Р.Я. Глаголева, Р.Н. Молодожникова - Векторный анализ (1013175), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Но ни направление наибыстрейшего возрастания поля ЕГ, ни величина его проиэводной в этом ыаправлею~и не эависят от выбора системы координат. Пслучкхи инвариантное определеыие Я"а~К(/7/: градиент скалярного ноля Е/ в точке Ме 7 есть вектор, направление которого указывает направление наибыстрейшего возрастания Е( в этой точке, а его длвва равна скорости воэраотания величины Е/' в атом направлении. Пусть 0' и у~ — два скалярных поля, имеющих градиенты, г" диФФеренпируемая скалярная Фгвкпия одной или нескольких скалярных перемевных. Тогда: 13 уга/(Я~7//" уг"сий( ///'а/а )/; 23 У/а/У.Я»7/) = У~гас~7/ Р~)"иС~П, 3/ ратас~~(Я =,//(У)~7/ась Е/; 4) фугас~ / (Е/ И = — ~гасШ-~ — ~7п~Ы ид,г с~,~ дГ д1Г Лействительно, напрвмер, ЦЩ дУЩ], дУ(О + ~У Ф. дИ д11.
~раЦ(Щ- — г' + — / + — л = — — У+ — /е дх д7 дХ МР дл' <Й (Уду с(У'дЕ/ АХ 1дЕ/ . дУ . АУ т ~ + — — л — ~ — з' ~ — / + — й ~ ~ Щр ас~ Ц, Жиде сну ~ дх д~ дй / МУ ди дУ' д4 1-. !ВЫ ди дУ ди1. ~Чафй,'Х/ ( — — + — — /г'т ~ — — + — — ф+ (д0' дя' дФ' дл'/ (де/ ду дГ д~// /АМI' д/ дК1 дд'/ЖУ. д~т дц-) дУД~гт~ — — + — — /й — [ — г + — Ф + й/+ — [ — ~+ ~дидй дУ'дй/ ди(дх ф ' дя / дУ(дх дГ. П/ ) д~ + — / - — й) — угайО~- — у7.ис~ У дд' дл 1 дЕ/ дУ' У где К И~х,у,Я, У=У'(я;~,я). $3. ко Вко и Ясли каждой точке Ме Т некоторой области пространства поставлен в соответствие вектор Е ( И ), то образуется векторкое поле я = а (М). Если задать систему координат (например, декартову), то каждая точка М будет иметь координаты х, у, и и векторная Функция точки м становится векторной йннкпией трех переменных: а =Е(х,у,и) =Руху я)Х'(?(х~,я)~ и Мх, у,я) Х.
Е =~ (,у), а = а(х.у), Я = А (х,у), то .— ле й = а. (я,д ) называется плоскопараллелыпее; если при этом ~? (х,у ) = Π— плоским; если Р = Р (с),Цид, )?мΠ— одномерным. Коли при повороте вокруг осиная поле переходит само в себя, то оно называется осесимметричным. Геометрической характеристикой вектоРного поля слуиат векторные (силовые) линии, Векторной (оиловой) линией поля й (М) называется кривая г = l И ),направиение касательного вектора Р в каждой точке которой совпадает с направлением заданного в этой точке вектора поля, т.е.
г' (т ) =Ай., где А - числовой коз($$ь- циент пропорциональности. Скалярное или векторное поле называется стационарным, если рассматриваемая величи»и зависит только от положения точки в пространстве, но не зависит от времени. В противном случае поле называется нестационарным. Пусть областьТ заполнена жидкостью, текущей в каждой точке с некоторой скоростью 2г = т~' (М ), не зависящей от времени.
Получим векторное поле, называемое полем скоростей стационарного потока жидкости. Тогда векторные линии — это траектории движения частиц жидкости. Найти векторную линию поля й = 2 (Ф ), проходящую через точку М„, значит найти вектор-((ункцню »г = » ( е ), удовлетворяющую условиям:Р'(1 ) =Ла, »" ( с,) =»-,, где б„- значение парэметрас, соответствующее точке Мэ . Если Р, 4, là — непрерывно дифФеренцируемые»1»ункцни координат, ни в одной точке не обращающиеся в нуль одновременно, то зти два условия действительно определяют одну и только одну векторную лпнию. Если у — любой замкнутый контур в Т , то векторные линии, проходящие через точки этого контура, образуют поверхность Е:;, называемую векторной трубкой.
Мозно сказать, что Е", ограничиваю»»ая векторную трубку, как бы соткана » из векторных линий (рнс. 3). В У каждой точке поверхности л:: нор- маль»э к 2.' ортогональна векто- Рио. 3 ру а в этой же точке. Пщуйр Х. Найти поветщности Уровня и градиент скалярго поля 1У = (»с, »" ), где,т» — постоянный вектор, »" — радиус- вектор точки М. Рйщеей~~. Обозначим координаты точки М через Х, у, д, тора ~ — через а,Ь,с .
когда ГТ = ~ля' + Ьу + сл, а поверхностями Уровня являются плоскости ая + Бр + пя + сК = О, перпендикулярные к вектору с» = (»х,,(»,с ), и на кажной из которых ЕГ =-с~ . Градиент поля П' во всех точках равен с)~У -, дГ/ -. дИ вЂ” у ~ — у'~ — А=йг' Б» гА дх ду дЯ т.е. (»галль ЩГ) =Р». ЙИВр 2. Определить векторные линии магнитного цсля, образованного постоянн»а» электрическим током с силой Т, тещущвм по беоконечно длинному прямолинейному проводу. Решеейщэ. П1змем провод за ось Ок и пусть направление Ф оси Он совпадает с направлением течения тока (рис.
4). Тогда тч ОМ=~х;у,и), оа =(ОО, ~), г.-хю ~ у~ 'я,й, ф Ф По эакону Био-Павара напряавнность ~Н магнитного поля, создаваемого в точке М током, про- Рис. 4 топающим по элементу ~», направлено перпендикулярно плоскости, которая содержит точку М и элемент ~~4, в сторону вращения по правилу буравчика. Значит, вектор с~Н имеет длину вектора МН)=- уОт~Я4, I;)Ы4 и сонаправлен векторуЯ~, г; ) т.е. гг яН=- Ы~,г;~ и 1 .=! -',Л,Е1= ~- ° 7)) 7 э > э ~ 2 ~ ь) ~э/л гДе Р =Х + П, [щ',4;г", ~=-УАЦ е +Х~4- ~ . Ю -г если ~ -«=р6Дй,то 14= .~, я',е, Ф= — л(-~г "хй) Н= сл'1 ' )ел и З,7 Я,7 Г~7 — ы ~0 — ~~ Ц вЂ” „ж (Р= О, У рл у / дл Замечание. Выражение вектора Й аналогачно выракению вектора скорости Р~иН-рЛ.х7 7 материальной точки, вращающейся против часовой стрелки вокруг оси (совпадающей с пРоводом), с угловой скоростью с), обратно пропорциональной квадрату расстояния этой точки от оси нращения.
действительно, линейная скорость гг направлена в сторону движения,)гТ! = д = а~)р и гг =~ м, г ], так как направление й совпадает с направлением векторного проиэведекия )й, 7 3 и тг=) Га>, 7 ) )=м7"уг7гй~=ело. Значит, 11 1,( А й-о о сс)(- ~ ь ..х ~' ) торной линии а и Ыг коллинеарны, поэтому По определению век Ыя=д г~х с~~ Ф ь У х ~У=С расположенным в начале координат. Решение. Для Функции — = поверхностями уровня будут концентрические сйеры с центром в точке. где находится заряд. Единичный вевтор нормали к сфере направлен по радвусу самры, 12 Векторные линии напрякенности магнитного поля являются окружностями с центрами на оси 0я, лежащими в плоскоотях, перпендищ~лярных этой оси.
например, в плоскости и = О через точку(1,1) проходит векторная линия .ч~+ у = 2, т.е. окружность радиуса ~Р с пентром в начале координат. Аналогичный вывод мозно сделать н для векторного поля 2~ линейньп~ скоростей частиц жидкости, врахвющейся вокруг оси Оя. Определение п ь ого поля. Пусть 0 (М) - скалярное поле.
Построим в каждой точке М области Т вектор ~~"а~У Е/('М) Получим векторное поле, называемое полем градиента скалярной величвны 71. Векторное поле а (М) назовем потенциальным, если его можно представить как градиент некоторого скалярного поля У~М): й (М) = ~Р'аЫ 0(М) Скалярное поле 7Г называется при этом потенциальной Функцией, -1à — потенциалом векторного поля а(м). Потенциал векторного поля определяется полем с точностью до произвольной постоянной.
Действительно, если скалярные поля 7Г и Ъ вмеют один и тот ие градиент, то~ аа (К-'(Г) =- О, но тогда и производная Разности по любоьц~ направлению Равна пулю в любой точке, т,е. ЕГ-К артуб.Векторные линии потенциальногс поля;2 (М), очевидно, есть линии градиента его потенциала Е/, т.е. линии наибыстрейшего изменения этого потенциала. Пиийр 3. Найти градиент потенциала электРостатического поля, образованного точечным зарядом Ц' — х ( ~г! функция — возрастает с уменьшением г, поэтому)ь ал'Ег направлен ~® по радиусу сферы к ее центру и)агаЫ-)- —— Ыг гг Значит, у,"жЫ=- — г*, так как — — еднничный вектор рялнуса)тг!' )г! вектора точки.
Вектор -р Ы= = — т' называют напрякенностьш (7'! (т"! злектростатического поля. Г л а в а П. РАБОТА ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ з 4. с бог е то ог п Вычислим работу силового поля ~ при перемещении единичной массы вдоль гладкой ориентированной кривой ,40. Пусть в 7 зздвно непрерывное силовое поле Г=РТ Ц + /РА где Р = )о (М ), (~ = б! (!ч ), )т = К (г!) - координаты поля. При перемещении мзтеризльной точки вдоль кривой т'д в направлении от,4 к 0 поле совершит некоторуш работу Ф .
Если перемещение прямолинейно, а сила Г постоянна по величине и напрзвлениш, тс работа Ф = ( ~ , Л ), где à — вектор смещения. Пусть путь нецрямолинеен и ~ — переменная сила. Тогда резобъем А9 на гг дуг точками .4 = Мз,Мт, ...,М; т,М;, ...,Мш= 0, где М! = (гь-~ в7г-г ~к у-т) ~ ма = ( ше ° ~у ° не ) на дуге Мг-кмт~ Е = 1, 2, ... Гт, выберем Произвольно точку Л~Р(ф;,Я,41) и найдем Г (А(; ) (рис. 5). Если точка перемещается по дуге М;,М; ллнны гУ, в напрзвлении ст М;, к М; под 49 действием постояняой силы « (М; ), то работа, совершаемая атой силой, будет равна Ит Р Йу),б,;),где а ~'-/ г (явь л,у! "уМ. ~!ль 0 лу г-/у А уа ус-/> ~~с «у «г-т- Рис. 5 За работу су силы С на пути4Ю естественно принять йпг Е ('Р(В;.),и г; ), В У=К где д = утгал л у; — шаг разбиения дуги,Ю.
Значит, работа Игагт 7г Ф,=ой~тт ~ Р(~;,р,,~;)ляг ЦЯу,р;,~;)лу; Я®,ру,~;).УЕУ, В.,-В У=~ если этот предел сушествует и конечен. з 5. К иве йные ин ег лы вто ого о а Будем изучать пределы вырэлений, аналогичные полученным выше, отвлекаясь от йизического содериания задачи. 1. Оп лени ео йного интег ла. Пусть /Н вЂ” гладкая, ориентированная кривая, Р (Х, ~, и )— произвольная Функция, определенная на этой кривой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
