Р.Я. Глаголева, Р.Н. Молодожникова - Векторный анализ (1013175), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Г л в в а Ш. ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ДИВЕРГЕНПИН Лля впадения унаеанных интегралов необходимо понятие двусторовней поверхности. 1. с Рассмотрим пример. Оклеивая две стороны 46 и СЯ длинной прямоугольной бумвкнсй полоски ЮСЮ(ркс. З,а) один раз так, чтобы точка А сомтала о точкой.Р к точке В оовпвла о точкой С (рио. 8,б), а другой рае так, чтобы точка А совпала с точкой С а точка В о точкой Ю (рис. 8,в), получим две поверхности: парная - циюпццмческая, вторая - лист Мебиуса. У них есть существенное рееличие. Полк раонраиивать, не отрывая кнотк от бумага и не переходя черве края ВС и Ю цилиндричеокую поверхность, напркмере с кнеиней стороны~ то Внутренняя сторона останетоя нееедраиеикой.
У лкота Мебиуса иеаакраиенной чаоти поиврхности не оота- нется. Пкююпцическая поверхность является примером двусторонней поверхности, лист Мебиуса — одностороыней. "аат лизи Рис. 8 Указанное свойство поверхности можно также охарактеризовать следухщим образом. Рассмотрим в црямоугольнике УЕЛ) среднюю (пунктирную) линию ЕЕ, параллельную АР и ЬГ, и ее образ на цилиндрической поверхности и на листе Мебиуса.
Выберем в точке Е ЕДИНИЧНЫЙ ВЕКТОР НОРМахн й„ац К ПОВЕРИНОСтн И РаоСМОтРИМ НЕЦРЕ- равное изменение его цри движении вдоль ЕЕ на поверхности. В точ- КЕ Е ВЕКТОР НОРМаЛИ ОбаэкаЧИМ ЧЕРЕЗ йца . В СЛУЧаЕ ЦИЛИНДРИЧЕС- кой повепхности будам иметь й ац- -йка» (Рис. 8,б), а ДИЯ лИста МебИУса йкац =-йнац (Рис. 8,в). Итак, гладкая поверхность 5 (т.е. поверхность с непрерывно вращающейся от точки к точке касатеяьной плоскостью и, следовательно, нормалью) — двусторонняя, если для любого замкнутого контура С на 5 , не пересекающего края,8, единичные векторы корали к Л при обходе контура С в начальный н конечный момент совпадают, н односторонняя, если зти единичные векторы противоположны.
ВыбоР стороны Двусторонней повеРхности онредеЛяетса наЦРавлением вектОРа нормаян К .У . Поверхность с выбранным ортом нормали к ней называют ориентированной. Будем говорить, что, находясь на выбранной стороне по- "к верхности .8, мы обходам произвольный замкнутый контур С, принадлежащий,У, Ак в положительном направлении, если из конца выбранного единичного вектора нормали й к Я обход контура С виден совер- йй шащимся против часовой стрелки, и в отрицательном направлении в пРотивном случае. Рис. 9 21 Если поверхность з кусочно-гладкая, склеенная из конечного числа глддких двусторонних поверхностей Лг, е = 1, ... ) 7~ь то выбор стороны у любых двух смежных частей должен быть согласован: при склеивании Лу с 5д пРи положительных обхоДах из кРаевЯ и Я дуга у:д =ГИГ~ долина проходиться в противоположных направлениях (рис.
9). 2. е о йс а о г н г рйыия лий. Пуоть Я вЂ” гладкая ориентированная двусторонняя поверхность, однозначно проектирующаяся в область З на плоскостиЛОу, и на ней определена непрерывнал Функция ~ ('с,у,Е ) (рис. 10). Разобьем Л на Ф ячеек а8~....,сМ», и в кажной ячейке 2)41 выберем точку М; (Х; , у;,.И; ) ° г = 1, ..., Х . Пусть А» — максимальный диаметр ячеек иХ~, ...,~8»,ЫгтгЛ»=0 . Пусть(сй;) »- л ху плоиадь геометрической проекции уд;.
ячейки усу, взятая со знаком "+", солку = (й ~Ох)~Як со знаком "-", еоли у >~~, т.е. + яя.,ус= . з' Фсу ' Е Поверхностным интегралом второго рода ~~~ я(л',у,и~Я,т~у от $ункпии Ю (Х,~, е ) по выбранной стороне поверхности,Я насыпается Ллем Е~ ЯГД'1, У,, Ву) ( т,51)„ (1) А 0г=К если зтот предел существует, конечен и не занисит от способа разбиения У на ячейки и выбора точек Му в ннх. В случае, когда,ь — цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси ~72, каждая из ячеек 7 $;, з = 1, ...,Ф , проектируется в дугу тбу (рис.
11), а потому ( т.9;)ю = О Ыу-./.„,Ф и Д К(х,ы, Вйхс1у = О. (2) Аналогично вводятся поверхностные интегралы второго рода Д Р(Х;~, ЯсЦ~~Х и ~~Ц(ху,г)сЫЙ . Пусть 9 — однозначно про- Л актируется на плоскостьхР», Йо;)рл — площадь геометрической проекции ячейки .ь$; на плоскостьх0и, взятая со знаком "+", ес- 22 ли оь = (й, дх ) ~ —, и со знаком "-" в противном случае. Влсть ва Л заданы непрерывная чннкодя Р (х,у,~' ).
тогда Я Р(я,у,я)1рс~я =йгт х-: Р(л';, у;, н() (:тЗ;)~я . (3) Рис. 11 Рис. 10 Если 5 — цилиндрическая поверлность с образукщзми, параллельными оси Ох, то Д Р(х;у,и)Ауйя=о. (4) Ф В слгчае, когда У однозначно проектиргется на плоскостьхОг, на Я задана непрерывная 4)тнкция И (ч,,Т',Я ) ий8;) я есть ~лозвдь геометрической проекции ячейки лЯг на плоскость хОя, взятая со знаком "+", если ~3 = (гт~ду ) л —, и со знаком "-", если,а ь-,имеем Ю л У Ф ЦЯ Й, Кн)РЫБ = 181тт ~: 4 (хг ~1 из )(~~1 )кв- Я йй Если Я вЂ” цилиндрическая повертность с образуььлвми, параллельными осн Оу, то Яа(~;ума .~ = .
(6) Наконец, если Ю допускает однозначное проектирование на каждую координатную плоскость, то по определению комбинированным по- верхностным интегралом второго рода называют суыму трех введенных выше интегралов: ЯР(х,у,и)ггуггл -()(х;у,и)г)хг(нг-Цху,я) с~хс~у = Ю ф(ху,д) (у ( .Д~х,у,х),(х~,.Ц)2(х,у,у) ~х,~у. я у С в о й с т в о 1. При изменении стоРоны поверхности Я+ на противоположную,й поверхностный интеграл второго рода меняет знак.
Например, Ц Р(х;у, н)г(уггг =-')) Р(х,у, яг(уг1 и. 8 ЯФ (так как Ь'г'=г',...,Лг меняет знак на противоположный величина МЯУ)уя ), С в о й с т в о 2 (линейность). Лля любых чисел,и, Р и ЛпбЫХ ФуНКцюй )~~(Х,у,и), г (Х,у,Вг Л(гт)г(ХУ У) УРг(ХУ Я)) (У)н=,гг Л Рг(ХУУ)~Уг(У 4ЦУКУУ) 3Усй (3) » Я,8 С в о й с т в о 3 (зддитивность по области интегрирования). Если поверхность з разделена гладкой дугой на части ~, и Ял, то (ь(гР(х,у,н)ггугЫ~~ Р(х,у,у)г)уЬ ~~Кх,у,у)г)удя Па) 5 Аг Лл (свойства 2 и 3 непосредственно вытекают из определения поверх- ностных интегралов как пределов интегральных сумм). 3. Вычи ове о тыых т г о вто ого о если поверхность Я задана уравнением н = ) (х, у ), где / (х ,у.) непрерывно дащеренцируема в ю , то поверхностный ин- теграл т1) может быть вычислен путем сведения к двойному интег- Ралу.
Согласно (1) Я)йх,у,и)г)хг(у = 6ггз Е. К(ху, уу,иу)(гу51) А» 0 г'=г »Ы ~гг(Хцуу~(Ху,уз)у Паггбу)= ЯЯХуу(яу)ггХг)у ( ) где знак "+" берется в случае, когда у" = (гг~Я ) сГ, знак" — ", если р > —, Л» — максимальный диаметр ячеек гг гг; (очевидно, Я' Лд, О йриЛ» бг ).
Аналогично 24 Д Р~ж, ~, Я)фс~у = йД Р(~Ь~л),У Й~Ь~Зи, (12) ,у:л оф,и) В (~,ЧЬе Ю (знак "+" берется, если ' = (Л, б(л' ) ~ —, знак "-", если ~>л.) И я(х,у,и ~ ~и= Цц(хР (х,и),а ~ Л-~=й~я,я) Ю (13) (х, и) е З (знак "+" берется, если у9 = (тг, ду) ' —, знак "-", если~вт-). Я Ю Я ншш~р 4. в ~~х ать амр~хе+к~ ~~ 8 — часть параболического цилиндре и' = 4 -л, вырезанная плоскостями Г = О, ь = О, у = 5, и но)валь к выбранной стороне поверхности образует острый угол с осью Ол (рис. 12). Решение. Согласно (7) рассмот- рим отдельно интегралы 1<- -Ыл Ь~сй, 1 =Догсй~яАхйа и 1 =7кАхй~.
Ф Ф Так как „ь — цилиндр с образуюшей, параллельной оси ~7у, то по Формуле (6) 1л = О. Согласно Ц1) л=ЫЕсбф=+Д Й-Х ) Ыхф- Ю=(((фуфс!лу,длра5) ® Х г 1~~~1 Й-Х )АХ=Х,Г 4л- — И -~31. Рис. 12 г )(елее заметим, что для вычисления интеграла Х по проекции на плоскость ХРи поверхность,У необходимо рззбить на части, однознзчно проектирукщиеся на плоскость хан . Разрешим уравнение цилиндре Я относительно Х: х =т Й-У и обозначим У~:х=+Д-,к' о~г=Ж, Б) > (' ~к ля ), чл ' х =-А~:е ~г=(% > ~~'~Айету~~ .27,=-.)7 =~ф,и)( о у .б; О «мб)(рис. 13). По свойству 3 и согласно (12) имеем Р,=,ЦхлЫуЫи+,)) л~~~усй = Ц(й:лЪфтй+~ Я ~-й:к ) ф~й) =а Эт А Таким образому а ~ ~ ~.~~~ Л 25 Рыс.
13 4. Связь поверхностного интеграла второго Рода с поверхност- пл НЗ1 СНУ)'= х пп. ~0; = (Л Л; ) „~ Аналогично РЛ. М; ХР4 (; = ('бЮуи, Пба) Пбб) ным е о о если 8 — глазная поверхность, й =г'ратх '+~~язв +~глу"- орт нормали к выбранной стороне о и Р, ц, Я вЂ” непрерывные на Функции, то ЙРЙУйа+ ЯЕХЫ КйхйУ=~ЦРгоЫ ПСОУ+ КСВ фА б, П4) Ф Действительно, пусть яФ; проектируется на плоскостьхОд в бУ;. и,8 имеет уравнение е' =/ (х,~), где /,,о=1„,~=~~ непРеРывны в области .1).
Тогда, используя теорему о среднем, получим и.г$,.Дд.р" у'Ыу.ГТр'.~У'~ .~ч. е9'. ( Йг ~Й) Вспоминая что опт нормали 7х. к У в точке Ру'(фх,,Р' 3 '), где Ь, = ~ ( ф; „Р- ), имеет Разложение ~;Ьа -Д~ + Й тт . — + П5) ~о,,;> (знак "+" берется в зависимости от того, будет ли угол~"у=('т;, Ж) острым или тупым), получим ~'~' Г7:р 'у" ~~м«р ) ПЛ. РЯу СОУРА = ('РЛ; ) (1бв) Но тогда согласно йюрмуллм (7), (11)-(13) и (16,а-в) подучим РАусИ+Мхйи»КАхс6~ К )(Р ) Ы,)Г ) ( ) 3 Л»~0 у=~ =йгтт Л '(Р(му)гау (у ам;~РРу~у;~Р(и;)соут)ппазу» д» дЖ =Ц (('го~, -(~ г ,(-) у'б. Сдедотйие.
При задании поверхности,> уравнением Е»/(Х,у'.) по Формуле (15) (опуская индекс ь ) имеем ' "'l" -~~~~+ ~*,, и ы~=/~ р' у' 'ыт подставляя эти выражения в интеграл справа в 1авенстве (14), полу- чаем ,ц ~Я~~~х+ц~хыд~ Мхф-"гЯ(-о~о" ф+Ю~~К~Ц~, (17) Лс л=„»(х,у) Р (л',»»)» Р -л— где знак »+" берется, если у = (ч, Ж)а 3, знак "-", если +">Г, а в выражениях для Р, ~ , /Г вместо К подстанлено ~ (Х, ~ ). Формула (17) позволяет свести вычисление комбинированного интегра- ла второго рода к вычислению двойного интеграла по проекции на од- ну координатную плоскость. Аналогично Ц РЙ~Аь+ЦАхАи+ КйхДу:ив О~ Р ц Д-г К]Мудак.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
