Приближение функций. Компьютерная практика в системе компьютерной математики MATHCAD (1012860)
Текст из файла
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТРТ (госрдврственнв~й тсвнннссннй уннверснтей) В.В. РЫИИН ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ. 'КОМПЬЮТЕРНАЯ ПРАКТИКА В СИСТЕМЕ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ МАТНСАЭ Учебное иособне Утверасде но не авседвнин редсовета 13 онтабря 2003 г. Москва . Издательство МАИ 3004 Р бн В.И. Приближение Функций. Компыотернаа практика в системе компъигтерной математики МАГНСАЭ: Учебное пособие. — М.: Иед-ио МАИ, 2004. — 00 с.: ил. (Виг( 5-7035-1434-7 Ю Москммювй ззвапиоивый иястаатт (государстзеюцсй технический увкзерсзтчт1 2004 гчм. плов Ж(04, поз. 32 Ръюбшг Ввадшапр Васплъеавч ПРИВЛИЖКИИВ ФРИКЦИИ. компыотиридя прдктикА В систимВ компыоткриОИ мдтймАтики ИАтисАВ Редактор ТЗ. 54оисссса Компъхюарвал верстка T.С. Есшяъееа Сдано з набор 17.03.04.
Подпжапо з печать 17.06.04'. Вумага гааеягая. Формат 60 х 84 1Г'16. Печать офсетная. Уел. печ. л. 4,65. Уч.-над. л. 5,00. ТиРаж 500. Зак. 2787~1709. С. 19Т. Издателъстзо МАИ "МАИ . Волоколамское шоссе, д. 4. Москва, А-80, ГОП-3 126993 тниограбаш Издвгелъстаа МАИ "МАИ", Волоколамское шоссе, д. 4, Москов, А-80, ГСП-3 125993 В пособвв кратко рассмотреиа задача приближения одпомервых фувкций я расиме схемы ее решении с яспользозйиием ппгрокого круга базисных систем функ' ций, от традвпиоввых систем функций — триягнометрическях до созремеввых— басаевых систем зейзлст -функций. Рзссмотреиы типовые примеры программврозавва и изучения задач врнбакжевил функций з системе Матвсад.
Поссбяе предназначено дла студентов специальности "Прккладязя катематвка", обучающихся по курсу "Компъмтчрвав практика по математическим двсциплавам". Ово также може1 быть полезкым при прозедевви практических занятий а дксплейком классе по курсу "Оптвмввицяя п чвслеввые методы", читаемого ва техипческпх и зкономическом факулътстах. Рецевзевты: каф. "Азтоматвззцпя биотехваческпх скстем" МГУ щжклздвой биотехнологии (азз. каф.
В.И. Попоай В.В. Кщоз. ПРЕДИСЛОВИЕ В настоящее время методы приближения функций широко применяются в инженерной крантике. Аппарат представления функций и сигналов в виде обобщенных рядов Фурье нашел широкое применение как в теории цифровой обработки сигналов и изображений, так' и в теории управления.
Так, нацрнмер, конец прошлого века характеризуется появлением нового спектрального метода расчета нестационарных снстем управления, специально приспособленного для ЦВМ 19, 10, 16). Его истоки лежат в представления сигналов и временных характеристик системы управления в виде ортогональных рядов. Коэффицненты этих временных рядов, отделенные от самих рядов, рассматриваются как характеристики сигналов и систем управления. Этн характеристики н составляют аппарат анализа систем управления, Теория обобщенных рядов Фурье для представления Функций все время развнвалась под воздействием задач инженерной практики.
В 60-х годах прошлого века получил распространение метод прнближения функций сплайнамн ~6, 7Ь а в ЯО-х годах прошлого века возникла и получила широкое распространение теория вейвлетов 111, 12). Вейвлеты, особенно ортогональные вейвлеты с компактнымн носителями, позволяют представлять и исследовать сигналы с локальными особенностями в виде обобщенных рядов Фурье — вейвлет-рядов. Применение всех этих методов приближения функций невозможно без использования вычислительной техники, и особенно современных автоматизированных математнческнх систем численной и символьной математики 113 — 163. В последние годы получили широкое распространение такие программные системы компьютерной математики, как МасЬсаб, МамаЬ, МазЬешайса, Мар1е.
Этн программные системы являются мнровыми лидерами среди компьютерных систем численной и символьной мвтематикн для ПК. Они позволяют готовить отчетные документы, которые объединяют исходные данные, описание алгоритмов решения задач, программ и результатов решения в самой разнообразной форме. Данное пособие предназначено для проведения компьютерной практики по приближению Функций с использованием программ. ной системы МаФЬсаб ~131. В первой главе рассматривается постановка задачи о приближении одномерных функций. Приводятся примеры базисных систем функций, ортогональных на конечном отрезке или на системе точек этого отрезка.
Более детально изучаются базисные сплайны и ортогональные вейвлеты. Кроме того, изучаются задачи и схемы интерполирования, точечного н интегрального квадратичного аппроксимирования функций. Во второй главе рассматриваются примеры задач интерполяции и аппроксимации с использованием различных базисных систем функций и различных численных схем решения искомых задач. Каждый изучаемый пример является рабочим документом программной системы МаФпсад, Ввод и воспроизведение этого документа студентом иа практике позволяют ему глубже понять алгоритм решаемой задачи и особенности его программной реализации, а также выполнить полученное задание на компьютерную практику по приближению функций. В приложении приводятся некоторые схемы решения задач ! интерполяции и аппроксимации, а также задания иа компьютерную практику по приближению функций.
! Глаза 1. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ 1.1.Постановка аадачи о приближении функций Пусть дана базисная система функций ~<р< (х), ф (х), ..., Ф (х)„.. ( Функции вида' Ям(х) = со ео(х) + е1 Ф1(х) + сз ез(х) + ... + сщ еа(х), (1.1) где со, с, ..., см — постоянные коэффициенты, называются обобщенными многочленами или обобщенными полиномами. Рассмотрим некоторую Функцию Дх), Задача о приближении ставится следующим образом: данную функцию Д(х) требуется приближенно заменить (аппроксимироаангь) обобщенным полиномом 9 (х) (1.1) так, чтобы отклонение, в некотором смысле, функции г(х) от (г(х) на заданном множестве М было наименьшим. Этого можно достичь, вообще говоря, за счет надлежащего подбора коэффициентов с;, 1= О, 1, 2, .„т, При этом полинам ь) (х) называется аппроксимирующим.
Что касается смысла термина "отклонение двух Функций'*, то в зависимости от обстоятельств его можно понимать по-разному. Если множество М состоит из отдельных точек хо, х1, ..., х„, то приближение называется гпочечньш; если же М есть отрезок а < х ь Ь, то приближение называется ингпеграль. ным. В самом простом случае базисная система функций (~,(х)) представляет собой последовательность целых неотрицательных степеней переменной х: !2о(х) =1; !рг(х) = х , "!р2(х) = х , "... !~ (х) = х 2 „ и В этом случае функции (1.1) являются обычными алгебраическими полиномами: !От(х) = ао + ат х + аз х + '"' + ат х 2 (1.2) где а,. — постоянные. Таким образом, приходим к задаче аццрок- симирования функции 1(х) полиномом Я (х) (1.2). 1.2. Примеры базисных систем функций 1.2.1.
Ортонормированные непрерывные сисгпемы функ!4ий а!э» !2,)=~ р(х) э"„(х) Ч ( ) !(х=б„,. (1.2) ( о 1.2.1.1. 11олиномы Лежандра Непрерывные ортонормированные полиномы Лежандра, определенные на отрезке (О, г), задаются формулой р!(2„х) = ч — ~~> (! „—, ! = О, 1, 2, 3„..., (1А) Г2~+ 1 э=о где =(-1)! эС' С' дэ !эу ! Непрерывные цолиномы Лежандра (1.4) ортонормированны на отрезка [О, г) с весом р((, х) и 1.
Система функций (!э)„ в общем случае комплексных, олределенных на отрезке (О, !), называется ортонормированной на этом отрезке с весом р„если все функции этой системы удовлетворяют условию Для непрерывных полиномов Лежандра справедлива рекуррентная формула 1 (2ь+3 ( .(2Е+1- р,,е(е, х) = — ч — )е ч — ре(е, х) р,(е, х)- (1.5) à Š— Е ь( — Рь е(Е,х)~, ь=1,2,3, 2ь — 1 которая позволяет найти все полиномы Лежандра по первым двум (3 (2х 1.2.1.2. Поланогьы Чебььшева первого рода Непрерывные ортоиормированные полиномы Чебышева первого рода, определенные на отрезке [О, ЕЕ, задаются формулой ~,Е=О; — Š— = у — соз ь агссоз — — 1 '1' —,ь,— „=У— ~Е и=о ь ='О, 1, 2,.
где Гя ь Г (ь + о) ь,и ( ( Г о+ — (ь — о)( о! 2~ Непрерывные полиномы Чебышева первого рода (1.6) ортонормированны на отрезка [О, Е) с весом р(Е, х) = 1 'ь'х(Š— х) Для непрерывных полиномов Чебышева первого рода справедлива рекуррентная формула Т, !(1, х) = l2зс Т!(1, х) Т,(1, х) — Т; !(1, х), (иЗ, 4, ..., (1Л) Тт(Ю, х) = чйк ф(, х) — ' 2 То(Ф, х), которая позволяет найти все полиномы Чебышева первого рода по первым двум 1.2.1.3. Нолиномы Чебышева второго рода Непрерывные ортонормированные полиномы Чебышева второго рода, определенные на отрезке !О, Ц, зада!отея формулой, У (1, х) = — М= ~~~~ 1 ци о о=о 2 ~'Й вш агссое — — 1 (1.8) где '~к 1Г(1+ о+ 2) 2Г о+ — (1 — о)! ю! 2! Непрерывные полиномы Чебышева второго рода (1.8) ортонормированны на отрезка 10, г) с весом р(1, х) = Мх(1 — Х) . 1.2.1.4.
Тригонометрические функции Непрерывные ортонормированные тригонометрические функции, определенные на отрезке [О, 11, зада!ется формулами (1.9) — соз — х, 1= 1, 2,...; в(п — х, (н0,1,2,... ((1+ 1) и Непрерывные тригонометрические функции ортонормированны на отрезке (О, Ф) с весом р(Ф, х) н 1. 1.2.1.5. Комплексные экспоненциальные функции Непрерывные ортонормированные комплексные эксноненциальные функции, определенные на отрезке (О, г), задаются формулой .2м 1 — х р,(э,х)=Ч- е ', 1=0,х1,х2,... (1.11) Непрерывные комплексные эксцоненцнальные функции (1.11) ортонормированны на отрезка (О, Р) с весом р(Р, х) н 1. 1.2.2. Ортонормированные дискретные системы функций Систему функций (~р~), в общем случае комплекснык, определенных на системе точек х~ (1 = О, 1...., Ь вЂ” 1) отрезка (О, Ц, назовем ортонормированной на этом отрезке с весом р, если все функции этой системы удовлетворяют условию (1.12) 1.2.2.1. Полиномы Чебышева Дискретные ортонормирзванные иолиномы Чебышева, определенные иа отрезке (О, г), задаются формулой .1 ..)(.Ц ' -(~ Ц[) и=о ) = О, 1, ..., Ь вЂ” 1; 1= О, 1...„А — 1; Ь = 2, 3, 4, где .(") = з( - ц...( — + ц; (,.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
