Р.Я. Глаголева, Р.Н. Молодожникова - Векторный анализ (1013175), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Ф Заметим, что независиРис. 27 мость интеграла ) а Ыт яе от формы пути в односвязной области 7' зквивалентна тому, что циркуляция векторного поля а вдоль любого замкнутого контура С в области Т равна нулю: фа~а" = О. Действительно, для произвольно- е га контура с,зафиксировав на нем две точки 4 игу, получим (рис. 27,а) ~асЯ= 1 аИг = ) а Ыг - ~ аа'~ =бу, С члтВОмВгл Мпая .48В если ) а, Ы~" не зависит от формы пути. И, наоборот, для любых двух Я + точек А, В, соединяя их дугами /, н )~ и составляя замкнутыу контур С=Д 0у", где у — проходимая в противоположном направлении дуга т",' (рис. 27,б), получаем ф ас~Р = ) аЫ~ - ) аЫГ =О.
а ) т откуда ~ 2Ы~" =~ О Ы~, т.е. ~аЫт не зависит от $о)лды пути. УУ' Д ле Локажем теперь, что для потенциальности векторного поля ~., непрерывно диФ4юренцируемого в односвязной области Т, необходимо и достаточна, чтобы оно было безвихреным, т.е. чтобы т'рЕа =О, Лействительно, если поле потенциально, то циркуляция его по любому замкнутому контуру равна нулю. Тогда согласно инвариантному оцределению вихря векторного поля имеем: й П Ф асЕУ ар- пиеа(м) =Ее, т " еО п 5 при стягивании контура О, в точку лт, а полагая тт =, РЕ О(ет), получаем )гоЕа (ь1)) =О и, следовательно, ~оЕО (м) =О. Ясли же вектоРное псле й безвихревое, т.е. если ТОЕТА =О, то по Формуле Стокса получим, что для любого замкнутого контураС фа Ыт = Ц(т.оЕО.,тг)гь И=О с у и, следовательно, поле а потенциально.
Замечание. То, что все утверждения данного параграйа снраведливы лишь в случае, когда область Г односвязна, видно из следуььдегс примера. - лГ-у~' Брюер 9. Лацо векторное поле ь2 = .Является ли оно Х потепуальным7 Найти циркуляцию вектора с~ вдоль контура ОУ: (х-2) .у = Е и вдоль контураОл.ж ы =я.. направление обхода положительное (рис. 2Я). Рев~ение. КооРДинатн вектоРа ~2 Равны Р= — ~ ь( е я Д +~ Х непрерывно ди$йеренцируемы всюду, кроме начала кооРдинат О(РОУ ФР д4' У --ж н — = — = е е г т.е. полеа с~~ Ас (хе+ у') потенциально во всей плоскости с выколотым началом коорщеяат. Контур С не окруяает начала координат.
Следовательно, зайдется одноовявная область 7ч (например, правая полуплоскость гтО), в которой Е потенциально и которая содериит контур С"г. Но тогдафаа'г.=О. с, Контур С~ окруаает начало коорди- Ряо. 28 нат, а потому не найдется односвязной области Т, оодериащей контур б' ° в которой поле ~2 бмзо бы потенциально, и, следовательно, утверадать, что цзряуляция ф йЫг равна нулю, мы уае не моаем.
Вычислим криволинейный Сл интеграл по контуру Сл, используя параметрические уравнения: б': х= ясоьг, и Кмт~Е,Одевал. Имеем ЗдР' Юэ' *~1~ ь- » ~(»» ~)»»~» е3 )аа. =,)' ,~ й' =Яр"УД ~Рл Р Из доиазавного в з 6 и т 12 вытекает эививалентпость следующих определений потевцвальности векторкого поля й (М), непрерывно двФФереицижемсго в одяосвязнсй области Т: 1.
Векторное поле ~2 (М) потенциально, если существует оиалярная 4йнкция 1Т(М), талая, что я (М) =уз'аЫ(у(Н)(((увлцяя7/ назизаетоя скисвсй или потенциальной 4~акцией, а гунявая У' -7/— потенциалом ). 2. Векторное псле й (М) потенциальыо, если его циркуляция вдоль любого замииутого контура ~', раопсяоиевиого в облаоти Т, р у: ФЪИ=а .Ю Т.
3. Векториое псле а (М ) потенциально, если его работа ие зависит от Фора пути, ооединамзего точки А и б и цринадлеазщего области Т. 4. Векторяое цсле й (М ) цотенциально, если оно безввхревое: У'лУ а(М)иО Т. Работа потенциального векторного паля й (М) при церемещении из точки 4 (ч,, у, .и, ) в точку Ю ( л',. у,,я~ ) возют бать вычислена двумя споосбами: 1) иак иак работа ) Еб(г не зависит от фо1мы пути, то выбирают наиболее простой цуть интегрирования; либо отрезок, соединя- щий точки 4 и д, либо ломаную со звеньями, параллельными осям координат (если зто возмоино); 2) находят потенциальную функцаю 11(х,~(, » ) по ее полному дифференциалу Ы 1/ =ад~~" = Р3х + Цс~у+А?~(», проводя те же рассуждения, что и в 5 6 при доказательстве достаточности условий полного дифференциала, илн используя окончательный реаультат (худ) х У и Щ,й ~ аЫР .~ Р<х,у,ййх+)~4х„уД3у.~К(х„у„ЖА» С.
(я у н) х~ Тогда работа векторного поля й будет равна прмращенею силовой функции ЕГ илн убыли потенциала У: Ф= И(В)-0~А) =У~А) -У(6). Прыг 10. убедиться, что векторное поле й=(»Х-Е)у+»,? + + (р-х)Х потенциально, н найти его работу црн перемещении из ,4 С1,0,1) в Ю (1,2,3). дР 42х-») Ц д» ФР А? 6Р Рещение. =2 — = — =б 'ду ду ~дх ду ду дх~д» Р(»х-Х) / сУР ФФ-х) сРР дг Л? 67» де Ат тх ' Ф» дх ' д» д» Ае д(Р- х) Уг?,т,Р =? е Ф~ Уу Ж» д~ Достаточные условия 1-3 выполнены во всем пространстве.
Найдем потенциальную функцию, беря в качестве точки (х,,у,,», ) начало координат 0 (0,0,0). Тогда х У Е и 0(х,у,и)=~ Р(х,у,»)Ах-е~Я(Оулу ~ ЯООЯй+С4 (2х-»)Ах~ е о о У я +~Ъ(Я ~ОЫК+б"=х -»х+у»+С н оу=0(д)-У(4=4. г е о ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕ))ЪНОГО РИАКНИЯ 1. Вычислить поток векторного поля й через поверщность,у (сторона поверхности Л указана направлением орта нормали гг ): Л 1) й = х Е;,Т - часть плоскости у,~х, вырезанная плоскостями Х.О„х=(,».0,».3; об~(й Ых)сГ. 2) а =х?+у~'~»,4;,Т вЂ” часть плоскости» = 3, вырезанная хе л'"' цилиндром — — = ? В =-1 дл 3)Й=И-ю ),> — часть поверхности конуса е леул >за- ключенная между плоскостями и = Г, И=4; ( >з, Ои ) > 2 ' -л Д, 4)Й=Л1+ф+ЕА; > — часть плоскостил+И = 1, вырезан-л тая плоскостями з -О, .х = О, у=О у = б; (Я" ,Оя ) с ~ 5)Й Хз +ну ЕХ; Я вЂ” часть поверхности параболоида й'.т~+у, отсеченная плоскостью в=4; (Я," Ои) >л ' 6)д хЕ+ф~ -л А;,> — пластинка ~*я", Окх Я, Онй.м ~, Ял д~ ) з 2.
Вычислить поток вектора Й через внешнюю оторону замкну- той поверхности,Б, используя йормулу Остроградского — Гаусса: 1) Й=И+ф+я~й; Л вЂ” полная поверхность призмы, ограни- ченной плоскостями г+у=~ Х=О,у=О, к= О,Я=5; 2)Й =Х (+у,~;,5' — полная поверхность цилиндра 'иь((х,унъугл у'-.~", Олтан~; 3) а .хе+у~' +у й;,> — полная поверхность тела, ограничен- ного параболоидом й'=Ф-л"л-~ и плоскостью Е=О; 4)Й. Л г' ~уз~'+Е>А;,> — полная поверхность тела, ограни- ченного с$ерой х у*Е =Р, ковусомг=гх~+у' и плоскостью г г г г й'= 0; 5) Й* Х Е+~ у ~Е А; .> — полная поверхность конуса У: ОмЕеГ-~х +1~ 6)Й=ГйЕ-у~+яХ ),> — полная поверхность тела Р': ~,г, г 3. Используя различные приемы, вычислить поток векторного поля а через поверхность 6 : 1) ы=лГ-ф." яй;,> — часть параболоида х ~уз я =О, отсе- ченная плоскостями л'= О, у = О, Я = -4 и расположенная в оп- танте .т>О, р>О, имО; (Я~Оя> ' е ) 2) й=(~Е)с+(я -.я)~ + (х-уМ; > — часть конуса К=Ы+у~ отсеченная плоскостью Е=4, (Я, ОН) >~ ) 3)Й=Х1+Гу/-ЕХ;,> — часть поверхности Ф-Е=я+у отсев.
ченная плоскостью Г=О, (Я," Ол) ~ у; 4) Й=УХВ ь Фрт-(яу+Е .я') Е;,> — ЧаотЬ ПОВЕрХНОСтИ цнпнпд- рау=/-л'~, вырезанная плоскостями ~=О, Х=>, Е=-3; Я ф)с~Я; 46 г гт г 5)й=(гс-ОХ . р ~' . (и-1М; Я вЂ” часть поверхности цилиндрах я = 1, вырезанная плоскостями %= О, у = +-1; (ягО); г (Д зО=,) >Х 6) Й=Гя+Е)Т ~(х+у)~' ~1у+я)Х; з — часть поверхности цкаиздрал юг=У, отсеченная плоскостями «=у; я' = 0 (ЯаО ); г г ( Я ~ О у ) х.
7) Я=ЗХЯГ -Х,(+М;,У - внешняя сторона боковой поверхности призмы, ограниченной плоскостями у= л,у=Яж,х+у =Я, И=О к=4 ' 3 зт г г г 8)О, .д' у+у~+я А;,о - внешняя сторона с4еры.и+у+я=Фл" В)а=уз .п~-л'А; Я вЂ” часть плоскостил+у-Фя=б вырезан- г г ~.
( — ~Од)л Я" 10)й=угт+Х~+х,е; Я вЂ” часть параболоида д'=Я(~-.ш-у ) отсеченная плоскостью Е О; (Я, Ое ) ~ д 11) й=уИ+д'я,)+.ш ~ л; .с — внешняя сторона полус4еры г: ~7-~~ г", 12) ймлЬ ~-р А;,Я вЂ” часть параболоида у=.и+у -Ф отсеченная плоскостью Я'=О) (Я;"~Я) ь —; 13)й=ХЕ Лй~ - Е А;,У вЂ” часть поверхности конуса Я'=Ф-й~ ~г, лежащая в 1-и октанте. 4.
Плоскость (Р) вмес- Е те с координатными плоскостями образует поверхность не- г С которой пирамиды. Требуется с помощью формулы Остроград- Ъ Ф'к ского - Гаусса найти поток йе полн вектора О,ОРчерез по- %о .в ~~ я 4 г ленин внешней нормали; в найти сиркуляцию поля векто- ~ ЮЗ ра ~2=И(л1) вдоль линии пе- 4 яу ресечения плоскости (Р ) с А координатнами плоскостями непосредственно и по форгуле Рис. 29 47 Стокса (направление обхода линии интегрирования указано на рис. 29): т) а= х г +(хя-у,),~' + х уХ, (Р) ЛХ у+2иш2; 2)а =(Х+И')Т+Хя~ +гхуй.
(Р) УХ+3~ ~. Е =б ) З) а=У'ХГ+Х~' '(ХУЖМ.. ОМ ГХ+ЯУ+Я=Я; 4) Гш фХЕ+(Т +Яф/ +ХЯК, ~Р) Х+ЗУ е 2У шб; 5) а =аль+(Хг+ЗУ)7+Х УЯ, 99 Х+У с.гг =2 ' Е) а=Газ +(Х+У)~ +ХУД, Ж Хт8~+~ЕсФ 7) й = ~УФ + (Х~~+Бф/ + ~ 4 (Р,) х+.гУ гХ=г. 5. С помощью 4ормулы Остроградского — Гаусса вычислить по- ток поля вектора г7=2(гЧ) во внешность замкнутой поверхности,у: Г) а=(Хя-у)т ~Ну ~ХМ 8- полная поверхность цилиндра Т ~Х+у я~. Ош Еш1~ ° 2) Йш Х~ ю'+~Ц+(Х Я'+Е )А, .у - поверхность вера Т ~х~~ул,а ям )г г з) а=г, Л - любая замкнутая поверхность; 4) а-- —, г"=~х у +и РП T 7" з Л;произвольная замкнутая поверхность, содержавшая внутри начело коордвнат; 5) ашХ 4+У~ я М' г г г г г Л-поверхность телы 7 ~Х +у +у ш /~ л' +у мя, явО).
6. Вычислить двумя способами, непосредственно и по форчуле Острогредского - Геусса, ноток векторного поля й =йОч) через замкнутую поверхность Я: 1)а =(х «)4 +(х+у)) +(у+я)Л, Я' х +у =Я~, х+у+гвУ, 2э0) 2) а=ул~ -Л'~,. Х х =/-у-Х. х 0,ух0, нл0; 3) а =2ху1-у~ .ехй, г:х у и вм,х О,ул0,2' 7. С помощью Формулы Стокса найти циркуляцию векторного по- ля а=а(Юпо указанному контуру у 1) а=(Х-2Н) 7+(х+Зу+КЦ +(бх+уй. 1"-контур треугольника Ядь", 4((,0,0), 9(0 (О), 0(00, У); г) а = у~г -х у' 'я~~,, у'- линия пересечения поверхности х =4-у-л' с координат- ними плоскостями Х=О у=0 Е=0) Р' з) а= —, "- хл ул+нл /- ' у ~": Х +у =2Х, Х'+у'+И -4х) 4) а =уй (х-(),/ +КА. Я у. ,)-: (Х-2) (У-Ю +(2-.г) =У, 2'=-; Я ) 5) а = уу ~-я/' ~-хЫ, /: х=,ть"и4 б, у= — буга 24, м=у2 пугг 6.
уТ 8. установить потенциальность поля а =а(М) и найти его потен- циал: г. ~) а=(2хану-уипх 44 (2усо4х-х уугц-г)~', 2) аобу+ул+дс'+(х "2у)( + (Зх+Р В; з) а (ух-2х)Т+(хн-2у)4' -худ; 4) а бх г'+усозьх+2н)/' .аи(яу+3г)Г ) 5) а=Ху(ВХ-4у)г'+Х (Х-Фу)(' +УХЛ Х; хь' ~ уу' е) а= а= (-уГ+х.) ); ~х'ут = "ю' ' ~ т) и=/о)~', ~~ у Р (центрально-симметричное поле). 49 ЗкзАьенАПНОВИАП НРОРРАииА ПО ИАТКИАТИЧЮКСИУ АКАЛ)Ы (П СКИВСТР) Приложение Р а з д е л 1. Интег ьное и числвние нк шфрьш~~у 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
