Приближение функций. Компьютерная практика в системе компьютерной математики MATHCAD (1012860), страница 6
Текст из файла (страница 6)
определяет количество значений (р2 + 1) искомой Функции 1(х)„заданных на отрезке 10, 1); Э вЂ” вектор аппроксимирующих коэффициентов заданной функции порядке 2'~ + 1 для й = — 2, — 1, 0,,1,...,2' — 1. б. Строим графики заданной функции и ее аппроксимации (рис. 2,10). Рис. 2.19 б. Повторяем вычислевия для функции (2.7): задаем фуикцию строим график функции и ее аппроксимацию(рис. 2.20). Рис.
2.20 Рассмотренные примеры аппроксимации функций ие дают полного представления о характере приближения Функций с использованием разных базисных систем. Для выяснеиия характера приближения необходимо провести графический анализ приближения функций: 1) меняя параметры, при которых решаются задачи; 2) меняя функции в рассмотренных примерах; 3) сравнивая полученные результаты.
60 Приложение 1 ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ ПОСТАНОВОК И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ АППРОКСИМИРОВАНИЯ И ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ 1. Интерполирование функций сплайнами на отрезке 1.1. Постановка задачи Я3(й х) = ~~(1 + т) (1 + 2т) + 1~ + 3 т (3 + 2т) + + «т(1 — т) ~т~(1 — т) — т~+ ~ т~ (П. 1) нлн в виде «й Яз(1) х) 91 т) + Г~+ ~с+ х ~(2 — т)г~+ (1+ т)г~~ 1~, (П. 2) х — Ы где т= — „; 1~=1(х~); т~=Я3® х~); г)=Я3(~;х~) н который удовлетворяет краевым условиям; 3® )=~® Я",(1, О) = 1"(1, О); Яз(1' г) = )О' ~) ' Яз(1' ") = ) ® 1) *' (П.
3) (П.4) Яз(1; хс+0) =Яз® х~ — 0), 1=1,..., 1,— 2. (П. 5) 61 Дана функпня 1(х) на системе точек х = Ы, 1= О, 1,..., 1. — 1, где х~ е 10, г) и « = — . Ь вЂ” 1 Требуется найти ннтерполяцнонный кубический сплайн Яз(х) = Я3(1", х) непрерывный вместе со своими первой и второй производными, который для х е (х~, х~+ 11 представим в виде 1.2. Решение задачи то=о ' 3 т~-т+ 4т~+ тащет= Ь ~~(+Г (=1,...,Ь вЂ” 2; (П. 6) ть-1= С- г а по формуле (П,2) — к вычислению Ь неизвестных величин з~ — — ЯЗ(Г"; х~) из решения системы О 2 1 Ь~ Ь Уо 6 г 1+ 4~~+ г~ 1 = — 2~~~ — 2Г~+ ~~ 11, Ь (. ' - >' (П.7) 1=1,..., Ь вЂ” 2; 1 3 ~ ~Ь-1 ~Ь-г1 2 Ь вЂ” 2 Š— 1 Ь~Π— 1 2.
Для краевых условий (П.4) построение интерполяционного кубического сплайна по формуле (П.1) сводится к вычислению Ь неизвестных величин т1 — — Яз()'; х~) из решения системы 1 3 г Ь О 2' 1 2Ь ~~1 10) 4~0' Зг т~ 1-~ 4т~+ т~ 1 — — — ~Ь т — Ь 1], (=1,..., Ь вЂ” 2; (П.З) 1 3 Ь л — 3 ~ь — 2 2Ь (~е — 1 ~ъ-2)+ 2 ~й — 1 62 1. Для краевых условий (П.З) построение интерполяционного кубического сплайна по формуле (П.1)сводится к вычислению Ь неизвестных величин т~ = Яз(1; х~) из решения системы а по формуле (П.2) — к вычислению Х. неизвестных величин 31 = 33(1; х1) из решения системы во= 1о б Г 21 1 + 421 + 21 4 1 = — 2 ~11 4 1 — 211 + 11 11, Ь ./ (П.й) (=1,..., Х.— 2; зь — 1 1Ь-2 3.
Для краевых условий (П.б) построение интерполяционного кубического сплайяа по формуле (П.1) сводится к вычислению Х. неизвестных величин Гл1 = Яз(1; х1) по формулам 12 11+ 1Р . л4о=п1 — 2 й т1 = д1 1, 1 = 1,..., Х, — 2; (П. 10) 1ь 1-21ь г+1ь 3 Шв-1 Ь-4 /4 1 91г 411 1о 2 1 4Ь ЗГ 1-1+ 1 1+1 4~11+2 11~~ 1=1,..., Х вЂ” 4; 1 1Ь 1+411 г 513-3 2 1-3+ 1 — 2 4Ь (П.
11) Построение интерполяцнонного кубического свлайна по формуле (П.2) сводится к вычислению Х неизвестных велнчнн п11 — — Яг(1; х1) по формулам го = 24о п1 ' 211-4(1-1 (=1" Х 2 (П.12) зь-1=24)1,-3 "1,-4 в которых неизвестаые величавы Ы1 вычисляются из решения сис- темы в которых неизвестные величины Ы~ находятся иэ решения систе- мы (г 2Г1 Го, по= г Ь 6 г б, 1+ 4д~ + д~ 1 = — г ~ ~~, 2 — К, 1+ ~~~ ~- ь (. 1=1,..., Х вЂ” 4 ~ 6».
— 1 21Ь вЂ” 2+ 6 — а '(ь-а= г й (ПЛЗ) Замечание. Для вычисления сплайна Яа(1; х) на более густой сетке точек„чем х~ = И„( = О,..., Ь вЂ” 1, можно задать новый шаг в = й/№ где Ф задает количество точек на которое разбивается отрезок 1х~, х~ ~ 1), 1 = О,..., Ь вЂ” 2, н тогда система точек, на которой будет вычисляться сплайн Яа(~; х), имеет внд (П. 14) х =вр, г где х е [О, 1); в = й I Х р = М1 + т; а 1 = О,...„Ь вЂ” 2, т = О, 1,..., № 2. Точечное квадратичное аппроксимирование функций на отрезке ОВЩИЙ СЛУЧАЙ 2.(. Постановка задач 1. Дана основная система функций Фо(х) 91(х) " Ф;(х) "1 (П.15) где х е (О, Ц . 2.
Дана функция г(х) на системе точек х~ (1= Р, 1,..., й — 1), где х~ е (О, 1] . Требуется найти аппроксимирующий (обобщенный) полипом Я(х) = ~~> Ь1 ~р1(х) ~=0 Я = ~~> ~Щх1) — 1(х,)~ ~=о (П,17) 2.2. Решение задачи 1. Находим коэффициенты аппроксимирующего полинома: а) если ж < 1, — 1, то — 1 В=~Ф Ф~ Ф Г =сопа$; (П,18) б) если т = Х. — 1, то В = Ф Р = сопаС (интерполяция), — 1 Т (П. 19) где РО(хе) Ф1(хс) - У (хс) ео(х1) Ф1(х1) ... ч (х1) '~О(Х1-1) 'Р1(хЬ вЂ” 1) ." 'Рт(хЬ-1) Ьо Ь1 2. Находим аппроксимирующий полипом: Щх) = ~~> Ь1 е1(х) 1=0 который обеспечивает минимум квадратичному отклонению СЛУЧАЙ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 2.3. ЯХосшановка задачи р~(й, (), р~(Ъ, (),..., р (1., (), (П.20) где 1 = О, 1,..., 1.
— 1. 2. Задана функция 7(х) на системе точек х~ (( = О, 1,..., 1, — 1), где х е [О, г) . Требуется найти аппроксимирующий (обобщенный) полипом т Я (х)=~~~ Ь,р, Ь,— ю=о (П. 21) который обеспечивает минимум квадратичного отклонения (П. 22) 2А. Решение задачи 1. Находим коэффициенты аппроксимирующего полинома: Š— 1 Ь; = ~~~ р(1, ~) рЦ., ~) Р(х~), ( = О, 1,..., т < 1, — 1 . (П.23) а ~=0 хо 2. Пологая Ь = ~/1 и 1 = Ь, находим аппроксимирующий е полипом' т Я (х) = ~в~ Ь; р; Ь, я=о (П.24) где х е [О, (].
66 1. Задана полная ортонормированная с весом р(1, () система дискретных функций З,Интегральное квадратичное «ппрокснмирование функции на отрезке 3.1. Пос»канавка задачи Ро(» х) Р»П «) " Р»(». х) °" (П.25) 2. Задана Функция 1(х) на отрезке (О, »1 . Требуется найти аппроксимирующий полипом б)(х) =,'~„Ь,Р,(», х) . (П. 26) »=о который обеспечивает минимум квадратичного отклонения 2 Я = )» р(», х) ~Я(х) - »(х)~ »»х . о (П.27) 3.2. Решение задачи 1.
Находим коэффициенты аппроксимирующего полинома: » Ь» = ~ р(», х) р,(», х)»(х) дх, о »=О, 1,..., т. (П. 28) 2. Находим аппроксимирующий полипом: Я(х) = ~~>„Ь. Р»(», х) . б7 1. Задана полная ортонормированная с весом р(», х) система непрерывных Функций: 4. Квадратуриый алгоритм Гаусса для вычисления коэффициентов Фурье 4.1. Стандартизированные нули [а) и веса [р) Гауссовой квадратуры ка отрезке [-1,1) [количество нулей и весов Я=У). Они имеют вид (П.29) 4.2.
Квадратурный алзоритм Гаусса [аервый вариант) 1. Формула пересчета значений абсцисс квадратуры Гаусса на отрезок (О, г] х =(1+ и)— 2 (П.30) 2. Формула пересчета значений коэффициентов квадратуры Гаусса на отрезок 10, 1] (П.31) Ю-1 Ь; = ~ )~) р(1, х~) [(хр) р;(1. х,) ~=о (П. 32) 68 — 0,968160239 — 0,836021107 — 0,613371433 — 0,32425342 0 0,324253423 0,613371433 0,836021107 0,968160239 3. Квадратурный алгоритм Гаусса 0,0812743884 0,1806481607 0,2606106964 0,3123470770 0,3302393550 0,3123470770 0,2606106964 0,1806481607 0,0812743884 4,3.
Квадравэурный алэоривэм Гаусса (ввэорой варианвэ) 1, Формула пересчета значений абсцисс квадратуры Гаусса на 1 х1 „=(2и+ 1+а1~ —, (П.ЗЗ) где М вЂ” количество интервалов интегрирования квадратуры Гаус. са. 2. Формула пересчета значений коэффициентов квадратуры Гсг (о+ 1)Л Гаусса на отрезок М „ (П.34) 3. Квадратурный алгоритм Гаусса М вЂ” 1 М-1 Ь, = ~~~ ~~> 1т.р(1, х1 „) Г(х1 ) Р,(1, х1 „) .
(П,ЗЗ) в 0 1=0 ~ог (о+ 1)Л отреэок — „ 1 , 12М' Приложение 2 ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ ПОСТАНОВОК И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ АППРОКСИМИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ В ВЕЙВЛЕТ-ВАЗИСАХ 1.Интегральное квадратичное апнрокснмираванне на В 1.1 Посятаковка задачи 1. Задан ортонормированный вейвлет-базис с компактными носителями р «(х), ), «е 2; Чк «(х), ), «е 2~, (П.36) где е «(х) = 2 з р(2) х — «); р «(х) = 2" цю(2~ х — «); ) — параметр сжатия; « — параметр смещения. 2.
Задан интервальный вейвлет-базис <р„(х) при 3= 0; (П.37) где л — параметр сжатия; т — параметр смещения. 3. Требуется найти аппроксимирующий полипом функции Д(х) в виде ~)(х) = .с зи, «Ю, «(") =.з!. зо, « 'то, «(") + и — 1 2 — 1 + ~~~ ~ д «е «(х) = ~~ ~~" а«б«(х), (П,38) 1=0 « « «=0 70 к», (х) =( ! Е„+ . «+ к(Х) Прн " = 2 + « « =0,1,...,2)-1; ) =6,1,2...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
