Приближение функций. Компьютерная практика в системе компьютерной математики MATHCAD (1012860), страница 5
Текст из файла (страница 5)
По составленной программе находим коэффициенты а~ алгебраического полинома Щх) и формируем его: 2.3. Строим графики заданной функции (2.1) и ее интерполяцнонного полннома Я(х) (рис. 2.4). Сеточные (табличные) эначения функции, по которой строится интерполяционный цолином, выделены на графике квадратиками. 87 Озч оов цм) 05 о(ю) Оон Уь () С)о.озо -оо 02 ' о 0.62 )26 )ао 2 60 Зл ы,а, „ ~+о 2 Рис.
2.4 2.2, Точечное квадратичное аппроксимирование функций на отрезке Пример 1. Требуется аппрокснмнровать функцню (2.1), заданную на системе точек (на равномерной сетке нлн таблнчно) х~ = а(„ 1= О, 1, ..., Л вЂ” 1, где х~ е 10, Ц н Ь = —, алгебраическим поли- номом (1.б9), Решение задачи. 1. Зададим функцию (2.1) табличным способом. Положим: Находим: 2. Аппрокснмнруем функцию (2,1) алгебраическим полинамом на равномерной сетке по алгоритму (П.18).
ЗВ 2.1. Составляем программу аычислевия коэффициентов аппроксимирующего поливома (П.16) по алгоритму (П.18): 2.2. Применяем программу для аппроксимации эаданиой функции (2.2), Вариавт 1, По составленвой программе находим коэффвциевты а алгебраического полияома 9(х) и формируем его (линейная аппроксимация): Строим графики заданной функции (2.1) и ее аппроксвмациоввого полинома Щх) (рис. 2.6). Сеточные (табличные) значения функции, по которой строитоя аппроксимацион- ный полипом, выделены на графике кружочками.
Вариант 2. ° По составленной программе находим коэффициенты а~ алгебраичеекого полинома Щх) и формируем его (квадратичная аппрокеимация): Строим графики заданной функции (2.1) и ее аппрокеимапионного полинома Я(х) (рис. 2.6). Сеточные (табличные) значения функции, по которой строится аппроксимационный полипом, выделены на граФике кружочками. Рвс. 2.б Вариант 3. ° По составленной программе находим коэффициенты а~ ал- гебраического полинома Я(х) г(-и степени и формируем его: 40 Строим графики заданной функции (2.1) и ее аппрокснмационного полинома Я(х) (рис, 2.7). Сеточные (табличные) значения функции, по которой строится аппрокснмационный колином, выделены на графике кружочками.
Рис. 2,7 Пример 2, Требуется ацлроксимнровать функцию (2.2), заданную на системе точек (на равномерной сетке нлн таблично) х, = Ы, 1 ( = О, 1, ..., Ь вЂ” 1, где х~ е 10, Ц н Ь = — „используя ортонормн- Ь вЂ” 1" рованные дискретные полнномы Чебышева (1.13). Решение задачи. 1. Зададим функцию (2.2) табличным способом. 2. Находим аппроксимирующий полипом (П,24). 2.1. Формируем рекуррентное соотношение (1,14) для ортонормированных дискретных полнномов Чебышев»: 41 2.2. Вычисляем коаффнциенты разложения аппроксимирующего полинома Чебышева (П.23) для функции г(х): 2.3.
Формируем рекуррентное соотношение дискретных полиномов Чебышева для аппроксимационной формулы (П,24): 2.4. Формируем аппроксимирующий полипом по системе дискретных ортонормированных полиномов Чебышева: Я: аСН т 2.8. Строим графики заданной функции (2.2) и ее аппроксимационного полинома Я(х) (рнс.
2.8). Сеточные (табличные) зиаче- Рнс. 2.8 42 ния функции, по которой строится анпроксимационный полипом, выделены на графике кружочками. Пример 3. Требуется аппроксимировать функцию (2.3), заданную на системе точек (равномерной сетке нлн таблично), используя быстрое вейвлет-преобразование Добешн порядка два (П.40), (П,45). Решение. задачи. 1. Зададим табличную функцию цо аналитически заданной, функции (2.3) и построим ее график (рнс.2.9).
Рис. 2.9 2. Сформируем программу вычисления аппроксимирующих вейвлет-коэффициентов ва ~-и уровне разрешения, предполагая, что функция продолжена периодически на всю числовую ось и з ь=~(х„): 3. Сформируем программу вычисления аппроксимирующих и детализирукпцих вейвлет-козффициентов уровней ~ — 1,~ — 2,...,0 43 по аппроксимирующим коэффициентам 7-го уровня (см. приложение 2).
° Формируем матрицу коэффициентов Фильтра Добеши порядка два. Формируем программу: 4. Формируем программу для вычисления коаффициентов аппроксимации для уровней разрешения 0,1„ ,У вЂ” 1 в базисе Добеши порядка два и вычисляем зтк коэффициеиты: 44 Замечание. Каждый столбец матрицы Х может быть использован для выполнения обратного вейвлет-преобразования (П.43), используя интервальный вейвлет-базис (П.З7). Однако лучше попользовать быстрое обратное вейвлет-преобразование (П.46). 5. Формируем программу быстрого обратного дискретного вейвлет-преобразования (текст программы см. в приложении 2). 6.
Вычисляем заданную функцию Д(х)и две ее аппроксима. ции. Первая учитывает все детализирующие коэффициенты, а вторая только первые 2 — 2 7. Строим графики заданной функции и ее аппроксимаций (рис, 2.10). Рвс. 2,10 Замечание. В ядро системы Ма(йсаб включены две функции для вейвлзт-преобразований: юаоз (У) быстрое прямое дискретное вейвлет-преобразование действительных чисел, где вектор У содержит 2~ чисел первого уровня разрешения, упорядоченные другим образом, чем в рассмотренном примере (см.
программу Х( (,А)); (юаое (Х) — быстрое обратное дискретное вейвлет-преобразование относительно преобразования Х = маое (у). Например, для нашей задачи, имеем: 2.3. Интегральное квадратичное аппроксимированне функций на отрезке Пример 1. Требуется аппроксимировать функцию (2.2), заданную на отрезке [О, г), используя ортонормнрованные непрерывные полиномы Лежандра (1.4). Вариант 1.
решение задачи, 1. Зададим параметры, при которых решается поставленная задача: 2. Вычисляем коэффициенты Фурье (П.28) аппроксимирующего полинома 1П.2б) заданной функции (2.2), используя квадратурный алгоритм Гаусса (П.32). 2.1. Формируем нули и веса квадратуры Гаусса для отрезка 10, ~) по нх стандартизированным значениям 1П.29), заданным на отрезке 1 — 1,Ц: 2.2. Вычисляем Ь ортонормированиых нелрерывных лолнномов Лежандра по рекуррентному соотношению в абсциссах т(А): 2.3.
Вычисляем коэффициенты Фурье еаданной функции ~(х): 3. Вычисляем аппроксимацию еаданной функции на системе Ф равноотстоящих точек отрезка (О, 1) с шагом Ь =, начала- Х1 — 1 ' нее значение равно нулю: 3.1. Вычисляем полиномы Лежандра ~о рекуррентному соотношению (1.14): 3,2. Строим графики первых трех полиномов (рис.
2.11). Рис. 2.11 ( З.З. Вычисляем аппроксимированную заданную функцию в А1 точке отрезка 10, Ц (обратное преобразование Фурье): 3.4. Строим графики заданной дискретной функции и ее аппроксимацию (рис. 2.12.). Рис. 2.12 Замечание. Задача аппроксимации заданной функции решалась по четырем козффициентам Фурье, т.е. при Ь = 4. Если положить Ь = 10, то аппроксимация заданной функции цриведет к результату, который показан на рис.
2.13. Рис. 2.13 49 Вариант 2, Решение задачи, 1. Вычисляем коэффициенты Фурье (П.28) аццрскснмирующего лолинома (П,26) заданной функции (2.2), испсльзуя алгоритм метода наименьших квадратов (П.18). 1.1. Формируем программу вычисления Е ортонормирован- С ныл непрерывных лслиномов Лежандра на системе точек— Х1 (1 = 0„1, ..., Ь вЂ” 1) по рекуррентному соотношению (1.5): 1.2. Формируем программу вычисления коэффициентов Фурье г по табличке заданной функции 7(х) иа системе точек х = — ( ~= У1 (1= О, 1, ...; г(1): 1.3. Вычисляем коэффициенты Фурье по табличво заданной функции Дх() на системе точек х = — ((1 О, 1, ..., л(1)." С 60 2. Вычисляем аппроксимнрованную заданную функцию ~(х) на системе равноотстоящих точек отрезка (О, й] (обратное преобразование Фурье) и строим ее граФик (рис.
2.14): Ряс. 2.14 Пример 2. Требуется аппроксимировать функцию (2 2), заданную на отрезке (О, с], используя ортонормированные непрерывные косинусоиды (1.9). Решение задачи. 1. Зададим параметры, прн которых решается поставленная задача: 2. Вычисляем коэфФициенты Фурье (П.28) аппроксимирующего полинома (П.26) заданной функции (2.2): 3. Вычисляем аппроксимирозавную заданную функцию в Ы точке отрезка [О, Г] (обратное преобразование Фурье) и строим ее график (рис. 2.15): 52 Рис.
2.15 Пример 3. Требуется аппроксимировать функцию (2.1), заданную на отрезке (О, г], исполъзуя ортоиормнрованиый вейвлетбазис Хаара (1.38). Решение'задачи. 1. Введем функцию (2.1) и зададим параметры, при которых решается поставленная задача: 2. Вычисляем аппроксимирующие вейвлет-коэффициенты заданной функции г(х) для з-го уровня разрешения (П.39), Вариант 1. Используя квадратурный алгоритм Гаусса, выполняем две операции.
° Формируем нули и веса гауссовой квадратуры для отрезка ш (и+ 1)(1 по стандартизированным нулям и весам, заданным на отрезке (-1,Ц (приломсенне 1): Вычисляем аппроксимирующие вейвлет-коэффициенты эа- данной функции (2.Ц для 7-го уровня разрешения: Делаем это в двух вариантах. Вариант 2. По стандартной программе интегрирования: Вариант 3. По средним значениям интегралов: 3. Вычисляем аппроксимирующие и детализирующие вейвлет-коэффициенты для уровней 1 — 1, 1 — 2,..., 0 по аппроксимирующим коэффициентам, вычисленным для 1-го уровня, т.е.
применим быстрое прямое вейвлет-преобразование (П.40), где М = 1, "о = ат = 1: Матрицы этих вейвлет-коэффициентов имеют вид 4. Формируем программу для вычисления коэффициентов аппроксямацни (П,4Ц в базисе Хаара н вычисляем зти коэффициенты: 5. Формируем алгоритмы быстрого обратного вейвлет-преобразования (П.4б), использующий аппроксимнрую1цие вейвлет-коэффициенты 7-го уровня, таким образом: формируем программу быстрого обратного преобразования, т.е. программу вычисления аппроксимирующих вейвлет-коэффициентов У-го уровня: бб ° формируем программу аппроксимации заданной функции по найденным аппроксимирующим вейвлет-коэффициентам У-го уровня. Параметр и определяет количество точек аплроксимации на интервалах ее постоянства: вычисляем заданную функцию и ее аппроксимацию и строем ее график (рис.
2.16). 56 Рис. 2.16 Пример 4. Требуется представить аналитически заданную фуикцию (2.6) иа отрезке (О,Ц обобщеиным полииомом в базисе Добеши порядка два (1.40) Решение задачи, Замечание. Тексты программ, используемые в этом примере и не приведеиные в нем, смотри в (16). 1. Зададим функцию (2,6): 2, Вычисляем базисную ((, и)-ю масштабирующую функцию Добеши порядка два: 1) вычисляем масштабирующую функцию д(х) вейвлета Добеши порядка два, используя программный модуль Ка рМ 62(д).
Результат работы этой прграммы хранится в базе данных (файл- рЫ.рш) и вызывается из базы данных при помощи оператора ВЕАВРВМ: 2) строим график масштабирующей функции вейвлета Добеши порядка два (рис. 2.17); Рис. 2.17 3) вычисляем и строим графики четырех масштабирующих функций Добеши порядка два при ) = 2 и п = 0,1,2,3 иа отрезке [0,1] Рис. 2.18 58 (рис. 2.13), используя программный модуль Я~дйр)пЦх, у, п) формирования базисных (), л)-масштабирующих Функций Добеши цорядка два.
Параметры, передаваемые в программу %'Ы2ИЦх, ), л): )в параметр сжатия; л — параметр смещения; х — произвольная точка отрезка [0,3). 3. Вычисляем аппроксимирующие коэффициенты )"-го уровня для параметра сдвига й = — 2, — 1, О, 1,...,2 — 1, используя программу вычисления аппроксимирующих коэффициентов в базисе Добеши порядка два по методу наименьших квадратов 8Цл, )): 4. Вычисляем заданную функцию )(х) и ее аппроксимацию по формуле обратного вейвлет-преобразования (П.46), реализованного в программном модуле уЦ))„7, 3): В этой программе: У = 1, 2„3, ... — параметр сжатия (масштабирования), который определяет уровень, на котором осуществляется аппроксимация функции; р = 1, 2, 3, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
