Р.Я. Глаголева, Р.Н. Молодожникова - Векторный анализ (1013175), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Сумма Рт Д РЙ;.Я, ~;)~Х;, где г~.к'; — величина проекции направленной луг*~ " х' ги М;, М;(направленного отрезка М;,М;) на ось Ох , называется интегральной суммой для Фикции Р(г, у, » ) на дуге О по переменной ч . Пусть шаг разбиения дла отгемится к нулю и существует предел построенной интегральной суммы. Тогда этот предел называют криволинейным интегуалом по переменной л: от йьццсди Р (с,~,и ) по кривой тхэ в направлении от 4 к В и обозначают ) Р(х,уЯМх. лэ Определение предела интегральных сумм указанного вида аналогично соответствуюшему определению для определенного интеграла, Аналогично вводятся ~ Я(Х,у й)с~у, /К(Х,у,й~с~я.
,е .4В Сума криволинейных интегралов ) Райс, ~'4 ~у, ~ КЫй' нави,й,щ,вв вают криволинейным интегралом по координатам д',у,п или криволинейнам интегралом второго рода от вектор-Функции а= ( Р 4',Ю) по ориентированной кривой 1В и обозначают ~Р~х,у,аА Шя;у,аАу а~ус,уют яя Ф (к~ординатная оюрма записи) или ~,о(М)АКР (векторная Форма эапм:и) Й 14 Заметим, что при перемене направления пути интегрирования любой из интегралов меняет знак.
Интеграл зависит от ориентации КРИВОЙ, ИНТ8Грал Влсль заыкнутОГО Пути ) назызаВТСЯ Цнриуляпией векторного поля ~ (М), обозначаетсяфа~Ь и не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода кривой. Ксли кривая 4В ланит В плоскости, перп8ндикулярнсй, например, оси 0», тс,~ РЫ» = О, так как величина проекции любой нале правленной дуги М;,М; на ось О» равна нулю. Коли криволыейиый ИНтЕГраЛ, НанриМЕР, по переменной» от Функции Р сушестВу8т, тО й)оц'»=ф/Р~» )(Р+Р)Я»=~р~»т~ р ~» Тз Х~ лв лв ) Рй» 8) Рс~» -~,~ Рс~» ,й,Е св (для любой точкиС* УВ ). 2. С зь ив й нн г ого и то го рода.
покаием, что,~ Р(»,уи)й»=) Рсоб ай(., где б - угол, АВ ,Й образованный положительным напранлением касательной к кривой тВ с пололительнзм направлением оси Ой'. Пусть 2  — Разбиение дугин и Т, и Тл — пороиденные им интегральные сумея для криволинейных интегралон первого и второго п а я Рода соотВетстВеяяо:Т;,ЕР(М;)Йту~са~у(,, Т,=~ ) (М;)мчу, ' У-/ с'= / л где ауу ~у"-гоуа((»,",у;",яе), точки МУ, МУИМ; М; — любые. Сцепим,разность Тл-Тт: 1. запишем ) Т-т Д П (РОТ;)соуы((г)-Р(и," )соеАИг))йТУ) 1 ттт 4Ы» УУ так как д-=буу,б 48» ~ = ~ сот ~Ж л 4» т»1 сои~((( )~)~с'ь !У 4-/"4я/$- В~ фо теореме о среднем для определенного интеграле.
2. Пусть Фикция Р = Р (Х,~,Я ) непрерывна на гладкой кривой .4В . Тогда)Р(М)ЬС и (Тл-Т(ИЕО 2Ут — 'ФсП вЂ” ~ У(УЯ г:/ 16 щ ~ С) л; — с; ( л у;, где д Т, ~0. Функция с = с ( ~ ) непрерынна на отрезке (О, Т„- ), где У вЂ” длина ~й . В силу равномерной непрерывности с = й (~ ) для лмого е тд существует д=йс)~д м — д' такое, что как только ~ТТ У, так сРазУ ле ~ к;-4г(~ . Если шаг Разбиенияд~е~У,то)т т» с, т.е. урга (тг-т,)=0 и Р О мь Йт Тл Йт Т так как последний предел по условию существует.
4у-п д;-,-О В общем случае, когда существует криволинейный интегРал пеР- ного рода ~(Рсоа+ Щоу Ягоу)я,ь по гладкой (кусочно-гладкой) ма кривой,4В, существует и криволинейный интеграл второго Рода )РАх+Цф+Ясй (н сторону возрастания ь ) и ~РЫх+Му+Кгьй= М ,й =,)(йеу (+Ягот)ь .Юау-~~И, где г = (гры,см~з.гну") — еди- МВ ничный касательный вектор к кривой ФВ сполсивтельного направления1 Заметим, чтосы=гй, Рсон+4ьтч~у-гЮл~-= яр~ 1=а.
Имеем теперь вместо символа йЫг под знаком криволинейного йатеграла второго рода скалярное произведение ( а,,с~т" ) и ~аК, М =,) ((2,'р'М1 =~ й, 1 ь' . Отсюда получаем достаточные условия суАй ла ществования криволинейного интеграла второго рода: если дуга Й гладкая (кусочно-гладкая) и векторная $ункция 2 = ~2 (Ж, у, И ) ыеырерывна на Ю, то интеграл~а Ы~ существует.
мь По правилу вычисленвя криволинейного интеграла первого рода в случае произвольной параметризации кривой т =~гй), гаГ1ютл), получим и формулу для вычисления криволинейного интегРала второго Рода: 16 3 Р(х,у,«)йх . Шх, у, «)с~у+ )1(х, у, «И« = =5Я ЩУ(4ЯРхЮ.ЯЬЮ У(диЮУСИ+Ях(ВУШЯ(оУ«й))сй . и> Ващвяаавй. С точки ВРЮККЯ Всвисииии ПРюпмавий Иптатрала ~а~у. пвлвоообравио нв исквмчать иа рассмотрения самопереоеиа- ,Ю змиеоя пути иктегркроваивя, ко цри этом всякий ру учитывать, что ввдать путь МВ интегркрова- 4 М ния - вто значит задать не толь- в Ь ко мнокество точек, ко и опрвделвнпое иаправлекие обхода, кото- Рис.
6 рос в етом скучав ие опрсдвяяется аадависм вачадьисй и коивчкой точвк ч и Ю (рио. 6). т 6. У Вусть векторная йинкоия а = а (Ф, и, й' ) и простракотвсвксй области Т вепрермвна. Говорят, что иитеграя ~ааЯ в области Т >>в не зытсит от Формы пути иитегркроиаиия, а зависит от иачаяьиой и конечной его точек М и В, если его виачения по всевоэмоммм кусочно-гладким привес, леиащнм в давкой облаоти и вмеюввв~ общее начало в точка,т и общий ковец в точке В, одаваковн. В этом сяучае при ввпиои интеграла достаточно указывать ввмь ивчаяьиум и кокечвую точик пути кнтвг)дц)овапия: Гк~.Хв яв) гх,,кя) ~аИУ -~аНР ~ ~ЕФГ' = ~аФТ .
(яд уд,«л) Ф.,у.>и>) Замствм, что если иитеграя ~ В'>х ие аавиоит от Формы пути иите- М грировавия, то циркуяяцвяф,а>ь' вдоль важой ваюевутой щмвой ~'СТ ° >те)> >Юя ф" рахим щи. Вврио и Обратиов Вуоть А(х,, у,,«, ) и 8 (г,у,«) - ввчвио и иоввц игти иктегрировавкя оостветотвекко.
Обозиачим ~ а ~7 сГ(«, у, «) 17 тогда вЕ'=,)(йсЫ-~асЫ=~а 17, 4 я в где д(х вх,у~вы,я~вы) и)аЫ~' не завив сит от формы пути ннтегрирования, позтоыу выберем, например, направленный отрезок Ю 9', А — едвничный вектор направления Юд' (рис. 7). в В,результате ВК=~ас( = ~(а, ГМЕ=(й,Л))ЮЮ'( (по С вю') теореме о среднем для криволинейного интеграла первого рода), откуда, =(й",А),где й"=й (М'). В силу непрерывности векЮд'( торного поля й (М ) существует т.е. (дмаоЕ ее л 1 = (й, л ) и а = амаЫ еГ.
Значит, если интеграл ) а сЕ г, т.е. работа векторного полз ля й, не зависит от формы пути интегрирования, то поле а потенциальное. Выражение под знаком интеграла (й,Ыг') =ф"аЫКлЯ= дГ д(Е наг =Рак . Щ Ксй= — Йх-+ — сЕу+ — й=ЕЕ(есть полный дифферендх ду ди циал потенциальной функции ЕГ = У' (Х, д',и ) поля в области 7 (в силу непрерывности координат Р , бЕ, А' поля). Легко показать, что верно н обратное утвериденне: если /Мх + Йту + МЕ=аР, где Е/ =ЕЕ (Х, у,д ), то ~ Хаг' = ~ Ы ЕГО, у, И) тв лв мв = ~сЕЯх(Е) Ц(Й д(Й) = ЕГЙ)- ЕГ (о ), где = Р ( ~ ), ~ е(И~+в!- уравнение гладкой (кусочно-гладкой) кривой Ю, т.е.~ас(г не вв зависит от фо)узы пути интегрирования.
18 Если координаты поля й в некотором параллелепипеде имеют непрерывные частные производные первого порядка, то для того чтобы выражение (а,~Ь ) было полины дифференциалом, необходимо и достаточно, чтобы в области Т выполнялись три условия: дй. дб) дК дР Ю дР а) — = —; б) — = —; В) — = —. ду ду ' дх ду ' дх ду действительно, пусть РАХ + ЦЫу+ Ю~я =~И, где де/ дю д(/ = Г (Х,у,- ). Тогда Р = —, Ц = —, Я = —, и в любой дх' ду' ду ' д"к дР д ~Г точке области Т можно, напрзмер, записать †— и Ад дал ду дх ду дх но чаотнвв производные непрерывны в т, но теореме о независимости смешанных производных от последовательности диффе- дР Щ ревцировання заключаем, что — = —. Обратно, пусть теперь усдр дх" ловил"а'-в'выполняютая в области Т и Ц(х„у„д)еТ.нейдем Юнидо' дУ д(У цню ЕГ=(У(х,у,я) такую, что 1) — Р; 2) — "4; 3) — Р в людх ' дд' ' ди бой точке параллелепипеда.
из первого уравнения получаем(((хфя) Х = ) Р(х,у,ИЯх (у(п,я) где (р (п,я ) — произвольная двфференцил е руеыая функция переменных ~ и и . Првменим теорему о дифференцировании интеграла по параметру; с~0' д дР д д 'у' ~у(д' ~ д у (у' У ~! .,дд дб д ( дР д д «) Р(х з и Ах г (У Я (~ д Ых (ол (л «) Хв Хв Из уравнений 2 и 3 с учетом условий"а" и'в" получаем ( дь( 4=,) — ХХ+(У (У,Д:), ХдХ У х а=~ — 1х (я (п,д,). (дЮ дХ Хя После иктегркрокакия накопим т'<р,я) (~(д„у, ), (У'~р,я) Е(х,у,я). Нитагумруя по у первое иэ стих оооткоиений, имеем У р(у.И*! а<х„у,я)Ау + Ф(я) о учетом уолоиия"а" 7ю ( 64(хе,ПХ) г дк(х„у,й) дя У ду У Ь 7Ф Мх„у,Л)=й(х„у,и)-у~х,,у„н)т4'Ж и 4(к)=Их,у„а, оюмп(а фЩ ~ ~ Я~я'е,~е, У)~й» С, где С - проиекольиая постоянен я ту й М"1Кхдя)3 +1жх„3433 1а(Х„Ч„М +С Дф Д диф$юренпнруеыа (она удовлетворяет ураикеиинм ди УК УЛГ дх 'ду 'дх — =Р,— =((,— ~Р; Р,б(, гР— непрерывны), аначит Рсй+(Му+Ай=1Ы в любой точке мат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
