15 Основные понятия вариационного исчисления. Вариационные задачи поиска безусловного экстремума. Задачи с закрепленными концами (1013423), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Всякий сильный экстремум функционала является и слабым, аобратное, вообще говоря, неверно. Поэтому любое условие, необходимое для слабогоэкстремума, необходимо и для сильного.Необходимые условия локального экстремума одинаковы для сильного и слабогоэкстремума и определяются следующей теоремой.Теорема 1. (необходимые условия локального экстремума).Если функционал I x (t ) , имеющий вариацию, достигает минимума или максимума на кривой x  (t ) , где x  (t ) есть внутренняя точка области определенияфункционала, то при x (t )  x  (t ) первая вариация функционала равна нулю:I  0 .(8)З а м е ч а н и я.1.

Доказательство необходимых условий экстремума функционала опирается натот факт, что при фиксированных x * t  и x (t ) функционал I [ x * (t )   x (t )]  () является функцией параметра  . При   0 функционал достигает экстремального значения I x * t  . Заметим, что  может принимать в окрестности точки   0 как положи- тельные, так и отрицательные значения (при этом x * t  является внутренней точкой в области определения функционала). Так как точка   0 является точкой локального экстремума функции   , то, применяя необходимые условия локального экстремумафункций [36], получаем6  0 0 илиdI x * (t )   x (t )d 0.(9) 02.

Различие между сильным и слабым экстремумами не имеет существенного значения при выводе необходимого условия экстремума, но весьма существенно при выводеи применении достаточных условий экстремума.При выводе необходимых условий экстремума для различных постановок вариационных задач применяется следующая важная теорема.Теорема 2 (основная лемма вариационного исчисления).Если для каждой непрерывной функции (t )T a(t ) (t ) dt  0 ,(10)t0где функция a(t ) непрерывна на отрезке t 0 ,T  , то a(t )  0 на том же отрезке.З а м е ч а н и я.1. Утверждение основной леммы вариационного исчисления и ее доказательство неизменятся, если на функцию t  наложить следующие ограничения: t  имеет непрерывную производную; t 0   T   0 .2.

Все изложенное в этом разделе без изменения переносится на функционалыI x t   I x1 t ,  , x n t  , зависящие от вектор-функции x(t )  ( x1 (t ),  , x n (t ))T однойпеременной или зависящие от функций нескольких переменных. Для таких функционалов вариация также определяется как главная линейная часть приращения функционала идоказывается, что на функциях (вектор-функциях), на которых реализуется экстремум,вариация равна нулю.2. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКАБЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА2.1. МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИГРАНИЦАМИT2.1.1. Функционалы F t, x (t ), x (t ) dt , зависящие от одной функцииt0ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассмотрим множество M допустимых функций (кривых) x (t ) , удовлетворяющих следующим условиям:a) функции x (t ) определены и непрерывно дифференцируемы на отрезкеt 0 ,T , где t 0 и Tзаданы, т.е.

x (t )  C 1 ([t 0 ,T ]) ;б) функции x (t ) удовлетворяют граничным условиямx t 0   x 0 ,x (T )  xT ,(1)7где значения x 0 , xT заданы, т.е. кривые проходят через две закрепленные граничныеточки.На множестве M задан функционалT F t, x (t ), x (t ) dt ,I [ x (t )] (2)t0где подынтегральная функция F (t , x, x  ) имеет непрерывные частные производные довторого порядка включительно по всем переменным.Среди допустимых кривых x t  , принадлежащих множеству M , требуется найтикривую x  t  , на которой функционал (2) достигает экстремума, т.е.I [ x * (t )]  extrT F t, x (t ), x (t ) dt .x (t ) M(3)t0Так как на кривые x t  , образующие множество M , не наложено дополнительныхусловий, кроме граничных, задача (3) называется задачей поиска безусловного экстремума.

Этому классу задач посвящена вторая глава. В третьей главе рассматриваются задачи поиска условного экстремума, когда на искомые функции кроме граничных условий накладываются дополнительные конечные, интегральные или дифференциальныеусловия.СТРАТЕГИЯ ПОИСКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИСтратегия поиска решения задачи (3) состоит в определении первой вариацииI функционала I [ x (t )] и приравнивании ее к нулю согласно теореме 1 о необходимомусловии экстремума функционала.

В результате получаются соотношения, позволяющиенайти кривые, “подозрительные” на наличие экстремума функционала.С помощью анализа второй вариации функционала выводятся различные достаточные условия экстремума, позволяющие сделать вывод о достижении сильного илислабого минимума или максимума.НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИОНАЛА В ЗАДАЧЕ (3)Обозначим x  t  – кривую, на которой достигается экстремум функционала.

Тогдадопустимая кривая определяется по формуле: x (t )  x  (t )   x (t ) , а ее производнаяx (t )  x ' (t )   x (t ) , где x (t ) – фиксированная вариация кривой, x (t )  x (t ) –производная вариации,  – числовойx t 0   0 , x T   0 . Тогда*I [ x (t )   x (t )]  F t, xT*параметр. Заметим, что x t   C 1 ([t 0 ,T ]) ,t0где   – функция числового параметра  .8(t )   x (t ), x ' (t )   x (t ) dt  () ,(4)Используя формулу для вычисления первой вариации функционала, имеемd ()I dTt0 0ddTF t , x * (t )   x (t ), x *' (t )   x (t )t0F t , x * (t )   x (t ), x *' (t )   x (t ) x F x  t , x * (t )   x (t ), x *' (t )   x (t )TFx (t , x* 0 0 0dt x (t ) x (t ) dt (t ), x *' (t )) x (t )  F x  (t , x * (t ), x *' (t )) x (t ) dt ,(5)t0 F t , x, x F t , x, x , Fx – соответствующие производные подынтеx xгральной функции.В выражении (5) проинтегрируем второе слагаемое по частям, учитывая, чтогде F x x (t )  x (t ) , u  F x  , dv  x (t )dt  x (t ) dt ,T u dv  u  vt0du Tt0T v du .Отсюдаt0dF  dt , v  x (t ) иdt xI  F x  x (t )TTt0t0dF x  dt F x   x (t ) dt .(6)Так как x t 0   0 , x T   0 , тоTI t0dF x  dt F x   x (t ) dt .(7)Необходимое условие экстремума (8) в данном случае имеет видTI t0dF x  dt F x   x (t ) dt  0 .(8)К выражению (8) применима основная лемма вариационного исчисления (теорема 2), так как в силу наложенных ограничений на кривой x * t  функцияdF x  F x  является непрерывной, а вариация x (t ) – произвольной непрерывноdtдифференцируемой функцией, удовлетворяющей условиям x t 0   0 , x T   0 .Следовательно, кривая x * t  , на которой достигается экстремум функционала,удовлетворяет уравнению9Fx dF   0.dt x(9)Уравнение (9) называется уравнением Эйлера.

Если функция x * t  дважды дифференцируемая, то уравнение (9) можно записать в развернутой формеF x  F x t  F x x  x   F x x   x   0(10)и при F x x   0 представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.

Его общее решение x  x t ,C1 ,C 2  зависит от двух произвольных постоянных C1 и C 2 и определяет двухпараметрическое семейство экстремалей. Дваграничных условия x t 0   x 0 и x T   xT позволяют найти постоянные C1 и C 2 и,как следствие, кривую x * t  , на которой может достигаться экстремум функционала. Только на удовлетворяющих граничным условиям экстремалях может реализовываться экстремум. Чтобы выяснить, достигается ли на экстремали экстремумфункционала, а если да, то какой (минимум или максимум), следует использоватьдостаточные условия (см.

стр. 37).Теорема 2.1 (необходимые условия экстремума в задаче (3)).Если на кривой x * t   C 1 ([t 0 ,T ]) , удовлетворяющей граничным условиямx * t 0   x 0 , x * T   xT , достигается слабый экстремум функционала в задаче (3),то она удовлетворяет уравнению ЭйлераFx dF   0.dt xУравнение Эйлера интегрируется в квадратурах лишь в исключительных случаях. Приведем некоторые простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера.Первый случай. Функция F t , x, x  не зависит от x явно: F t , x, x   F t , x  .dУравнение Эйлера (9) принимает видF   0 и, следовательно,dt xF x   C1 .(11)Соотношение (11) называется первым интегралом уравнения Эйлера.Второй случай.

Характеристики

Список файлов лекций