Приближение функций. Компьютерная практика в системе компьютерной математики MATHCAD (1012860), страница 2
Текст из файла (страница 2)
„= (- ц' " С,.'„С,.~ Для точечного аппроксимирования удобно считать, что дискретные полиномы Чебышева (1.13) заданы на системе точек М =1хо —— О, х1, хз, ..., хб 1~ отРезка [О, з] с постоанным шагом Ь = х,т1 — х, Они оРтоноРмиРованны на этой системе точек с весом р(Ь, 1) и 1. Для дискретных полиномов Чебышева справедлива рекуррентная формула 1 р,. „(1„() =, х „'+ ' 1+ 1 (Ь вЂ” 1 — 1)(Ь+ (+ Ц ч 'йп-~Т- „„-...,/Тс чг- ) 3 „1,' (2) + ц(2) — ц )=О, 1,2,...,Ь вЂ” 1 (1.14) которая позволяет найти все полиномы Чебышева по первым двум р (1, () = -ч —; р,(1., () = 3(Ь вЂ” Ц ( 2( о (=-') 1.2.2.2. Полиномы Кравчука Дискретные ортонормированные полиномы Кравчука, определенные на отрезке [О, з], задаются формулой ([и] 10 а'=0,1,...,Ь вЂ” 1; а=0,1,...,а.— 1; А=2,3,4, р>0; а) >0 и р+а)=1, где а з( ) = з(в — 1)...(з — о + 1) . Для точечного аппроксимирования удобно считать, что дискретные полиномы Кравчука (1.15) заданы на системе точек М=(хо = О, х1, хз, ..., ха 1~ отрезка (О, Ц с постоянным шагом Й = х,.
1 — х, . Они ортонормированны на этой системе точек с весомр(Ь,()=С~ гр'у Для дискретных полиномов Кравчука справедлива рекуррентная формула йа„(Л, )) = х рФ + 1)(Х вЂ” 1 — ') 'ааа — И ° ааааа - ц а,аа, аа) а . а(а. и — 'Г '" " а,,(а. а (а+ 1)(Ь вЂ” 1 — а) а' (1.16) ааа1, 2...„Š— 1 которая позволяет найти все полиномы Кравчука по первым двум а.аа. д - а: а,аа. а = Р' =аа ~ о ~(1.
— 1)р 1.2.2.3. Тригономеларические функции С,.(1, )) = 2 ()к ( 111 (1.17) — соз — ~(+ —, а=1,2... Ь вЂ” 1; Г (( 11,-=, (=0,1,. „Х-1; 1=2,3,4,..., Дискретные ортоиормированные тригонометрические функции, определенные на отрезке (О, г), задаются формулами з««(Х, 1) = ч — з(п («+ 1), (1.18) У 2 . Г(«+1)к Х,+1 ~ Х,+1 «=0,1, „Х вЂ” 1; 1=0,1,...,Х вЂ” 1; 1=2,3,4, Для точечного аппроксимирования удобно считать, что дискретные косннусоиды (1.17) заданы ва системе точек М= [хе =Ь/2, х«, хэ, ..., хЬ «~ отРезка [О, «1 с постоанным шагом, а дискретные синусоиды (1.18) заданы на системе точек М = ~хо = Ь, х«, хз, ..., хь «~ отРезка [О, «) с постоЯвным шагом Ь = х,.
1 — х, . Дискретные косинусоиды и синусоиды ортонормированны на указанных системах точек с весом р(Е, 1) и 1. 1.2.2.4. Комплексные экспонснциальные функ««ии Дискретные ортонормированные комплексные функции, определенные на отрезке [О, «1, задаются формулами д;.(Х,1)=~ ' ' 2 '-' 'О "- 2 '' (~Л~) 1=0, 1,..., Х вЂ” 1; Х =2,4,6, ... Для точечного аппроксимирования удобно считать,'что дискретные комплексные функции (1.19) заданы ва системе точек М= [Хо= Ь, Х1, Хз, ..., Хь 1[ ОтРЕЗКа [О, «1 С ПОСтОЯВНЫМ ШаГОМ Ь = х«+ « — х« . Они ортовормированны на этой системе точек с весом р(Х„1) и 1. 1.2.3.
Базисные сплайны с конечными носителями минимальной длины 1.2,3.1. Основные понятия Введем понятие сплайна. Функция 3„(х), заданная на отрезке [а, Ь) и имеющая и — э непрерывных производных, называется сплайвом степени п дефекта о (о — целое число, 0 и о ~ и+ 1) с узлами на сетке а = хо < х1 « ... хь 1 = Ь„если на каждом отрезке (х1, х~+1) Функция В„(х) является многочленом степени л, т.е. (1.20) 1, х е [- 1/2, 1/2); Во(х) = О, ха (-1/2, 1/2]. (1.21) Любой В-сплайн порядка и можно найти, нсцользуя свертку Вз(х) = Вз-1(х) . Во(х) =) Вл- 1(р) Во(х р) аи (1 22) Полученная в результате функция В„(х) есть поливом степени (л + 1) , (и + 1) 1 л на каждом единичном отрезке ~ ) — 2, у+ 1- (п + 1) (л + 1) 1 ) = О, 1,..., л, и равна О вне отрезка ~ — —, — ~, Заметим, что для В-силайнов справедлива рекуррентвая формула Ы -Вз,х+2 -В„,х-2 Используя свертку (1.22), находим В-сллайны порядка р = 1,2,3. Они имеют вид 13 где х е (х~, х~+ 1), ( = О, 1, 2,..., 1, — 1.
Множество сплайнов, удовлетворяющих уравнению (1,20), образует линейное пространство, В этом пространстве можно задать , различные базисные системы функций. Рассмотрим базисные сплайны с конечными носителями минимальной длины (В-сплайны), которые образуют базис конечно- мерного пространства размерности 1, + п — 1 силайнов степени и дефекта 1. Если л = О, то В-сплайн имеет вид х + 1, х н 1- 1„ 0); В1(х) = (1.23) х е (О, Ц ; ха 1-1, Ц3 3 3 †-х ,4 Вз(х) (1.24) '(' ) (2 + х) х о (- 2, — Ц; 6, 1 + 3(1 + х) + 3(1 + х) — 3(1 + х) 6 хе (-1„0); 1 + 3(1 — х) + 3(1 — х) — 3(1 — х) (1.25) хе (О,Ц; ! Вз(х) = (2 - х) х е т1, 2); 6, ха (-2,2) О, и являются наиболее приемлемыми в практических вычислениях, В частном случае для построения базисной системы из В-сплайнов на отрезке (О, т) преобразуем конечный носитель (и + 1) (п + 1) ч В-сплайна порядка и, отрезок ~ — „ в отрезок (Ю Ь, (Е+ п + 1) Ь|, Ь = . Получим (Š— 1) ('х .
н+ 1') в„()=в -- — — . о]Ь 2 (1.28) 1.2.3.2. Кусочно-постоянные базисные снлайны Простейшие кусочно-постоянные финитные функции, определенные ва отрезке [О, Ц, задаются формулой — 1> х е [И~ (1 + 1)Ь] П(х) = М— О. х я РЬ, (( + 1)Ь] . (1.27) (=О, 1,...,1 -1. П,.(х) П(х) Их =3~ .. 1.2.3.3. Кусочно-линейные базисные снлайны Кусочно-линейные финитные функции (функции-крышки), определенные на отрезке [О, 1], задаются формулами Ъ вЂ” х в [О, Ь]; Ко(х) = ~ ~ О, х а [О, Ь]; 1, хе [)Ь, ((+ 1)Ь]; Ю + 2 — †, х е [(Ю + 1)Ь, (1 + 2)Л]; О, х е [(1Ь, (( + 2)Ь], К, 1(х) = (1.28) Простейшие кусочно-постоянные фивитные функции построе- 1 ны на сетке х~ — — Ь(, Ь = —, ) = О.
1,..., 1 — 1, разбивают отрезок Ь вЂ” 1' [О, с] на 1. — 1 подобластей [(Ь, ((+ 1)Ь], 1 = О, 1„., 1 — 2, и образует ортонормированный базис линейной оболочки функций П,(х), т.е. г =0 при (1 — Я>1; ) К~(х) К (х) Их = иО при ~1 — Я<1„ т,е. только для соседних функций скалярное произведение отлич- но от нуля (почти ортогональнрсть). 1.2,4. Ортогонильные еебелеты с комкакткыми носителями 1.2.4.1. Оснсеныг конятия Введем понятие ортогонального вейвлета. Квадратично интегрируемая функция д называется ортогональным вейвлетом, если семейство у а(х)=2 гцК2~х — Ь), 1,Ье Я, (1,29) является ортонормированным базисом квадратично интегрируемых функций на 11.
Это означает, что ь,ф~ )=б ~ба „1,Ь,1,те Я, и любая квздратично интегрируемая функция Х могкет быть представлена сходящимся рядом (1.30) Кусочно.-линейные финитные функции построены на сетке хг = Ь1, Ь = —, ( = О, 1„„, Х вЂ” 1, разбивают отрезок (О, Ц на 1 Х вЂ” 1 ' Х. — 1 подобластей 11 Ь (1+ 1)Ь), 1= О, 1,..., Х, — 2, и образуют ортонормированный базис линейной оболочки функций К(х)„при- чем Ряды, представляющие функции ~ в (1.31), называются вейвлет-рядамн или обобщенными рядами Фурье, а вейвлет-коэффициенты с ь определяются формулой с ь — — ) Д(х) у., (х) ох (1.32) Для ортогональных вейвлетов возможно точное восстановление функции, если использовать дополнительную аппроксимацию с помощью масштабирующей функции е(х).
При.этом вейвлет-представление функции (1.3Ц разбивается на две составляющие: грубую (аппроксимирующую) и уточняющую (детализирующую). Масштабирующая функция д, как и вейвлет у, порождает семейство ь(х)=2 ф(2~х — Й), у>йе Я, '4 ! (1.33) )',ЙеЯ; / ),Фен; 7 (1.34) а поэтому любая квадратично интегрируемая функция на В пред- ставляется рядом ~(х)=~ з,у лап «(х)+~~» ~."., И ьЧ~) з(х) (1.3б) и полностью характеризуется ее вейвлет-коэффициентами з ь з (аппроксимации) н о. з (детализации) разложения по этому базису, которые можно вычислить по формулам 17 которое получено из одной масштабирующей функции р (одного вейвлета у) в результате двоичного сжатия в 27 раз и двухпараметрического сдвига на е/2).
Следовательно, можно считать, что задан ортонормированный вейвлет-базис!у) ь, Чю) ь~, т.е. базис, отвечающий условиям « - ") У(х) ф «(х) д»; а «=) 7(х) цю'. «(х) сКх. (1. 3 7) 'Обращение функции можно проводить на любом 7-м уровне разрешения. 1.2.4.2. Функции Хаара Исторически первым ортонормированным базисом вейвлетов был базис Хаара, построенный задолго до того, как сформировался термин "вейвлет".
Масштабирующей функцией д базиса Хаара является функция у(х) = 1, если О < х < 1, р(х) = О в противном случае (ф «(х) = 1, если й/2~ < х < (й+1)/2~, д, «(х) = О в противном случае), а вейвлетом является (базисной системой вейвлетов) . (1.38) ч(х) = Ч~ь,(х) = Тогда базис ~у) «, Чю1 «~ вейвлетов Хаара с компактными носителями образует ортонормированный базис квадратично-интегрируемых функций на В. 1,2.4.3. Функции Добеши порядка М Базис Добеши порядка М = 1 является базисом Хаара, т.е.
базис Хаара является частным случаем базиса Добеши. Масштабирующая функция <р(х) и вейвлет Добеши ц~(х) не имеют явных аналитических формул, за исключением базиса Добеши — Хвора. Тем 1, Оьх< †' 1 2' — 1, — <х<1; 1 2 О в противном случае й 2й+1 1, — <х<— 2/ 2)+ 1 2«+1 й+1 -1, — <х< —. 2" 2' О в противном случае а вейвлет Добеши строится по формуле 2М вЂ” 1 1р(х) = )2 ~~~ Л» ф(2х -Ь) . (1 А О) Можно показать (16), что для вейвлета Добеши (1.40) параметры л»=(-1)" Ьгм» 11 Й=О, 1,. „2М-1, (1.41) т.е. выражаются через параметры Ь» однозначно, Сами параметры Ь» (Ь ~ О, 1,..., 2М вЂ” 1) находятся из решения следующей системы уравнений: гм-1 Х Ь»Ь»-г =бо,м т=0,1,..., М-1; »=о 2М - 1 2М-1 ,'~ Ь" н»=О; ',~" Ь,= 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
