Приближение функций. Компьютерная практика в системе компьютерной математики MATHCAD (1012860), страница 3
Текст из файла (страница 3)
(1.42) »=О »=о Например, для вейвлетов Добеп1и порядка два„т.е. для М = 2 (т = 0,1), уравнения (1,42) можно записать в виде системы О+ Ь1+ Ь2+ 3 2 2 2 2 Ьо Ьг + Ь1 Ьз = 0; ЗЬΠ— 2»1 + Ьг = 0; Ьо+ Ь1 + Ьг+ Ьз = (2, (1.43) 19 не менее, если ф непрерывна, для заданного х можно вычислить ф(х) с любой точностью. Построение вейвлета Добеши порядка М с компактным носителем сводится к построению масштабирующей функции Добеши порядка М. Уравнение, определяющее масштабирующую функцию, имеет вид 2М вЂ” 1 ф(х) = Г2 ~~> Ь» ф(2х -Ь), (1.39) »=о которая имеет два решения: ло = —.,) — (1+ чЗ) ° а1 = — (3+ чЗ) ° 4Ч2 ' 1 4Ч2 ,— Ьз = 4 ) — (3 — чЗ), ЬЗ = 47 (1 — ГЗ); (1 44) й = — -(1 — ГЗ), й = — (3 — ЧЗ), 1 1 4Ч2 ' т 4ЧГ2 лз — — — т— = (3 + чЗ), Аз = — т= (1 + чЗ) .
4 Ч2 4 Ч2 Эти козффициенты определяют простейший вейзлет Добеши второго порядка. Козффициенты для вейвлетов Добеши более высокого порядка м<н ут быть получены аналогичио [1Ц. Однако изза необходимости решать уравиения степени 2М, в общем случае для них можно выписать лишь численные значения, хотя и с любой заданной точностью.
Область задаиия вейвлета равна 2М вЂ” 1. Вейвлеты Добеши более высокого порядка более гладкие. По мере роста гладкости вейвлета увеличивается и размер его области определения. 1.2.4.4. Вейелет-базисы иа отрезке Рассмотренные ранее вейвлеты приводили к базисам квадратично-интегрируемых функций иа В. Исключение составляет базис Хаара [9, 10, 16]. В приложениях обычно используют разложение функции 1(х) на конечном интервале. Если функция )(х) задана на конечном интервале, то для ее анализа можно использовать обычные базисы вейвлетов. Например, доопределим функцию ~(х), полагая ее равиой пулю вне [О,Ц.
Тогда при восстановлении функции по формуле обращения (1.3б) получим искуственные "скачки" ва краях отрезка, отраженные з значениях козффициентоз зейвлетов. Таким образом, полезными были бы вейвлеты, приспособленные для "жизни на интервале" [1Ц. Одним из способов достижения етого является использование периодизироваииых вейвлетов, которые удобно записывать в виде 20 ео ~0(х) = 1 прн Ь = 0; У2' х — — „= т'"„а(х) при Ь = 2" т Ь, (1.4б) а=0,1,2„.,; Ь=0,1,2,...,2" — 1 где пернодизнрованные базисы вейвлетов ~р" ь= ~> 9 ь(х+~); Ь=О, 1, ...,2" — 1; (1.46) Ь г < Чю з=~~' цю. а(х+1); Й=0,1,...,2" — 1 .
(1,47) (ег Анализ функций, заданных на отрезке в базисе (1.45), эффективен при проведении вычислений, однако его использование означает анализ периодизированной функции 1е(х), определенной как 1"(х) = ге(х — ( х) )) (где ~х1 означает наибольшее целое, не превосходящее х) с помощью обычных (непериодизироваиных) вейвлетов. И хотя ( уже периодична, на границах О, 1 снова возникают "скачки". Избежать скачков на границах можно, заменив функцию Г(х), заданную на отрезке, инверсно-периодизированной функцией ~"(х) = )'з(х — ~х) ) + 1 + ( 1)(х) 1 ( 1)(") + (1 — Ро(х — [х) ) .
2 (1. 48) Существуют и другие способы задания вейвлет-базисов на отрезке (1Ц. 1.3. Интерполирование функций Будем считать данную функцию 7(х) и полипом Я (х) (1.2) близкими (т.е. имеющими малое "отклонение"), если они совпадают на заданной системе точек хо, х1 „... хь г (узлы интерполирования). Хаким образом, мы приходим к следующей задаче интерполирования: для данной функции Г(х) найти полипом 9 (х), воз- 21 можно низшей степени гп, принимающий в заданных точках х,.
(1 = О, 1, . „Ь вЂ” 1; х н х при 1 = )) те же значения, что и функция ) )(х), т.е. такой, что Ц (х;) = )'(хг) (1 = О, 1, ..., 1 — 1). Полинам 4)щ(х) называется интерполяционнмм. Если Ь вЂ” 1 ь т, то можно положить т = Ь вЂ” 1 и определить коэффициенты из системы уравнений ао+ а1 Ь-1 х,1+ ... аь 1 «о = 1(хо) Ь вЂ” 1 х + ... а 1х1 — — )(х1) аО+ а1 (1.49) ъ — 1 во+ а1 хь — 1+ "а~ — х1,- = 1(хь — 1) ° Определитель этой системы Ь есть определитель Вавдермонда: йм П ~х,-х ~яО, оно<две н, следовательно, система (1,49) имеет единственное решение. Полипом Ц (х) и ХЬ 1(х), коэффицненты которого определяются из свстемы (1.49), называется интерполянионнмм полиномом Лагранжа для функции 1(х) и может быть записав в явном виде: Ь вЂ” 1 цх) = ~ч, Р~„(х) 1(х1), (1.50) !=о где (х — х )...(х — х1 1)(х — х1+ 1)...
(х — х5 1) Р„(х) = . (1,51) (х1 — хо)... (х1 — х1 1)(х1 — х1+ )...(х1 — хь ) 22 Это классический метод решения задачи алгебраического интерполирования функций. Интерполяционный валином Лагранжа явным образом выражается через фундаментальные многочлены (1,51), такие, что каждый из них принимает значение, равное единице, в одном из узлов интерполяции и нулевые значения в остальных.
Задачу интерполяции можно решать с использованием других базисных систем функций, которые были рассмотрены выше. Ос- тановимся здесь только на применении сплайнов. Отметим, что найдены такие Фундаментальные сплайны порядка и деФекта 1 р~„(х), по которым построена интерполяционная Формула лагранжа для сплайнов Ь вЂ” д Я(х) = ~ Ф„(х) 1(х ) . (1.52) Рассмотрим простейшую задачу приближения сплайнами. Построим сплайн Я (х) = Я (д; х), совпадающий с Д(х) в точках х =Ие 10,д), (=0,1,...,Ь вЂ” 1, Ь= —. (1.53) Ь вЂ” 1 Из определения сплайна (1.20) получается система 21. — 2 уравнений: ' Яд® х~) = Дх~), (=0,1,...,А — 1; ! Яд()';х )иД(х~ д), (=0,1,...,1,— 1.
Эта система распадается на системы уравнений относительно коэффициентов отдельных многочленов ! Яд(д; х) = а = 1( ); с о Я ()'; хд ) = а~ + ад (хд+ — хд) = д(хд ), отсюда находим «д+д-~д) о а, = „, а где ~ = д(х ) . Тогда из определения сплайна (1.20) будем иметь Яд()'' х) = (1 — т) Г1 + т А~, д ° (1.54) где т = (х —.М);й. Это уравнение интерполяддионноео еплайна первой степени дефекта 1.
Заметим, что эту формулу можно получить из формулы (1.52). если в качестве фундаментальных сллайнов взять базисную систе. му (1,28). Усложним задачу приближения сплайнами. Построим теперь сплайн Я2(х) = Я2® х). совпадающий с ~(х) в точках (1.58) и имеющий первую непрерывную производную. Такой сплайн на отрезке (х~, х~+11 есть многочлен второй степени, который можно представить в форме суммы линейного многочлена, принимающего на концах отрезка значения ~~ и )г ~ 1, и многочлена второй степени, обращающегося в нуль на концах отрезка. Легко проверить, что такое представление имеет вид Я2Ф х) =(1 — т) )',+т1,~1+ро т (т — 1), (1.55) Это уравнение ипгперполяционного сплайна второй степени дсфекгпа 1, в котором неизвестные параметры р~ выбираются так, чтобы производная Я2(~; х) в точке х~ —— Ы, где соединяются отрезки 1х, 1, х~) и [х,, х, ), была непрерывна. Это дает систему, содержащую Š— 1 уравнение с Ь неизвестными.
Один из параметров р~ остается произвольным и может быть выбран из дополнительного условия или задан произвольно. Например, если известно значение производной от Д(х) в точке х = О, то параметр ро может быть найден из условия Я2(1; О) = ~(0). Тогда для определения парамет- ров р~ находим систему уравнений ! РО ~г ~0 ")О ' Рг, 2 + Рг = ~~+ 1 — 2~, + )г т, 1 = 1, 2,..., Х вЂ” 2. Наибольшее распространение при интерполяции функций получили сплайны третей соъепеки Яэ(х) = Яэ(г) х). Кубическигг иктерполлционныгг сплайном дефекта 2 (эрмитовым' кубическим сплайном) называют функцию Яэ(х), удовлетворяющую следующим условиям: 1) на каждом из промежутков (х~, х~+ 1) Яэ(х) = а(+ а~(х — хг) + а~(х — х~) + аг(х '- х~) 2 2 3 .
3. 24 2) 82(х1) = А1 8з(х1) = 7~ ° ) = О. 1 "' Ь вЂ” 1 ° ' Для вычисления 4Ь вЂ” 4 коэффициентов а, Л = О, 1, 2, 3, при з каждом 1 имеем систему уравнений 32(х1) = 61 ° 32(х1+ 1) = А1+ 1 ° 82(х1) = А1 ° Кз(х1+ 1) = ~1+1 Решив этУ системУ, полУчаем на ~х1, х1 е 1~ Я (~; х) = 11 (1 — т) (1 + 2т) + ~ + т (3 — 2т) + (1.36) Если производная в узлах сетки неизвестна, то ее можно аппроксимировать на основе разделенных разностей, положив 3),-3~,+~, ГО= 2Л ' ~1- 2Л Заметим, что вторая производная эрмитова кубического сплайна, вообще говоря, разрывиа в узлах сетки. Однако можно определить кубический сплайн, который является дважды непрерывно дифференцируемой функцией.
Кубическим интерполлционным сплойком дефекта 1 называют сплайн 82(х), удовлетворяющий условиям 8з(х,) = ~1, 1 = О, 1, ..., Ь вЂ” 1 Дополнительные условия 8зд;х) =т,, (=О,1, ...,1,-1, позволяют рассматривать сплайн 8 (х) как эрмитов кубический сплайн, т.е. представить его в виде Вз(Р; х) = ~1 (1 — т) (1 + 2т) + 11+ 1т (3 — 2т) + (1.57) 25 и выбрать величины тг так, чтобы была непрерывна и вторая произ- пользуются г~ - -ЯЗ(х~), 1 = О, 1, ..., Ь вЂ” 1 . В этом случае интерпо- ляционный кубический сплайн можно представить в виде Явах) =Г,(1-2)+~„,т+ И + — т (1 — т) [(2 — т) г~ + (1 + т) г~, (1.58) Численные схемы вычисления интерполяциониых кубических сплайнов на равномерной сетке в разных постановках и для разных краевых условиях приведены в приложении 1.
Заметим, что если Ь вЂ” 1 > т, т.е. число узлов интерполирования превосходит степень полинома болыпе, чем на единицу, то задача интерполирования становится, вообще говоря, невозможной. В этом случае обычно прибегают к точечному квадратичному аппроксимированию функции. 1.4. Точечное квадратичное аппроксимирование функций 1.4.1.
Метод алгебраических полиномов При точечном квадратичном аппроксимировании за меру отклонения полинома и' (х) = по+ аг х+ а2 х + ... + а хо 2 и (1,59) от данной функции у = 1(х) на множестве точек хо, хг,..., х1 принимают величину 26 водная Яэ(х), т.е. выполнялось условие Яз® х~ + 0) = Яэ(1; х~ — 0) в точках х, (=О, 1, ...,Ь вЂ” 1. Эти условия вместе с краевыми условиями (употребляются различные виды краевых условий) достаточны для определения Ь неизвестных т~ из решения некоторой системы линейных алгебраических уравнений. В некоторых случаях более удобным 'является другое представление кубического сплайна, в котором вместо величин т~ ис- Ь вЂ” 1 называемую квадратичным отклонением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
