Г.Г. Спирин - Механика, молекулярная физика и термодинамика (1012842), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Решив его для случая, когда,m2mполучимx A0e t sin( t),(3.32)где A 0e t - амплитуда затухающих колебаний, убывающая современем; е - основание натуральных логарифмов; - коэффициентзатухания колебаний;- начальная фаза;- циклическая частотасобственных затухающих колебаний.Из выражения амплитуды затухающих колебаний видно, чтокоэффициент затухания есть величина, обратная тому времени, закоторое амплитуда убывает в е раз. Если= 0, уравнение (3.32)переходит в уравнение гармонических незатухающих колебаний (3.4).Подставляя уравнение (3.32) в (3.31), находим значения коэффициентазатухания и круговой частоты :r;(3.33)2m202.(3.34)88Период затухающих колебанийT22kmr2m2(3.35).Сравнивая (3.13) и (3.35), видим, что период колебаний приналичии сопротивления среды больше, чем при отсутствии затухания.При увеличении сопротивления среды период затухающих колебанийвозрастает.
График зависимостисмещения тела от положенияxравновесия при затухающихколебанияхотвремениA 0e tпредставлен на рис.3.4.- tНатуральныйлогарифмA0eотношения двух последовательныхA1A20значений амплитуды, отстоящихtдруг от друга на время, равноепериодуТ,называетсяТлогарифмическим декрементомзатухания , то естьAРис. 3.4(3.36)ln t .At TПодставив из формулы (3.32) значения амплитуды Аt и Аt+T,получимA 0e tlnA 0e ( t T )(3.37)T.СледовательноlnA1A2lnA2A3...T const.Учитывая физический смысл коэффициента затухания , придем квыводу, что - величина, обратная числу полных колебаний системы,за которое амплитуда убывает в е раз.Итак, система, однажды возбужденная начальным толчком, а затемпредоставленная самой себе, совершает затухающие колебания снекоторой частотой, зависящей только от массы системы, упругойсилы и силы сопротивления движению. Эти колебания называютсясвободными.
При условииkmr2m2- колебаний нет, система89совершает апериодическое движение, постепенно приближаясь кположению равновесия.3.3 Вынужденные колебания, резонансЕсли на колеблющуюся материальную точку, кроме упругой силы исилы сопротивления, действует еще периодическая сила F F0 sin t,то возникают вынужденные колебания. Сила, действующая наколеблющуюся точку в этом случаеFkx rx F0 sin t.Согласно второму закону Ньютона,mxkx rx F0 sin t,(3.38)илиxrxmkxmF0sin t.m(3.39)Уравнение (3.39) представляет собой дифференциальное уравнениевынужденных колебаний.
Решение этого уравнения имеет следующийвид:x A0e t sin( t) A sin( t),откуда видно, что колебание точки под действием периодическиизменяющейся вынуждающей силы складывается из двух движений: иззатухающихколебаний,описываемыхпервымслагаемым,происходящих с частотой, и незатухающих гармоническихколебаний, происходящих с частотойвынуждающей силы - второеслагаемое решения.Затухающие колебания скоро исчезают, проявляясь лишь в течениенебольшого промежутка времени t0 установления вынужденныхколебаний.
Следовательно, установившиеся вынужденные колебанияпроисходят с частотой вынуждающей силы по законуxA sin( t).(3.40)Амплитуда вынужденных колебанийF0Аmгде0затухания.(202 2)4k- частота собственных колебаний;m22,(3.41)r- коэффициент2m90Сдвиг фазмежду колебаниями точки и вынуждающей силыопределяется соотношением2tg.(3.42)220Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частотыприводит к тому, что при некоторой определенной для данной системычастоте амплитуда колебаний достигает максимального значения - этоявление называется резонансом. Для определения резонансной частотынужно найти максимум функции (3.41) или, так как F0 m - величинапостоянная, найти минимум подкоренного выражения в знаменателе.Продифференцировав подкоренное выражение по частотеиприравняв полученное соотношение нулю, найдем значениерезонансной частоты20peз22(3.43).Подставляя (3.43) в (3.41), получаемA peзF02m202.(3.44)А12>F0m120рез2рез1Рис.
3.5График зависимости амплитуды установившихся вынужденныхколебаний от частотывынуждающей силы представлен на рис.3.5для двух значений коэффициента затухания . Чем меньше затухание,тем круче поднимается и опускается амплитудная кривая А =f( ) прирезонансе.913.4 ВолныВолнами называются процессы распространения возмущенийкакой-либо физической величины, характеризующей состояниевещества или поля. Процесс распространения механическихвозмущений в упругой среде называется упругой волной.Распространение упругих волн состоит в возбуждении колебаний всеболее и более удаленных от источника волн частиц среды.В зависимости от направления колебаний частиц по отношению кнаправлению, в котором распространяется волна, различаютпродольные и поперечные волны.
В продольной волне частицы средысовершают колебания вдоль направления распространения волны. Впоперечной волне колебания частиц совершаются в направлениях,перпендикулярных к направлению распространения волны.Продольные упругие волны в среде возникают в результате упругихдеформаций сжатия и расширения. Возникновение их возможно влюбой среде - твердой, жидкой и газообразной. Поперечные упругиеволны обусловлены упругой деформацией сдвига.
Упругиедеформации сдвига возможны только в твердых телах, следовательно,поперечные упругие волны могут возникать только в твердых телах.Кроме того, поперечные волны могут распространяться наповерхности жидкости. Скорость распространения упругой волны всреде равна скорости v распространения в ней небольших возмущенийв виде упругой деформации.Скорость распространения упругих поперечных волн в изотропныхтвердых средахG(3.45)vпопер,где G - модуль сдвига; - плотность среды.Скорость распространения упругих продольных волн в длинныхтонких стержняхE(3.46)vпрод,где Е - модуль Юнга.Если распространяющееся возмущение упругой среды являетсягармоническими колебаниями с неизменной круговой частотой, товолна называется гармонической.Рассмотрим одномерную гармоническую продольную волну,распространяющуюся в положительном направлении Y.
Пусть(рис.3.6) плоскость Р, являющаяся источником возникновения плоскихволн, совершает колебания по закону x A sin t , где А - амплитуда92колебаний;- круговая частота;t - время, отсчитанное от началаколебаний; х - смещение плоскостиМРотносительноположения0Yyравновесия О. Эти колебания тойже частоты и амплитуды будутпередаваться соседним точкамсреды в направлении Y соРис. 3.6скоростью v.Найдем,какомузаконуподчиняется смещение х любой точки среды М с координатой y. Этаточка отстоит от источника колебаний на расстоянии y, поэтому онабудет вовлечена в колебательное движение позднее источника наyвремя.vВследствие запаздывания уравнение колебаний в точке М будетиметь видх› A sin ( t ),илиyх А sin t.(3.47)vРУравнение (3.45) представляет собой уравнение плоскойгармонической волны, распространяющейся в направлении y, здесьyсдвиг фазы колебаний в точке М по сравнению с точкой О.vМожно показать, что скорость v в уравнении (3.45) равна скоростираспространения в среде любой фиксированной фазы колебаний.Поэтому v называют фазовой скоростью волны.Уравнение волны, распространяющейся в противоположномнаправлении, имеет видyx A sin t.vРасстояние, на которое распространяется волна за время одногопериода колебания частиц, называется длиной волны:= vT(3.48)Из соотношения (3.48) следует, чтоv=где f - частота волны.f,(3.49)93Так как2 T , то уравнение бегущей волны можно записать иследующим образом:2 y(3.50)x A sin t.Очень часто волну задают с помощью волнового вектора k , понаправлению совпадающего с вектором скорости v : модуль волнового2вектора k.
В этом случае уравнение плоской бегущей вположительном направлении y волны имеет видxA sin( t ky ) .(3.51)Из уравнений (3.50) и (3.51) видно, что точки, отстоящие друг отдруга на y = , колеблются в фазах, сдвинутых одна относительнодругой на 2 . Волна, распространяющаяся в направлении y, можетбыть и негармонической. В произвольном случае уравнение волныможет быть любой функцией аргумента ( t – ky).Если фазовая скорость волны в среде зависит от частоты волны, тоговорят, что среда обладает дисперсией.
Для звуковых волн в газахдисперсия не наблюдается.Интерференция волнВ среде одновременно могут распространяться волны от различныхисточников колебаний, при этом в каждой точке среды происходитсложение волн.Особый интерес представляет сложение гармонических волн отдвух источников, имеющих одинаковое направление колебаний,одинаковую частоту, одинаковую фазу или не изменяющуюся современем разность фаз.Такие источники волн, как и созданные ими волны, называютсякогерентными.
В этом случае при сложении волн амплитуда колебанийв каждой точке среды имеет некоторое постоянное значение, причем водних точках колебания усиливаются, а вдругихослабляются.Такоеявление,связанное с перераспределением энергии О1y1волн по точкам среды в результате ихВналожения, называется интерференцией волн.y2О2Пустьдвекогерентныеволныраспространяютсяотдвухблизкорасположенных источников (рис.3.7) О1 и О2.Рис. 3.7Уравнения колебаний, создаваемых этими94волнами в некоторой точке В, отстоящей на расстоянии y1 отисточника О1 и на расстоянии y2 от источника О2 будут иметь видх1А1 sint2 y1x2A 2 sint2 y2;.В точке В происходит сложение колебанийнаправления и одинаковой частоты с разностью фаз212y1 y2одинакового.Результирующая амплитудаA12AA222A1A2 cos(21).(3.52)В точках, где разность фаз212y1 y22n(n = 0, 1, 2, ...),(3.53)амплитуда максимальна: А = А1 + А2.Из соотношения (3.53) следует, что при интерференции волнамплитуда максимальна, если разность ходаравна целому числуволн(3.54)y1 y2 n .В точках, для которых212y1 y2амплитуда минимальна: А(2n 1)(n = 0, 1, 2, ...),(3.55)А1 А2 .Из соотношения (3.55) следует, что при интерференции волнамплитуда минимальна, если разность ходасоставляет нечетноечисло полуволнy1 y 2(2n 1) .2(3.56)В частном случае, когда А1 = А2 в точках, определяемых условием(3.56), колебания гасят друг друга.При всех других значениях разности фаз, отличных от целого ,величина амплитуды имеет значение между А1 А2 и А1 +А2.95ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2Измерение ускорения свободного падения спомощью математического и оборотного(физического) маятниковЦель работы: изучение колебаний физического и математическогомаятников и измерение ускорения свободного падения.Методика измеренийМаятники в этой работе - это тела, колеблющиеся под действиемсил тяготения.
Если маятник можно представить как материальнуюточку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити, то говорят оматематическом маятнике. На практике математическим маятникомможно считать тяжелое тело, подвешенное на легкой нити, длинакоторой во много раз больше размеров тела. Период колебаний такогомаятника (3.23)L(3.57)Т 2gгде L - длина нити.Формулу (3.57) можно записать в виде:4 2(3.58)TL.gПолученная линейная зависимость Т2 от L может быть проверенаэкспериментально. Наклон прямой к оси абсцисс позволяет определить g:4 2L 4 2(3.59)g.T2T2 L2Физическим маятником является любое твердое тело, способноесовершать колебания вокруг горизонтальной оси, не проходящей черезего центр масс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
