15 Основные понятия вариационного исчисления. Вариационные задачи поиска безусловного экстремума. Задачи с закрепленными концами (1013423), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Функция F t , x, x не зависит от tиx явно:F t , x, x F x . Уравнение Эйлера (2.10) записывается в форме F x x x 0 . Егообщее решение имеет видx t C1 t C 2 ,(12)так как x 0 , а условие F x x 0 дает обыкновенное дифференциальное уравнениепервого порядка. Если уравнение F (x ) 0 имеет один или несколько действительxxных корней вида x ki , то получаем однопараметрические семейства прямыхx (t ) ki t C , содержащиеся в двухпараметрическом семействе (2.12).10Третий случай. Функция F t , x, x не зависит от tи x явно:F t , x, x F x или не зависит от x явно: F t , x, x F t , x .
Задача (3) в общемслучае решения не имеет, так как уравнение Эйлера (9) принимает видFx 0(13)и не является дифференциальным, т.е. его решение не содержит элементов произвола и поэтому не удовлетворяет граничным условиям. Однако, если решение уравнения F x 0 проходит через граничные точки t 0 , x 0 и T , xT , экстремаль существует.Четвертыйслучай.ПодынтегральнаяфункцияимеетвидF t , x, x P t , x Q t , x x .
УравнениеЭйлеразаписывается в формеdPx Qx x Q (t , x ) Px Q x x Qt Q x x 0 , илиdt P Q(14) 0.xtЭто уравнение не является дифференциальным. Если его решение удовлетворяет гра P Qничным условиям, то экстремаль существует. Если, то под знаком интеxtграла (2) находится полный дифференциал и, следовательно, величина интегралане зависит от пути интегрирования, а вариационная задача теряет смысл.Пятый случай. Функция F t , x, x не зависит от t явно: F t , x, x F x, x .Уравнение Эйлера (10) имеет видF x F x x x F x x x 0 ,так как F x t 0 . Если умножить левую и правую части уравнения на x , то леваячасть превращается в производнуюdF x F x .
Действительно,dtdF x F x F x x F x x x F x x F x x x x F x x x x F x F x x x F x x x .dtdF x F x 0 и имеПоэтому уравнение Эйлера может быть записано в видеdtет первый интегралF x F x C1 .(15)Заметим, что часто непосредственное применение уравнения Эйлера (9) оказывается проще использования первых интегралов.АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ЭКСТРЕМУМАВ ЗАДАЧЕ (3)dF и записать уравнение Эйлераdt xdFx Fx 0 .dtЕсли функция F t , x, x соответствует какому-либо случаю интегрируемости,можно использовать соотношения (11)–(15).1.
Найти Fx , Fx ,112. Найти общее решение уравнения Эйлера x x t ,C1 ,C 2 , где C1 и C 2 –произвольные постоянные.3. Определить постоянные C1 и C 2 из граничных условий, решая системуx t 0 ,C1 ,C 2 x 0 ,x T ,C1 ,C 2 xT .В результате получить экстремаль x * t , на которой может достигаться экстремумфункционала.12.