Г.Г. Спирин - Механика, молекулярная физика и термодинамика (1012842), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Период колебаний физического маятника (3.22)Т 2J,mga(3.60)где J - момент инерции маятника относительно оси вращения, а расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника.Из сопоставления формул (3.57) и (3.60) получается, чтоматематический маятник с длиной96LпрJma(3.61)будет иметь такой же период колебаний, что и данный физическиймаятник.
Величину (3.61) называют приведенной длиной физическогомаятника. Таким образом, приведенная длина физического маятника это длина такого математического маятника, период колебанийкоторого совпадает с периодом колебаний данного физическогомаятника. Для всякого тела, рассматриваемого как физическиймаятник, можно указать две такие точки, именуемые центрамикачания, что период малых колебаний при качании вокруг осей,проходящих через эти точки одинаков, а расстояние между ними равноприведенной длине физического маятника. На этом свойствеоборотного маятника основано определение ускорения свободногопадения.Оборотным будет такой маятник, у которого имеются двепараллельные друг другу, закрепленные опорные призмы, за которыеон может поочередно подвешиваться. Вдоль маятника могутперемещаться и закрепляться на нем тяжелые грузы.
Перемещениемгрузов или опорных призм добиваются того, чтобы при подвешиваниимаятника за любую из призм период колебаний был одинаков. Тогдарасстояние между опорными ребрами призм будет равно Lпр . Измеривпериод колебаний маятника и зная Lпр , можно из формулыT 2Lпрg(3.62)найти ускорение свободного падения g.Экспериментальная установкаДля измерения ускорения свободного падения предназначенаэкспериментальная установка, общий вид которой приведен на рис.3.8.Установка состоит из математического и оборотного маятников.Математический маятник представляет собой металлический шарик 5 набифилярном подвесе 4. Длина подвеса может изменяться в пределах(0,1 – 0,5) м вращением винта 3 и измеряется с помощью линейки 10,укрепленной на стойке 9.Оборотный маятник состоит из металлического стержня 14, накотором крепятся две способные перемещаться опорные призмы 13,обращенные ножами навстречу друг другу, и два тяжелыхчечевицеобразных груза 12, перемещение которых существенноизменяет распределение масс.9712123139144101213511687Рис.
3.8Установка снабжена фотодатчиком 11, фиксирующим прохождениемаятником положения равновесия. Сигнал с датчика подается намиллисекундомер 7 и счетчик числа полных колебаний 8.Порядок выполнения работыУпражнение 1.Проверка зависимости периода колебаний от длиныматематического маятника и определение ускорения свободногопадения.1. Освободив винт 1, повернуть верхнюю планку так, чтобыматематический маятник оказался над фотодатчиком перед линейкой10. Винт 1 закрепить.982. Вращением винта 3 установить длину маятника L = 30 см полинейке 10 на стойке 9 прибора.3. Отпустив винт, поднять фотодатчик до уровня центра шарика.Центр шарика расположить на оси фотодатчика.
Винт закрепить.Таблица 3.1№п.п123123123123123Lмn–tcT t ncТ cpc2Tcpc20.30.350.40.450.54. Установочными винтами 3 и 6 отрегулировать положение шарикатак, чтобы он проходил между оптическими элементами фотодатчика.5. Подключить установку к сети 220 В. Нажать кнопку “Сеть”.6. Отклонить шарик на небольшой угол (5 – 10) и отпустить.7. Нажать кнопку “Сброс” на панели секундомера и отпустить ее.После n = (10 – 15) колебаний нажать кнопку “Стоп”.
Показаниямиллисекундомера занести в табл.3.1.8. Повторив п.п 6, 7 еще два раза, найти среднее значение периода.9. Повторить п.п 2...8 для длин маятника (35, 40, 45 и 50) см.10. Выключить установку, нажав кнопку “Сеть”.11. По этим данным построить график зависимости Т2 = f(L)(экспериментальные точки и прямая линия).12.
С использованием графика (прямой линии) определитьускорение свободного падения по формуле (3.57).13. Подсчитать доверительную и относительную погрешностьрезультата измерения.99Упражнение 2.Определение ускорения свободного падения с помощью оборотногомаятника.1. Освободив винт 1 (рис.3.8), повернуть верхнюю планку 2 такимобразом, чтобы нижняя часть оси оборотного маятника проходилачерез прорезь фотодатчика 11.2. Включить установку, нажав кнопку “Сеть”.3. При положении грузов А и В согласно рис.3.9а и припроизвольном положении призмы 1 (ближе к краю) измерить периодмалых колебаний (5–10) .
Для этого необходимо подвесить маятник запризму 1, слегка качнуть его, нажать кнопку “Сброс” и отпустить ее.После 10 – 20 колебаний нажать кнопку “Стоп”. Записать время t ичисло колебаний n. Определить период Т1 t n .1АТ2Т1Т2Т(с)LL прLLТ22L(м)В12Аа)Вб)Рис. 3.94. Не изменяя положения грузов А и В, перевернуть маятник, подвесивего за призму 2, и аналогичным образом измерить период Т 2 приположении призмы 2 вблизи груза В. Число колебаний при этом можетбыть не очень велико.
Убедиться, что теперь период меньше, чем Т1.5. Измерить расстояние между ножами призм L .6. Снять маятник со штатива и незначительно (не более чем на 1 см)переместить призму 2 ближе к центру стержня. Подвесить маятник запризму 2 и измерить период Т 2 и расстояние L .7. Перемещая призму 2, найти два таких положения призмы, когдапериод колебаний несколько больше и несколько меньше периода Т1, иизмерить эти периоды с достаточно высокой точностью ((10 – 20) колебаний).Измерить соответствующие расстояния между ножами призм.1008. Выключить установку, нажав на кнопку “Сеть”.9.
Построить график зависимости периода колебаний Т от расстояниямежду ножами опорных призм L и по графику определить Lпр (рис.3.9б).10. Из формулы (3.60) найти ускорение свободного падения:4 2 L прg.T1211. Подсчитать доверительную и относительную погрешностьрезультата измерения.Контрольные вопросы1. Что называется физическим маятником?2. Что такое приведенная длина физического маятника?3. Как записать дифференциальное уравнение колебанийфизического и математическогомаятника?4.
Почему моменти угол отклоненияимеютMпротивоположные знаки?ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 012Изучение колебаний математического маятникаи явления параметрического резонансаЦельработы:исследованиезакономерностейколебанийматематического маятника и наблюдение явления параметрическогорезонанса.Методика измеренийМатематический маятник можно представить как материальнуюточку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити. На практикематематическим маятником можно считать тяжелое тело, подвешенноена легкой нити, длина которой во много раз больше размеров тела.Если силами сопротивления воздуха пренебречь, то колебания можносчитать незатухающими. Тогда период колебаний такого маятника (3.23)Т 2Lg(3.63)где L - длина нити.Формулу (3.63) можно записать в виде:T24 2L.g(3.64)101Такимобразом,периодТ2 (c2)колебанийматематическогомаятника зависит от длины нити.
Вэтом можно убедиться, замеривпериодыколебанийматематическогомаятника,колеблющегося на нитях разнойдлины. График Т2 = f(L) долженбыть прямой линией (рис.3.10).0L (м)Мы рассматривали колебаниякакнезатухающие.ВРис. 3.10действительностиимеетсясопротивление среды, в результате чего энергия маятника тратится наработу сил трения, переходя в тепловую энергию. Полная энергиямаятника уменьшается, колебания постепенно прекращаются.Одной из характеристик быстроты затухания колебаний являетсялогарифмический декремент затухания (3.36), (3.37)Aln tT,At Tгде – коэффициент затухания среды.Чтобы определить логарифмический декремент затухания, можноподсчитать количество колебаний N, за которое амплитуда колебанийуменьшается в k раз:At.(3.65)ln k lnA t NTПодставляя в (3.65) выражение для амплитуды затухающихколебаний согласно (3.32), имеемA 0e tA 0e tln k lnlnNT N .A 0 e ( t NT )A 0 e t e NTОтсюдаln k.(3.66)NИзмерив количество колебаний, за которое амплитуда уменьшаетсяв два раза (k = 2), получим0,693.(3.67)NЧтобы колебания не затухали, к колеблющейся системе надопериодически подводить энергию.
Это может делать приложенная ксистеме внешняя вынуждающая сила, непосредственно смещающаясистему из положения равновесия.102Но возможны и другие варианты, например параметрическоевозбуждение, когда внешняя периодическая сила действует ненепосредственно на движение системы, а только изменяет сопределенной частотой один из параметров системы.Так если при колебаниях математическогомаятника (рис.3.11) с частотой в два разабольшей, чем частота колебаний маятника,укорачивать подвес при прохожденииположенияравновесия(см.рис.3.11положение 2) на некоторую величину и13удлинять нить подвеса на ту же величину принаибольшем отклонении (см.
рис.3.112положения 1 и 3), то амплитуда колебаниймаятника увеличивается. Это явление носитРис. 3.11название параметрического резонанса.При подъеме маятника совершается положительная работа (системанакапливает энергию), а при опускании маятника совершаетсяотрицательная работа (энергия системы уменьшается). Если разностьэнергий больше потерь энергии на трение, то маятник накапливаетэнергию и амплитуда его колебаний увеличивается.Экспериментальная установкаДля изучения колебаний математического маятника и явленияпараметрического резонансаускорениясвободногопаденияпредназначена экспериментальная установка, общий вид которойприведен на рис.3.12.Она включает в себя математический маятник (стальной шарик 11,висящий на нити 10).
Шкала на подвижном кронштейне 9 позволяетотсчитывать углы отклонения маятника.В пульте управления 7 смонтирован электромотор, позволяющийменять длину нити 10. На лицевой панели пульта имеется тумблер“Сеть” 5, служащий для включения электромотора; лампочка 6,сигнализирующая о включении электромотора; и ручка 8 “Частотаизменения параметра”. Вращение ручки 8 по часовой стрелкеувеличивает частоту изменения длины нити.На нижнем кронштейне смонтирован фотоэлектрический датчик 12,сигнал от которого поступает на миллисекундомер 4, который служитдля подсчета количества и времени колебаний маятника. Намиллисекундомере имеется ряд индикаторных ламп.Первые две показывают число полных колебаний. Остальные пятьпоказывают число секунд, причем первые две из них показывают целоечисло секунд, остальные три – доли секунд.
Имеются также три клавиши:103“Сеть” 1, “Стоп” 2 и “Сброс” 3, служащие, соответственно, для включенияприбора, прекращения счета и повторного включения в работу.768591011412321а)б)Рис. 3.12Первые две показывают число полных колебаний. Остальные пятьпоказывают число секунд, причем первые две из них показывают целоечисло секунд, остальные три – доли секунд.
Имеются также три клавиши:“Сеть” 1, “Стоп” 2 и “Сброс” 3, служащие, соответственно, для включенияприбора, прекращения счета и повторного включения в работу.Порядок выполнения работыУпражнение 1.Изучение зависимости периода колебаний от длиныматематического маятника.1. Подключить установку к сети.2. Нажать клавишу 1 “Сеть”, при этом должны загореться индикаторныелампы миллисекундомера и лампочка, освещающая фотоэлемент.1043. Проверить работу миллисекундомера. Для этого отклонить маятникна угол (5 – 7) и отпустить.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
