Р.Я. Глаголева, Р.Н. Молодожникова - Векторный анализ (1013175), страница 6
Текст из файла (страница 6)
° - =рсгуг а+(ггг.асср а) ~дд / (д~ замечайий 1. Форггула Остроградского — Гаусса ИЗ) с учетом выражений для потока и дивергенции векторного поля из Равенств «26) и «29) может быть записана в векторной 4юРме: ) (а, й) с(б и Шг(С гса г~ К, и где гг — внеюняя нормаль к 3 ; гг гс — элемент объема.
Она означает, что поток векторного поля а через замкнутую поверхность Л равен тройному интегралУ от дивергенции вектоРного полЯ пО объему, ограниченному этой поверхностью. Замечание 2. Б ряде случаев при вычислении потока вектора через незамкнутую поверхность 3 целесообразно дополнить ее поверхностью Буся До замкнУтой Япесн =Згlоггп ° В этом случае, используя свойство аддитивности поверхностного интеграла и формулу Остроградского — Гаусса, получаем ))(агг)г(г=))(а,й) гб-,Ц(а,гг)ггб-3Ц с(ггса с(к-Ц (а,й)с(ь.
Пример 7. Вычислить поток вектора а Х г' гг /+И А через внешнюю сторону веРхней полусчеры: 3г ж +у +е~ =гг . Решение. Дополним 5 до замкнутой поверхности 8 „экваториальным кругам в плоскости хОу . Дхя любой точки )бе 8 т д, вектор а(Ж=х~(«у~~ бУдет рзсполоиен в плоскости б(бф, орт но(аалн к,Туз„й=-й,а потому (а (М),Я) = О и Ц (а,й Мб = О.
Тогда, обозначая джей верхний псхушар через У', получаем Д ~а,ай= Д(а,й)Ь = Щ йз-а НК = Я3.з ()г'у'у'М ~= 8 4аым К Я =~С~(Р~СЭМИ~У).~б(г =ЛЯ.У (з = -,и'А'. З з б,т и о У Г л а в а 1У. ВИХРЕВЫЕ И ПОТЕНЦИзЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЕН $ и. оп 1. о Рассмот,озм сначала понятие вихря векторного поля на примере поля з" линейных скоростей частиц иидкости, вращашшейся с постоянной угловой скоростьш оз вокруг оси ь (рис. 21).
Рис. 21 Зафзксируем точит 0 на оси 1 и для произвольной точки я! вне оси обозначим через Р вектор ОгЮ. Тогда У(Ю ) Я,Р! . Зафзксируем теперь произвольную точку Мр и наберем в яей произвольно нацравленняй едвнвчннй вектор м . Проведем через М плоокость х, перпендикулярную вектору тт . Рассмотрим в плоскостк л' контур С, оксуяатщяй точяу Ме и ограничивающий площадку площадью Л. Зайдем выракение для циркулями вектора У вдоль контура С и исследуем зависвмооть ее от выбора вектора гг и контура С в ялоскооти Я'.
Заметим, что вектор У1Л, а потону работа его вдоль пути, пщаллельнсго оси 1, будет равна нулю, и, следовательно, циркуляция вектора э' вдоль конту(м С будет равна пярзуляцни э' вдоль его црсекцаи С" на плоскость О', проходящую через точку С перпенднкулярно 1 . Пусть Р - произвольная точка контура С, Р"- ее проекция на плоскость Г, т'" =ОР", С6" "= 'Р "с11 где 2' " — единичннй касательный к С" в точке Р вектор, а Ж - элемент длани дуги контура С". Имеем! ф~с17 Ф ~от " =фСеюг "),т'")сИ1 =ф(Й,Е7.",т "Я)й1. С С" С" Сю Так как вектор !)"", Г" ! вмеет одпаковое направление о вектором Й или противоцолокное в завиовмости от того, будет ли Ря~А,„6 илиРя, А~6 (рис. 22), то соответственно (м,1, ",е "Цс11= и!м! ((г", 2' "1!Ы1=т(е)!(Гг,"а!т."31= и )м! я я„цр.
где Р"Т =ЫР", Рис. 22 Петпудно видеть, что тогда 37 где Я * — площадь области в плоскости д , ограниченной конту- ром С " и являющейся проекцией области, ограниченной контуром Г. Поэтому У"" = ЗСРЗЯ,~Й). Таким образом, циркуляция векторного поля гг вдоль контура Г равна Г=ф У~тч =!Ю(Лысое(й, су)=Х пр.— (ДЫ). а средняя величина циркуляции, отнесенная к площади 8: — ф ггпу Р = пр.
„- ('Гй), С уже не зависит от контура Г в плоскости У' и площади у., а зави- сит лишь от выбора вектора й и величины угловой скорости Й . Следовательно, в этом равенстве можно перейти к пределу при стягивании контура Г в точку Ме . Таким образом, вектор, равный удвоенной угловой скорости сй , обладает следующим свойством: каким бы ни было направление вектора Я в точке Ме,. р.„(яйу= йит ~р ~ Испуг) С при стягивании контура Г в точку м, .
этот вектор называется ВЭХРЕМ ИЛИ РОтором векторного поля ту и обозначается г ут т7'. дадим определение вихря (или Ротора) для пРоизвольного векторного по- ля а (М), инвариантное относительно выбора системы координат. Проведем через точку М плоскость Лп с нормалью .г и в ней окружим точку М контуром С, . Пусть Лм — площадь ограниченной контуром Г,, области в плоскости т, Вихрем векторного полна (М) называется вектор, обозначае- мый г ау а(М) и удовлетворяющий условию: ф айаг Уй ар т'оЬ а!М) = Его Рг 8м (30) при стягивании контура Г„ в точку М , если этот предел существует.
Можно показать, что в случае непрерывно диффереэдируемого векторного поля й (М) гог'а(М) существует, 2. Пих ь векто ого и ля в ека товых ко т Пусть а =Р1 + 4/' + а!А, где Р, Д , уу — непрерывно дифференцируемые !!!ункции координат точки М(л',у,и). Покажем, что -. (дЯ !уЦ'1 -.(ПР !уК 1 — (дЦ дР '1 уч!га = ' ~ — — — ~,(~ — — — ! - 1 ~ — — — ~), (3Б ~ !уф !уя) ~ ~ !уя дх/ [ дх д'у /' Покажем сначала, что !у!т д4' Х пр, пМа* — — — ° !у~ !уХ Лещ П плоскости, проходящей е( в через точку !ч (Х, у, Я ) перпендикулярно оси б!л, рассмотрим в качестве контура С прямоуголь- М! !Д ник ЮАЬуу с вершинаыи !ь) ( !с, у, д ),.4(х,у лу, и) 0 ! у ! у+ау у Ю (Я В~ЛВ «~Ли) л ! г В!(л,у,г ыя).
(рис. 23), где дую,литр, тогдаФ а<К. = Ф „„= с Рис. 23 МЛ ЛВ ВК НИ ПРеобразовывая криволинейные интегралы в определенные и применяя теорему Лагранжа и теорему о среднем для определенных интегралов, получаем Р .1В л" фя У"у е"лу фаН!==~ а(храбр ~!Г(лу ля~И~ -~ Фхр у луЛф-~УФуб~~~.= г У В У В и аи У"У =1[я(ж,у+Ву, «)-ГФ,у, ~АЙ-~И(х,р,и ли) - !~!(л',р, 2)1с~р = Я и+ля У"У = ~ ~)2„(к,р„~)лу|Ы~ - ~ Г4' (уо,р,~:)у~3Ыр= и у =й (Х,Р„~;)ЛУ УИ- 4,, (Д,РЛ,~;)Лл ЛУ, 39 где р,р дават мевдуу иу л», а»,, » — меиду» и Ф*ФЯ. )(клее, Л*Л „е„кд~ ги. Тогда в силу непрерывнооти фунюдй А~(я,п,» ) и (у (г,ы,и) юр;~шло(й)=Имбп ~ - уазой) ~ — — — ) ~ 1' Алалогичнофе тыуе(мм) (( — — — (~,гр тпя(н)=(( - — /~ (»» дл/~мФ,ул)' ~ (дя ду/~ ~ «у»).
йспсльеуя выреление (31) для ~'ы»а в координатной форме, нетрудно непосюдствевюю дифференцированием убеднтьоя в опьаведливооти азедуююх овсйотв: 1МйгюМ е О (т.е. иоле вихрей соленодзыльно)) 2) НИ Ь) гита ой) 3) то~ (ра) = угоИ+ ЩгтЫлр, а~ (здесь ~ - нещерывно-дифференщщуемая функция) . 3. ~~цщййй Сййййй (доказательство ввиду громоздкооти <щускается) . Пусть векторное поле й непрерывно-диф)вренцщиемо в одноовязной облаоти Р . Пуоть кусочно-гладкая поверхность 8, ограни- ченная контуром С, располакеыа в области Р, и "э Й - единичный вактор нормали к с, из конца которого обход по контуру С виден совершающимся против часовой стрелки ()аю. 24). Тогда (32) ~айР Ц (г.о~а,й)с8б, Рис 24 с т.е. пнрвуляция векторного поля й по замкнутому контуру С равна потону вихрей поля через поверхность 8 , натянутуш на этот контур.
В координатной форме в декартовой системе координат равенство (32) при й =РУ+9/ +АМ запишется так: ~ Рй«г+ Яо(у +Айзр — — — )фт~( — — — (ЙЙ+~ — — — )Ыу. ~~/де дй) ) дР М ) lд 2 Я«у у«/ У ( д» дл/ ! дк юу! Замечаний 1. Значение циркуляции З аНт; вычисленное по формуле Стокса (32), не зависит от выбора поверхности, натянутой на контур С и принадлежащей односвязной области З .
)(ействительно, цусть Т, и 5л — две поверхности с краем о , расположенные в области,Р 8 (рис. 25). Рассмотрим в Ю поверхность 8, натянутую на контур б' и доцолнязюпоо до замкнутых поверхностей каждую из данных Л,и 5л. Тогда в силу соленондальности поля вихрей е по формуле Остроградского — 1вусса получим Рис. 25 Д (гРЕа,йле5=,ЩЫЕ~ грЫЫг~=О, Я,ыял г~ ,')) (~оЬа,й~А5= Щ Ыуы г ой а йи.
зО, 4ФУЕ откуда следует, что Д (ЕрМ,йЛЕ5 = Б (е о1а,й) с~5. 3т 5з Замечайие 2. Лля нахождения выражения г рЕ а через координаты вектора ~2= ~Р, 4', Я1 Удобна запись в виде следующего определителя: 1 д д дх Эу при разложении которого по первой строке под умножением, например, — на Ч следует понимать ышолнение операции дифференциро- У ' ду ванна по у от функции Я . Так, для вектора с2 =,ГРю' — я~ <"~.им т дд БузЕЕ 1)(.х е"е Пруер 8. Используя формулу Стокса, вычислить цириулягни векторного поля а = (Р+Гя) Т+ (я .Ех )у + (к~2у )Х вдоль кон- тураС:.к+и ~я =ЕЕ,л у+и=О (обход по контуру из точ- Г ки (0,0,1) виден совершающимся против часовой стрелки) (рио. 26), Решение.
Л качестве Я, натянутой на контур С, Рассмотрим часть плоскости Л-з я=ЕЕ с единичным вектором 1г, равным !й( где (с учетом указанной стороны поверхности,~ ) У=~1,-<, 1~ т.е. Е -~' Ю Далее д ду ЯФ,гя го~а= Рис. 2Б Тогда по формуле Стокса получим )~В:))ь~ ~,шю-))(~Р-~ В )~~=~~ т 12.
Условия поте ьности некто ного поля В $ Б было показано, что для потенциальности непрерывно двфференцируемого в односвязной области Т векторного полна(М), являющегося по определению полем градиента некоторой скалярной а) функции 1/, необходимо и д ф „ 3 достаточно, чтобы работа его не зависела от формы пути, а зависела лишь от у+ начальной и конечной его д точек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
