Приближение функций. Компьютерная практика в системе компьютерной математики MATHCAD (1012860), страница 7
Текст из файла (страница 7)
т,ие 2, где аь — коэффициенты ацпрокснмации в интервальном вейво лет-базисе на нулевом уровне разрешения. 1.2 Реюекие задави веял ~, 1. Находим аппроксимирующие коэффициенты з) ь . зу з = ~ Д(х) Ц(у Ь(х) ох ~ й е Я . (П.39) 2. Находим аппроксимирующие коэффициенты е з и деЬз тализирующие коэффициенты 0 з для уровней разрешения 1 — 1, ( — 2, ..., О по з~ ь, используя быстрое прямое вейвлет-преобразование: з) - 1, Ь = Х Ьи - ЗЗ зд з: ~(1 — ц з = Х Д вЂ” гь зд з * (П.40) где, например, для вейвлетов Добеши порядка М параметры Ь з а (за=(-1) ьхц з 1, ь = О, 1,...,2М вЂ” Ц находятся из решения системы уравнений (1.42), а для вейвлетов Добеши второго порядка заданы формулами (1.44).
3, Находим коэффициенты аппроксимации интервальных вейвлет-функцнй (П.З7): при Ь=О; (П.41) для У = О. 4. Находим аппроксимирующий полипом в виде ) — 1 Ж ) = Х зо ь '~о «(х) + х., х~~~ ~1 ь Фу ь( ) а )=о ь (П.42) ! аа ! при Ь= 2)+ Ь, Ь = О, 1,..., 21-1; ) = а„1, 2,... ж,сне Я или в виде (П. 43) 22 2. 1. Находим аппроксимирующие коэффициенты зо а ,. го «=~Д(х)фо,(х)2(х, дел. (П.44) 2. Находим аппроксимирующие коэффициенты з. э и детализирующие коэффициенты 2( для уровней разре1пения 1, 2, .„, 7 по зе а, используя быстрое обратное вейвлет-преобразование: ~)+1л Х ~  — 2а УЭ вз — 2В )Е)' (П.4б) 3.
Находим аппроксимирующий полипом в виде (П.46) 2. Точечное квадратичное аппроксимиропание функций,'заданных на системе точек отрезка (О, Ц 2.1 Постпановха задачи 1. Заданы быстрое прямое и обратное вейвлет-преобразования (П.40) и (П.45). 2. Требуется найти аппроксимирующий полипом функции ~(х), заданной на системе точек (на равномерной сетке или таблично) х~-— а(, 2= 0, 1,...,Ь вЂ” 1, где х~ е (О, 11, Ь= —, Ь = 2, 1 Х,— 1 ' У=1,2,... 2,2 Решение аядячн 1. Преобраэуем функцию 1(х) в периодическую 1~(х) = Г(х - ( х)).
2, Полагаем в1 ь = )о(хь), Ь е 2 . (П.47) 3. находим аппроксимирующие коэффициенты з) ь и детали. эирующне коэффициенты д~ ь для уровней 7 — 1, У вЂ” 2, ..., О по в, „испольэуя быстрое прямое вейвлет-преобразование (П.40). 4, Находим коэффициенты аппроксимации (П.41) иитервалькых вейвлет-Функций (П.37) для «7 = О. 5. Находим аппроксимирующий колином в виде Р я(х) = ч~~ (П.48) т=-ВМ+1 Ь О иа сетке х1 = Ы, Замечание. 1=0, 1, „3~-1 ванне (П.45). 1 = О, 1,..., 2~ — 1.
Вернутся к 1(х(), ааданной ва сетке х1 = И, можно, используя быстрое обратное вейелет-преобраэо- 3. Программные модули быстрого прямого (БПВП) и обратного (БОВП) вейвлет-преобразований в базисе Добеши второго порядка Программа ВПВП: Гог ч е 0..3 12 — 1) ( У ВР ч(«»Р зЦ(1,А,))):* Зз,ч + зззч бм ре1..1 Гогче0,.3 2 ~ — 3 3 21-р,ч з «» )зе,за ' ВЛ-О+1,2«ч+аз зв О 3 бУ-р,ч + ~~~~, ( 1) ' )»О,З-ззз ' ВТ-2+1,2ч+зв зв О Гоз гзе 0.. 1 — 1 Гоз 1се 0„2 — 1 Х, 4- З)в,к 2 +1»,О ХО,О 4- ВО,О бм зе0..2 — 1 Гоз Ке 0..2 Х1з,в+- Хз,о Х1 Параметры, передаваемые в программу: У вЂ” уровень разрешения, иа котором задана дискретная функция Г(хз) на системе точек хз -- Ы, 1 = О, 1„... 2' — 1; А — массив порядка 3 2~, содержащий I периодическую функцию Го(х ) = Г(хз — (хз!); зз — матрица коэффициентов фильтра Добеши порядка два (1.44).
74 Программа БОВП: оо,о г- ао о гог р е 0..1 — 1 гог не 0..2 — 1 4 + — Х гог ге 1..5. 2 вод ~ — Зо,о Гсг 1е 0..1 — 1 гог )е 2г,2г .. 5. 2 гог 1 е 0..2З вЂ” '1 41; в г — 4. ь !г г + Х < 5 - 2 кок 1е 0..1-1 Гог !г е 2 ..
3- 12 — 1) + 2 0., („,) г- 1'о,о п),ь-г+ "о,о п1,ь -. +"о,! 4),ъ-! + "о,з 4),ъ +- ~! о, 0> „ , + Ьо ! 0, „) ... +~( 1) (!го,о 41,ь г+)~о,з 41,ь)) Гок 1г е 0 .. 2 —.1 3!ь ~ — Бг ь Параметры, передаваемые в программу: У вЂ” уровень разрешения, на котором восстанавливается дискретная функция Дх) на системе точек х! — — Ы, 1= 0, 1,..., 2~ — 1; Х вЂ” матрица порядка 2'г х 1, содержащая коэффициенты аппроксимации интервального вейвлст-базиса; Ь вЂ” матрица коэффициентов фильтра Добешн порядка два (1.44). Приложение 3 Задания иа компьютерную практику ио приближению функций 1. Задайте функцию )'(х) таблично и найдите интерполяционный локальный сплайн, приближающий Функцию ~(х). Исследуйте граФически поведение сплайн-приближения заданной функции; 1) ннтерполнруйте Функцию, заданную таблнчно, сплайном первой степени; 2) ннтерполнруйте функцию, заданную таблично, сплайном второй степени; 3) интерполируйте функцию, заданную таблично, сплайном третьей (П.1) степени, используя краевые условия (П.З), илн (П,4), или (П.б); 4) интерполируйте Функцию, заданную таблично, сплайном третьей (П,2) степени, используя краевые условия (П.З), или (П.4), илн (П.б).
2. Задайте функцию ~(х) таблнчно н найдите точечное квадратичное приближение к ней. Исследуйте графическое поведение обобщенного ряда Фурье заданной функции: 1) аппроксимнруйте функцию, заданную таблнчно, полиномом первой степени; (Линейная аппроксимация); 2) аппрокснмнруйте функцию, заданную таблично, полиномом второй степени. (Квадратичная аппроксимация); 3) интерполируйте функцию, заданную таблнчно, полиномом; 4) аппроксимируйте функцию, задакную таблично, обобщенным полиномом в базисе дискретных полиномов Чебышева; б) аппрокснмируйте функцию, заданную таблично, обобщенным полиномом в базисе дискретных полнномов Кравчука; 6) аппроксимируйте функцию, заданную таблично, обобщенным полиномом в базисе дискретных косннусонд; 7) аппроксимируйте функцию, заданную таблично, обобщенным цолиномом в базисе дискретных синусоид; 8) аппроксимнруйте функцию, заданную таблично, обобщенным полиномом в базисе дискретных зкспонент: 9) аппроксимнруйте функцию, заданную таблично, обобщенным полиномом в базисе дискретных функций Хаара; 10) аппроксимируйте функцию, заданную таблнчно, обобщенным полиномом, используя быстрое вейвлет-преобразование Добешн порядка два.
3. Задайте функцию аналитически и найдите интегральное квадратичное приближение к ней, используя разные численные схемы вычисления интегралов. Исследуйте графическое поведение обобщенного ряда Фурье заданной функции. 1) аппроксимируйте функцию, заданную аналитически, обобщенным полиномом на отрезке [О, г] в базисе непрерывных косинусоид; 2) аппроксимируйте функцию, заданную аналитически, обобщенным полиномом на отрезке [О, г] в базисе непрерывных синусоид; 3) аппроксимируйте функцию, заданную аналитически, обобщенным полнномом на отрезке [О, Ц в базисе непрерывных экспонент; 4) аппроксимируйте функцию, заданную аналитически, обобщенным полнномом на отрезке [О, (] в базисе непрерывных поли- немов Лежандра; 5) аппроксимируйте функцию, заданную аналитически, обобщенным ~олиномом на отрезке [О, Ц в базисе непрерывных полнномов Чебышева первого рода; б) аппроксимируйте функцию, заданную аналитически, обобщенным полнномом на отрезке [О, 1] в базисе непрерывных полиномов Чебышева второго рода; 7) аппроксимируйте функцию, заданную аналитически, обобщенным полиномом на отрезке [0,1] в базисе вейвлетов Хаара; 3) аппрокснмнруйте функцию, заданную аналитически, обобщенным полиномом на отрезке [О,Ц в базисе вейвлетов Добеши второго порядка.
Выполните эадапия для функций (я — номер варианта): (1 + в)х +— 1 гх""+в ' [г 2. +3 10 К4(х) =1 х- — — 2 1 х — — +1 х — —; 7э(х)=1 х — — 2 1 х — — +1 х— [э(х) = 10[4(х) з1п ((3 + (1 — (- 1)")) кх) + 201 (х); ЗО)4(л) 77(Х) =— 2х+1 ' О пРи 0<7; гдн 1( — 9) = 1 при 0>7.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Демидович Б.П., Марок ИА., Шувалова Э.Б. Чнслеияыз методы анализа. Мл Гос, Изд, Физ.-мат. лнт., 1963. 2. Ланнош К. Практические методы прикладного анализа. — Мл Глазная редакция физ..мат. лиг., 1961. 3. Бахеалсе П.С. Численные методы, — Мл Наука. 1963. 4. Куылое В.И., Бсбное В.В., Мокасюырский П.Н. Вычислительяые методы. Т. 1, 2. — М.: Главная редакция фнз.-мат, лиг., 1976. 5. Березин КС., Жидкое П.П. Методы вычислений.
— Мл Гос, изд. физ.-мзт. лит., 1962. 6. Ззвьелое Ю.С., Квасов Б.К„Мирошниченко В.Л. Методы сплайи-функций. —. Л.-Мл Наука, 1980. 7. Киреев В.И.. Пнлтслсев А,В, Численные методы в примерах и задачах; Учебное пособие.— Мх Изд-во МАИ, 2000. 8. Пирулов УГ. Численные методы: Учебное пособие. — Мх Изд-во МАИ, 1998. 9. Расчет систем управления на ЦВМУВ.В. Солодоекикое и ду. — Мх Машино.
строение, 1979. 10. Соленое В.В.. Рыбин В.В. Алгоритмическое к программное обеспечение расчета нестациоиарных непрерывно-дискретных систем упрааления ЛА спектральным методом: Учебное пособие. — Мл МАИ, 1984. 11. Дсбгши И, Десять лекций цо вейзлетам. — Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамяка", 2001. 12. Чук К, Введение в аьйалетыД1ер. с аягл. — Мл Мир, 2001. . 13. Дьяконов В,П. МароСАО 2000. — СИбл Питер, 2000. 14. Дьаколсе ВП. Вейзлегы. От нюрки к практике. — Мх СОЛОН-Р, 2002.
15. Рыбин В.В. Компьютерный практикум по алгебре и математичесному анализу а среде Мазйсаб: Учеб. пособие. — М.: Изд-зо МАИ, 2002. 16. Рыфик В.В. Опнсакие сигналов и линейных нестацнонарных систем управления в базисах вейзлетоа и их анализ в вычислительных средах: Учебное пособие. — Мл Изд-ао МАИ, 2003. ОГДАВЛИНИЕ Предисловие Главе 1. Приближение функций 1.1. Постановка задачи о приближении функций5 1.2.
Примеры базисных систем функцийб 1.2.1. Ортонормированные непрерывные системы Функций 1.2,1.1. Полнномы Лежандра 1.2.1.2. Полиномы Чебышева первого рода...... 1.2Л.3. Полиномы Чебышева второго рода 1.2.1.4. 'тригонометрические Функции 1,2.1.5, Комплексные зкспоненциальные функции 1.2.2. Оргонормированные дискретные системы функций .. 1.2.2.1. Полнномы Чебышева 1.2.2.2. Полиномы Кравчука 1.2.2.3. 'Григонометрические функции 1.2.2.4. Комплексные зкспоненциальные Функции, .
1.2.3. Базисные сплайны с конечными носителями минимальной длины 1.2.3.1. Основные понятия 1.2.3.2. Кусочно-постоянные базисные сплайны 1.2.3.3. Кусочно-линейные базисные сплайны 1.2.4. Ортогональные вейвлеты с компактнымн носителями 1.2.4.1. Основные понятия 1.2.4.2. Функции Хаара . 1.2.4.3. Функции Добеши порядка М 1.2.4.4. Вейвлет-базисы на отрезке 1.3. Интерполирование Функций 1.4. Точечное квадратичное аппрокснмирование функций ..
1.4.1. Метод алгебраических полиномов.......,... 1.4.2. Метод ортогональных полиномов 1.5. Интегральное квадратичное аппроксимирование Функций на отрезке Глава 2. Примеры решения задач на приближение функций в вреде Ма1Ьсаб 2Л. Интерполирование Функций на отрезке 2.2. Точечное квадратичное аппрокснмированне функций а отрезке 3. Интегральное квадратичное аппрокснмнрование Функ- ций на отрезке .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
