15 Основные понятия вариационного исчисления. Вариационные задачи поиска безусловного экстремума. Задачи с закрепленными концами (1013423), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Функция F t , x, x  не зависит от tиx явно:F t , x, x   F x  . Уравнение Эйлера (2.10) записывается в форме F x x   x   0 . Егообщее решение имеет видx t   C1 t  C 2 ,(12)так как x   0 , а условие F x x   0 дает обыкновенное дифференциальное уравнениепервого порядка. Если уравнение F   (x )  0 имеет один или несколько действительxxных корней вида x   ki , то получаем однопараметрические семейства прямыхx (t )  ki t  C , содержащиеся в двухпараметрическом семействе (2.12).10Третий случай. Функция F t , x, x  не зависит от tи x  явно:F t , x, x   F x  или не зависит от x  явно: F t , x, x   F t , x  .

Задача (3) в общемслучае решения не имеет, так как уравнение Эйлера (9) принимает видFx  0(13)и не является дифференциальным, т.е. его решение не содержит элементов произвола и поэтому не удовлетворяет граничным условиям. Однако, если решение уравнения F x  0 проходит через граничные точки t 0 , x 0  и T , xT  , экстремаль существует.Четвертыйслучай.ПодынтегральнаяфункцияимеетвидF t , x, x   P t , x   Q t , x  x .

УравнениеЭйлеразаписывается в формеdPx  Qx x   Q (t , x )  Px  Q x x   Qt  Q x x   0 , илиdt P Q(14) 0.xtЭто уравнение не является дифференциальным. Если его решение удовлетворяет гра P Qничным условиям, то экстремаль существует. Если, то под знаком интеxtграла (2) находится полный дифференциал и, следовательно, величина интегралане зависит от пути интегрирования, а вариационная задача теряет смысл.Пятый случай. Функция F t , x, x  не зависит от t явно: F t , x, x   F x, x .Уравнение Эйлера (10) имеет видF x  F x x x   F x x  x   0 ,так как F x  t  0 . Если умножить левую и правую части уравнения на x  , то леваячасть превращается в производнуюdF  x  F x  .

Действительно,dtdF  x F x   F x x   F x  x   x  F x   x  F x x x   x  F x x  x   x  F x  F x x x   F x x  x  .dtdF  x  F x   0 и имеПоэтому уравнение Эйлера может быть записано в видеdtет первый интегралF  x  F x   C1 .(15)Заметим, что часто непосредственное применение уравнения Эйлера (9) оказывается проще использования первых интегралов.АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ЭКСТРЕМУМАВ ЗАДАЧЕ (3)dF  и записать уравнение Эйлераdt xdFx  Fx  0 .dtЕсли функция F t , x, x  соответствует какому-либо случаю интегрируемости,можно использовать соотношения (11)–(15).1.

Найти Fx , Fx  ,112. Найти общее решение уравнения Эйлера x  x t ,C1 ,C 2  , где C1 и C 2 –произвольные постоянные.3. Определить постоянные C1 и C 2 из граничных условий, решая системуx t 0 ,C1 ,C 2   x 0 ,x T ,C1 ,C 2   xT .В результате получить экстремаль x * t  , на которой может достигаться экстремумфункционала.12.

Характеристики

Список файлов лекций