ]) , удовлетворяющей граничным условиямx * t 0   x 0 , x * T   xT , достигается слабый экстремум функционала в задаче (3),то она удовлетворяет уравнению ЭйлераFx dF   0.dt xУравнение Эйлера интегрируется в квадратурах лишь в исключительных случаях. Приведем некоторые простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера.Первый случай. Функция F t , x, x  не зависит от x явно: F t , x, x   F t , x  .dУравнение Эйлера (9) принимает видF   0 и, следовательно,dt xF x   C1 .(11)Соотношение (11) называется первым интегралом уравнения Эйлера.Второй случай.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
307,46 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Лекции по теории оптимизации и численным методам
Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6487
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее