Р.Я. Глаголева, Р.Н. Молодожникова - Векторный анализ (1013175), страница 5
Текст из файла (страница 5)
8:я=Д(у,ю В ®Яу»Р где ~=~, = ун, знак "+" ставится, если с = (Я,'Ох) л К, знак "-", если с > ~ (сведение к двойному интегралу по проекции Х на координатную плоскость хОя предоставляется сделать самостоя- тельно). 27 Пйймйр 5. Вычислить интеграл 1 8 =,ЦЫуЫи'уЖМи-яЖсИу,где 3 — часть Я 2 параболоида У=а -х - у, лежащая в первом 4 октанте. Нормаль к выбранной стороне поверхности образует острые углы с осями координат (рио. 14). (1 У Реййййй.
Воспользовавшись фо)леулой(17) ° о Ю получим де -,(~ - — — = — (-Рх) х дд' Рис. 14 -К=- — =- ('-гу) де ду ~ +ф~я 'Ч, (д,~~ у )Ы2г~у= Ц!хт ~-а2)гдтдлр = Ю=((х у_#_х~+уееаз, л ео, у во~ р~=((т;Ф(, иа, ее ил) .~~ а („~ (~~д,ъ 2.,~д х(у ь 21 г') ха~ з 8. Формула Остроградского — Гаусса Эта фореула устанавливает связь поверхностного интеграла второго рода по замкнутой поверхности с тройньм интегралом по области, ограниченной етой поверхностью.
Пусть Я вЂ” гладкая или кусочно-гладкая замкнутая двусторонняя поверхность~ ограничиваюзая область К, и функции Р (х,у,Е ), о( (Х, у, Е ), ~~ ( х, у, Е ) непрерывно дифференпируемы в замкнутой области Р. Тогда (дР д4' дф] Я ~~ ~РсЬ~ЙИ ~Яс~ХАН+КЫХС~У=Щ( — + — т — 1ЫХа(Усй (18) ( д2с ду ди у где поверхностный интеграл берется по внешней стороне поверхности Я . Рассмотрим первый случай, когда замкнутая поверхность у состоит из трех кусков (рис.
15):Я,: У=~р(л,у), (х,у)я1т, 32.' ~=фйф, (х ~у ) е Ю ~ 'т" (Я' ~у ) и (д (л' ~у ), фу — пилиндрическая поверхность с образующими, параллельнаеи оси Ои. Тогда ,Ц ~Ро~ ту=Я вЂ” ЫдЫу И. дк (19) Ю дх )(ействительно, учитывая, что Д Их~у = О, получаем: ~з ДЯ(х,у,нЫлчф =Я КЫ,у,гЯхЫу+,Ц Кй,у,й)ЫхЫу = ~г =-ЙР [х, у, Ч(х,уЪ~АхАу+ ~~Р( д,~,Р~х,рУуг3~ . (2О) Ю з С другой стороны, г=Ф(х,уР٠— ~~к~~~ *Я~х~у~ фЫ =ЦИ(д;~,РацЭ-Оу, Ь~))~Ь~~(.21) Я ~-(А'х,р Из (20), (21) следует (19). Равенство Ц9) допускает обобщение на случай, когда область Ь' , ограниченная поверхностью 3, может быть разбита на конечное число областей )~г, й = 1, ..., ~и , рассмотренного выше вида (Рис. 16).
ПУсть 5; — гранина У;, 8;. =Яу 03, IТ»=Л;Л3» . Тогда Щ Ыуй 2. Щ ' ~ук~ ~Ц~М ау ~~1МКгу ~:~~~й ' гу » $ г» Рис. 16 Рис. 16 Так как Кг',» ))АМха~у входит в первую сумму дважды, но по г. противоположным сторонам поверхности Г» (один раз по внешней стороне границы Рг, другой - по внешней стороне границы ъ» ), по ту же сторону от поверхности У, что и орт нормали й; в точке М; к выбранной стороне поверхности, и со знаком "-" в противном случае, Таким образом, яП1 =+н~у )гу = (а(му),йг) у81, а поток жидкости через всю поверхность З будет равен Ф П= 1югп Д л Пу=йггг .у." (а(М1), й;)узу А Оу / А 0 уг (здесь Л вЂ” максимальный диаметр ячеек яЯ,, ..., .уЯ, ), если этот предел существует, конечен, не зависит от способа разбиения поверхности и выбора точек М,, ...,Мж .
Этот предел есть поверхностный интеграл первого рода /7=,~~ (а,й)Ыб, (24) Для произвольного векторного поля 47 (М ) потоком его через поверхность 3 по определению называется поверхностный интеграл первого рода от норыальной составляющей вектора й(М). При изменении стороны поверхности на противоположную (т.е. при изменении направления нормали на противоположное) скалярное произведение (й,тт ) и, следовательно, поток векторного поля изменят знак. Пдщео 6. В каждой точке М вектор поля Й (М) равен радиусу-вектору 7~.„ точки М . Вычислить поток вектора ~2 (М ) через внешнюю сторону полной поверхности кругового конуса с вершиной в начале координат, осью на оси ди, радиусом основания Я и высотой Н Ъ Ъ (рис. 18).
Решение. Поверхность 5 состоит из боковой ковер~ности Б~ и основания Ял, О у Искомый поток в силу свойства аддитивности поверхностного интеграла будет равен Рис. 18 П=Я(а,йМб =Я(а,й) й+Д(а,йМь. Я Ю, ял В каждой точке боковой поверхности т радиус-вектор точки уч ортогонален корили Я, а потому (4~,й ) = О и, следовательно, ))(~,й)А=О . На основании конуса Я: (а,й ) =лр й =Н, и пото- Я й му поток будет равен 31 /7 ~~ ( Ц, П) с~ 5 = Й Д с~ 5 Н. Я У . Ял 2.
Пот к кто го поля в ко тной пусть а (м) =Рх+цу +и, й=еачж'угр5уу Ада",где Р, 4~, Я и направляющие косинусы являются непрерывными функциями координат точки М(л;у,»5е,з. Тогда П=Ц ( Рса5м+Цсо53Ь . псоу~ )А5, 5 (25) в согласно формуле (14) Л '55РсЬ~гУ» Цйхй» + Рс~хсЬ~, (26) Ф В сад~чае заьщнутой поверхности Я, ограничивающей областьУ и непрерывной дифференцируемости векторного поля а (М ) в точках К иЯ пРименима фо1мула Остроградского — Гаусса (18). Тогда (в случае внешней нормали гт ) 17=Я ~ — — — У Ях~у й» .
ГдР д4 ьт т'~ (27) К ~ дх ду дк! В частности, в предыдущем примере имеем а(М)=.тГ+ф+М и по формуле (27) получаем п=Я у- у- Вйя Ь~й» =з.~~ ля'И =ууа'и. У' 10. е ге о ого по 32 1. е ел е ге Пусть а (И ) — непрерывно дифференцнруемое в области Ю векторное поле и Я вЂ” замкнутая кусочно-гладкая поверхность, прннедлезая области Ю вместе с ограниченной ею областью К .
через одни точки поверхности Я (точка М~ на рис. 19) векторные линии поля входят внутрь облзсти $ , а через другие (точка Мл на рис. 19)— выходят изнутри области Р . В первом случае угол межи вектором полн ьй (М,) и внешней нормалью Я к поверхности Я тупой, а потому поток АП,=~а~МДй )А5 через элементарную площздку гй поверхности л в точке М~ будет отрицательным. Во втором случае угол между вектором й (Мл ) и внешней нор- а Гм~) мальв тгл к поверхно- г сти 5 будет острж, и поток м/7;=Й2Жг),мг)сй через элементарную пло- л шапку а~у поверхности о в точке Мл будет поло- 4у жительным. Суммарный поток чеРез всю поверхность Я может оказаться Рис.
19 положительным, отрицательным или равным нулю. При гидромеханвческой интерпретации вектоРного поля й (М ) в первом случае это соответствует тому, что количество жидкости, протекшее за единицу времени через Я изнутри области К, больше количества жидкости, протекшего через 5 внутрь области К, во втором случае — меньше, в третьем — они Равны. Эабмксируем некоторую точку М аЗ. Если для любой достаточно малой окрестности этой точки, расположенной в Ю и ограниченной поверхностью Я , поток П= ~~(а,й)а'е ~С7 ( О ), то говорят, что л в объеме, содержащем точку М, распределены с некоторой плотностью источники (соответственно стоки).
Под объемной плотностью распределения источников (стоков) в точке М понимают предел отношения потока векторного поля й(М) через поверхность Я, окружающую точку М, к объему $' области, ограниченной этой поверхностью, при стягивании поверхности 5 в точку М . Этот предел, если он существует, конечен и не зависит от способа стягивания Я в точку М (можно доказать, что зто так в случае непрерывно-диКеренцируемого векторного поля), называется дивергенцией векторного поля й (м ) в точке м и обозначается так: Аз'гу(М).
мы пришли к опРеделению дивергенции вектоРного поля, инвариантному относительно выбора системы координат. Яиййюййя' Пу 'Е- '' ' Р- ность в области Ю, ограничивающая область, содержащую точку М и имеющую объем р . дивергенцией а~й'й(М) векторного поля й (М ) в точке М называется 33 Ии,я>ы йг а()щ)=йт Я (28) в и ям гольной е о ой си ме к о а . пусть а (иУ ) = Г Р (Я,У,е ) +/4 (х,У,и ) +Х>Г (Я,У,й), где Р, 4~, Я вЂ” непрерывно дис)йеренцируемы в области Ю . Выражая поток Д~й,РУИ 3 в равенстве (28) по фоуьауле ОстроЛ градского — Гаусса (см.
(27)) и применяя к тройному интегралу теореьу о среднем, получаем Жца(м) =йт -(игу к' я-я 1Г Итак, (29) при стягивании поверхности Я в точку Ру , если этот пРедел существует, конечен и не завиоит от способа стягивания поверхности Я в точку Р/. Из сказанного выше следует, что если Йнй(М))0('Р), то точка м — источник (атак). В случае, когда ыуг а~Ф)ы0 в области Ю , т.е. когда векторное поле а в области З не имеет ни стоков, ни источников, векторное поле называется солениодальным. В соленоидальном векторном поле векторные линии, очевидно, не мотут пересекаться (сходиться в точке, являющейся стоком, или расходиться из точки, являющейся источником), а могут быть или замкРис. 20 аутами, или иметь начало и конец на границе области.
Нетрудно видеть также (рис. 20), что в соленоидальном векторном поле поток через любое сечение векторной трубки одинаков. 2. В ение е ге ~й Й че з кос наты векто 3. ойс ге 1) дш(а Ь)=сЬгса +гьгйггЬ ) 2) ггггс(р а) =рАМа ~(аг"ас/р,а). Действительно, пусть а=Рг+Чг~' й,й Ь=Рг'~Ц+М. д(Р Рг) д(г)г+Ю дФ,+Щ гдР, дг), дР! ) сг Еюг (а+ Ь) — '~ + — + — = ~ — '+ — ' ь — ' /+ дх дгг дй «дх ду ди / (дРл д4г ФЕ, ) +~ — т — + — ) сгйта+сггггЬ ) ~ дл' ду ды / д(рРг) д(ргЦ д(ргу,) дР, др ггггг(ра) = —.+- да" д~ дд дсс дл + Р =р — '+ ч- — р -г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
