Г.Г. Спирин - Механика, молекулярная физика и термодинамика (1012842), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

По формуле (2.66) для средних значений L и 1 рассчитатьсреднюю скорость полета пули v (подставляя 1 в радианах).5. Рассчитать доверительную и относительную погрешностьопределения скорости пули.Контрольные вопросы1. Почему систему крутильный маятник - “пуля” можно считатьизолированной?2. Записать формулы для кинетической энергии вращающегося телаи потенциальной энергии закрученной проволоки.3. Что такое коэффициент возвращающего момента?4.

Как можно определить момент инерции маятника?Вопросы по разделу 21. Кинематические характеристики вращательного движения тела.2. Нормальное и тангенциальное ускорение тела.3. Понятие момента силы относительно неподвижной точки.Каковы единицы измерения момента силы?4. Момент импульса относительно неподвижной точки. Уравнениемоментов.5. Закон сохранения момента импульса для системы материальных точек.6. Понятие момента силы относительно оси.7. Понятие момента импульса твердого тела относительно оси.8. Написать основное уравнение динамики вращательного движения.9.

Что такое момент инерции тела? Каков его физический смысл?10. Расчет момента инерции стержня относительно оси,проходящей через центр масс перпендикулярно стержню.11. Расчет момента инерции диска относительно оси, проходящейчерез центр масс перпендикулярно плоскости диска.12. Теорема Штейнера, пример ее применения.13. Кинетическая энергия вращающегося тела.14.

Закон сохранения момента импульса для твердого тела,вращающегося относительно неподвижной оси.81РАЗДЕЛ 3Механические колебания и волны3.1 Незатухающие гармонические колебания. МаятникиКолебаниями называются процессы, характеризующиеся той илииной степенью повторяемости во времени. По физической природеколебания могут быть механическими, электромагнитными и др.Колебания называются периодическими, если значения физическихвеличин, характеризующих состояние системы, повторяются черезравные промежутки времени. Минимальный из этих промежутковназывается периодом колебаний Т.

За период колебаний совершаетсяодно полное колебание. Число полных колебаний, совершаемых вединицу времени, называется частотой колебаний1f.(3.1)ТВеличина=2 f(3.2)называется круговой или циклической частотой колебаний.Из (3.1) и (3.2) следует, что круговая частота и период колебанийсвязаны следующим образом:Т2(3.3).При периодических колебаниях величины х в любой моментвремени t выполняется соотношение x(t) = x(t + T).Гармоническимколебательнымдвижениемназываетсяпериодическое движение, при котором смещение точки от положенияравновесия в зависимости от времени t изменяется по закону синуса(или косинуса):x A sin(0t),(3.4)где А - амплитуда колебания - максимальное абсолютное значение х;) - фаза0 - круговая частота гармонических колебаний; ( 0t +колебания; - начальная фаза - фаза колебаний в момент времени t = 0.Значения амплитуды А и начальной фазы полностью определяютсяначальными условиями системы.Скорость v и ускорение а при гармонических колебанияхизменяются по законамdx(3.5)vx A 0 cos( 0 t);dt82ad2xdt 2xA20 sin( 0 t).(3.6)Из выражений (3.6) и (3.4) получима20 х,(3.7)откуда следует, что при гармонических колебаниях ускорение прямопропорционально смещению точки от положения равновесия и всегданаправлено противоположно ему.Из уравнений (3.6) и (3.7) получаемx20x0.(3.8)Выражение (3.8) называется дифференциальным уравнениемгармонических колебаний, а функция (3.4) является решением этогоуравнения.

Подставив (3.7) во второй закон Ньютона F ma ,определим силу, под действием которой происходят гармоническиеколебания:Fm 02 x.(3.9)Видно, что гармонические колебания обусловлены возвращающимисилами, прямо пропорциональными смещению точки от положенияравновесия и направленными противоположно смещению.Введем обозначениеm 02 k.(3.10)Тогда при гармонических колебанияхFkx;(3.11)величина k называется коэффициентом возвращающей силы.Физический смысл k можно выяснить из уравнения (3.11).Коэффициент возвращающей силы численно равен возвращающейсиле, вызывающей смещение х, равное единице.Уравнению (3.11) подчиняются, например, упругие силы пружин.Колебаниясистем,происходящиеподдействиемсил,удовлетворяющих уравнению (3.11), называются собственными.Из соотношений (3.10) и (3.3) можно найти круговую частоту ипериод гармонических колебаний системы, происходящих поддействием возвращающих силk(3.12);0m83T0m;k2(3.13)величины 0 и Т0 зависят только от устройства колебательнойсистемы.В процессе гармонических колебаний полная механическая энергиясистемы в любой момент времени складывается из кинетической K ипотенциальной U.mv 2Кинетическая энергия K.

Потенциальная энергия равна2работе, которую производит упругая (квазиупругая) возвращающаясила при уменьшении смещения от х до 0, следовательно,0U0Fdxxkxdxxkx 2.2(3.14)Полная энергияmv 2 kx 2(3.15)E.22Подставляя в формулу (3.15) выражения смещения х (3.4), скоростиv (3.5) и используя (3.10), находимm2 20A(3.16).2Из выражения (3.16) видно, что при гармонических колебанияхэнергия системы - постоянная величина, прямо пропорциональнаяквадрату амплитуды колебаний.Одной из простейших колебательных системявляется легкая спиральная пружина, к которойподвешен груз массой m (рис.3.1).

Если вывестигруз из положения равновесия, немного растянувFупрпружину, и предоставить ее самой себе, то на грузmбудет действовать упругая (возвращающая) силапружины, прямо пропорциональная смещению х иxxнаправленная в сторону, противоположнуюсмещению: Fkx ; коэффициент возвращающейсилы k в этом случае часто называют жесткостьюРис. 3.1пружины. Под действием силы F тело совершаетсобственные гармонические колебания, которые можно наблюдать прималом сопротивлении среды.Напишем второй закон Ньютона применительно к поступательномуколебательному движению груза на пружинеE84mxkx ,илиxkxm0.(3.17)Это уравнение того же типа, что и уравнение (3.8), и решением егоявляется функция, представленная уравнением (3.4). Следовательно,груз на пружине совершает гармонические колебания при условии,если сила сопротивления пренебрежимо мала.Круговая частота 0 этих собственных колебаний ипериод Т0 выражаются формулами (3.12) и (3.13).0Физическим маятником называется твердоеатело, способное совершать колебания вокругнеподвижной точки, не совпадающей с его центроммасс.

В положении равновесия центр массСмаятника С находится под точкой подвеса маятникаО, на одной с ней вертикальной оси (рис.3.2). Приmgотклонении маятника от положения равновесия наугол возникает вращающий момент, стремящийсявернуть маятник в положение равновесия.Рис. 3.2Величина этого моментаMmga sin ,где m - масса маятника, а - расстояние между точкой подвеса ицентром масс маятника, аsin - плечо силы тяжести.При небольших углах отклонения, когда sin, векторвозвращающего момента будет равен(3.18)Mmga .В этом случае возвращающий момент силы тяжести прямопропорционален угловому смещениюмаятника от положенияравновесия. Согласно основному уравнению динамики вращательногодвиженияM J ,(3.19)где M - момент силы, вызывающий вращение маятника; J - моментинерции маятника относительно оси вращения; - угловое ускорение.Подставив в уравнение (3.19) значение М из уравнения (3.18) иd2, получимdt 2d2J 2mga ,dt85откудаd2dt 2mgaJ0.(3.20)Уравнение (3.20) - дифференциальное уравнение гармоническихколебаний физического маятника.

Этому уравнению тождественноудовлетворяет функция(3.21)0 sin 0 t ,где0mga.JВ этом можно убедиться подстановкой значенийуравнение (3.20).Используя связь между угловой частотойколебаний и периодом, получаем:Т0J.mga20иd2dt 2вгармонических(3.22).Частным случаем физического маятника является математическиймаятник - материальная точка, подвешенная на невесомойнерастяжимой нити длиной L.

Для математического маятника моментинерции J = mL2, а расстояние а = L.Следовательно, период колебаний математического маятника равенT 2Lg(3.23)В ряде случаев колеблющееся тело совершаетне поступательное, а вращательное движение. Кчислу таких колебаний относятся, например,Мкрутильные колебания тела, подвешенного налегкой упругой проволоке, относительно осисимметрии тела, совпадающей с проволокой(рис.3.3).При повороте тела от положения равновесия вРис.3.3горизонтальной плоскости на небольшой угол впроволоке возникает возвращающий моментупругих сил, прямо пропорциональный углу закручивания:Мс ,(3.24)86где с - коэффициент возвращающего момента. Физический смыслкоэффициента с находим из соотношения (3.24). Коэффициентвозвращающего момента численно равен моменту возвращающей силыпри угловом смещении тела от положения равновесия на угол, равныйединице. Величина с зависит от материала проволоки и ее размеровG r4(3.25)с,2 Lгде G - модуль сдвига, характеризующий упругие свойства материалапроволоки; r - радиус проволоки; L - длина проволоки.Напишем основное уравнение вращательного движения для тела,совершающего гармонические колебания относительно некоторой оси: J M(3.26)где J - момент инерции колеблющегося тела; - угловое ускорение.Из выражений (3.24) и (3.26) получаем дифференциальноеуравнение гармонических крутильных колебаний, подобное уравнению(3.8):с(3.27)0.JРешением уравнения (3.27) является функция, аналогичная (3.4):0 sin( 0 t(3.28))где - угловое смещение от положения равновесия; 0 - амплитудаколебаний.Угловая скоростьи угловое ускорение тела при собственныхкрутильных колебаниях изменяются по законам:0 0 cos( 0 t20 0 sin( 0 t),).Сопоставляя уравнения (3.27) и (3.8), получаем значения угловойчастоты 0 и периода Т0 собственных крутильных гармоническихколебанийтела,происходящихподдействиемупругоговозвращающего момента:c;(3.29)0JT02J.c(3.30)873.2 Затухающие колебанияВсякое колебание материальной точки, не поддерживаемое извне,затухает из-за наличия сил сопротивления.

Амплитуда такихколебаний с течением времени уменьшается.Рассмотрим случай, когда материальная точка колеблется в вязкойсреде при малых скоростях. Сила сопротивления среды в этом случаепрямо пропорциональна скорости и направлена в сторону,противоположную ей: Fсопрrvrx ,где r - коэффициент сопротивления среды.Следовательно, на колеблющуюся точку в этом случае действуетрезультирующая силаFkx rx .Согласно второму закону Ньютонаилиmxxkx rxrxmkxm0.(3.31)Уравнение (3.31) представляет собой дифференциальное уравнение2krзатухающих колебаний.

Характеристики

Список файлов книги